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【全程复习方略】(全国通用)2016高考数学 单元评估检测(九)


单元评估检测(九) 第九、十章
(120 分钟 150 分) 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2015· 榆林模拟)学校 1000 名学生中,O 型血有 400 人,A 型血有 250 人,B 型血有 250 人,AB 型血有 100 人, 为了研究血型与血弱的关系,从中抽取容量为 40 的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则 O 型血,A 型血,B 型血,AB 型血的人要分别抽取的人数是( ) A.16,10,10,4 B.14,10,10,6 C.13,12,12,3 D.15,8,8,9

40 1 ? 【解析】选 A.抽样比为 1000 25 , 1 所以,O 型血抽取 400× 25 =16 人. 1 A 型血抽取 250× 25 =10 人. 1 B 型血抽取 250× 25 =10 人. 1 AB 型血抽取 100× 25 =4 人.
2.(2015·石家庄模拟)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )

【解析】选 A.记 3 个兴趣小组分别为 1,2,3,甲参加兴趣小组 1,2,3 分别记为“甲 1” 、 “甲 2” 、 “甲 3”,乙参加 兴趣小组 1,2,3 分别记为“乙 1” 、 “乙 2” 、 “乙 3”,则基本事件为“(甲 1,乙 1);(甲 1,乙 2);(甲 1,乙 3);(甲 2,乙 1);(甲 2,乙 2);(甲 2,乙 3);(甲 3,乙 1);(甲 3,乙 2);(甲 3,乙 3)”,共 9 个,记事件 A 为“甲、乙两位同学参加同一

3 1 ? 个兴趣小组”,其中事件 A 有“(甲 1,乙 1);(甲 2,乙 2);(甲 3,乙 3)”,共 3 个.因此 P(A)= 9 3 .
3.在如图所示的计算 1+3+5+?+2015 的程序框图中,判断框内应填入( )

-1-

A.i≤1008? B.i≤2013? C.i<2015? D.i≤2015? 【解析】选 D.由程序框图知,S=1+3+5+?+2015,i 初值为 1,每次增加 2,S 中加上的最后一项为 2015,故判断框 中的条件应为 i≤2015?. 4.已知随机变量ξ +η =8,若ξ ~B(10,0.6),则 E(η ),D(η )分别是( ) A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6 【解析】选 B.因为ξ ~B(10,0.6), 所以 E(ξ )=10×0.6=6,D(ξ )=10×0.6×0.4=2.4, 因为ξ +η =8, 所以 E(η )=E(8-ξ )=2,D(η )=D(8-ξ )=2.4. 5.(2015·太原模拟)已知 x,y 的取值如表所示:

从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 =0.8x+ ,则 =( A.0.8 B.1 C.1.2

) D.1.5

【解析】选 B. =

=2.6,

又因为回归直线 =0.8x+ 过样本中心点(2,2.6), 所以 2.6=0.8×2+ ,解得 =1 . 6. 若 (x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+ ? +a9(x+1)9, 且 (a0+a2+ ? +a8)2-(a1+a3+ ? +a9)2=39, 则实数 m 的值为 ( ) A.1 或-3 B.-1 或 3 C.1 D.-3 【解析】 选 A.令 x=0,得到 a0+a1+a2+?+a9=(2+m)9,令 x=-2,得到 a0-a1+a2-a3+?-a9=m9,所以有(2+m)9m9=39, 即 m2+2m=3,解得 m=1 或-3. 7.2 个男生和 5 个女生排成一排,若男生不能排在两端又必须相邻,则不同的排法总数为( ) A.480 B.720 C.960 D.1440 【解析】选 C.把 2 名男生看成 1 个元素,和 5 个女生可作 6 个元素的全排列, 又 2 名男生的顺序可调整,共有 种方法,

-2-

其中男生在两端的情形共 2 故总的方法种数为: -2

种, =960.

故选 C. 8.(2015·武汉模拟)如图,矩形 OABC 内的阴影部分由曲线 f(x)=sin x(x∈(0,π ))及直线 x=a(a∈(0,π ))与 x 轴

3 围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为 16 ,则 a 的值为(

)

【解析】选 B.依题意,阴影部分的面积为

9.(2015·潍坊模拟)某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运输工作,并按出发顺序前后排 成一队 .要求甲、乙至少有一辆参加 ,且若甲、乙同时参加, 则它们出发时不能相邻,那么不同的排法种数为 ( ) A.360 B.520 C.600 D.720 【解析】 选 C.若甲、 乙只有一辆参加,则总排法有 故总的不同排法种数为 480+120=600. 10.样本(x1,x2,?,xm)的平均数为 ,样本(y1,y2,?,yn)的平均数为 ( ≠ ).若样本(x1,x2,?,xm,y1,y2,?,yn)的 =480 种;若甲、 乙均参加,排法有 =120 种.

平均数 =α A.m<n

1 +(1-α ) ,其中 0<α ≤ 2 ,则 m,n 的大小关系为(
B.m≤n C.m>n D.m≥n

)

-3-

x1 ? x 2 ??? x m m 【解析】选 B.由题意可得 = ,

11.(2015·新乡模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成 绩,得到如下所示的列联表:

2 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人,成绩优秀的概率为 7 ,则下列说法正确的
是( ) A.列联表中 c 的值为 30,b 的值为 35 B.列联表中 c 的值为 15,b 的值为 50 C.根据列联表中的数据,若按 97.5%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系” D.根据列联表中的数据,若按 97.5%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” 【解析】选 C.由题意成绩优秀的人数为 30,所以 c=20,b=45.由公式计算得 k≈6.1>5.024,所以有 97.5%的把握 认为成绩与班级有关. 12.(2015·大庆模拟)袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个, 记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ 表示所取球的标号.若 η =aξ -2,E(η )=1,则 a 的值为( ) A.2 B.-2 C.1.5 D.3 【解析】选 A.由题意知ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4, ξ 的分布列为:

-4-

因为η =aξ -2,E(η )=1,

3 所以 aE(ξ )-2=1,所以 2 a-2=1,解得 a=2.
故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 .

k ? k ? 1? k ? k ? 1? 2 2 【解析】由 T=T+k 可知 T 是一个累加变量,原题实质为求 1+2+3+?+k 的和,其和为 .令 ≤
105,得 k≤14.故当 k=15 时,T=1+2+3+?+15=120>105,此时输出 k=15. 答案:15

9 14.若 m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0 与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于 8 的概率为

.

1 3 3 9 3 3 ? ? ? 2 3 ? m m ? 2 2 ?3 ? m ??m ? 2 ? 【解析】 令 x=0 得 y= 3 ? m ,令 y=0 得 x= m ? 2 ,由于 m∈(0,3),所以 S= , 9 9 ? 2 ? 3 ? m ?? m ? 2 ? 8
2 ,解得-1<m<2,由于 m∈(0,3),所以 m∈(0,2) ,故所求的概率为 P= 3 .

由题意,得

2 答案: 3
15.(2015·长沙模拟)从区间[-5,5]内随机取出一个数 x,从区间[-3,3]内随机取出一个数 y,则使得|x|+|y|≤4 的概 率为 .
-5-

【解析】从区间[-5,5]内随机取出一个数 x,从区间[-3,3]内随机取出一个数 y,对应的区域面积为 60,使得|x|+|y| ≤4,落在矩形内的部分如图阴影部分所示,

1 面积为 2× 2 ×(2+8)×3=30, 30 1 ? 所以所求概率为 60 2 . 1 答案: 2 1 (x 2 ? )5 x 的展开式中,含 x4 的项的系数是 16.(2015·济南模拟)在二项式
5?r 1 (? ) r ? x 2 ? x

.

【解析】由二项展开式得 Tr+1= = (-1)rx10-3r,令 10-3r=4,得 r=2, (-1)2=10.

因此 x4 的项的系数是

答案:10 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,记录如下:

(1)用茎叶图表示这两组数据. (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选 派哪位学生参加合适?请说明理由. 【解析】(1)作出茎叶图如图:

-6-

(2)派甲参赛比较合适,理由如下:

1 = 8 (70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85, 1 = 8 (70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85,

1 = 8 [(78- 85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+( 84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+
(95-85)2]=35.5,

1 = 8 [(75-85)2+(80-85 )2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+
(95-85)2]=41, 因为 = , < ,

所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. 注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答,同样给分,如:从统计

3 4 1 ? 的角度看,甲获得 85 分以上(含 85 分)的概率 P1= 8 ,乙获得 85 分以上(含 85 分)的概率为 P2= 8 2 .
因为 P2>P1,所以派乙参赛比较合适. 18.(12 分)(2015 · 银川模拟)为了了解青少年视力情况,某市从高考体检中随机抽取 16 名学生的视力进行调查, 经医生用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字 为叶)如图:

(1)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“好视力”,求医生从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“好视力” 的概率. (2)以这 16 人的样本数据来估计该市所有参加高考学生的总体数据,若从该市参加高考的学生中任选 3 人,记 ξ 表示抽到“好视力”学生的人数,求ξ 的分布列及数学期望.
-7-

【解析】(1)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“好视力”,至多有 1 人是“好视力”记为事件 A,

19.(12 分)一次考试中,5 名学生的数学、物理成绩如表所示:

(1)要从 5 名学生中选 2 名参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率. (2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程 = x+ .

【解析】(1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况为(A4,A5),(A4,A1),(A4,A2), (A4,A3),(A5,A1),(A5,A2),(A5,A3),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共 10 种情况. 其中至少有一人物理成绩高于 90 分的情况有:(A4,A5),(A4,A1),(A4,A2), (A4,A3),(A5,A1),(A5,A2),(A5,A3),共 7 种情况,

7 故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率 P= 10 .
(2)散点图如图所示.
-8-

故所求的线性回归方程是 =0.75x+20.25. 20.(12 分)甲、乙两所学校高三年级分别有 1200 人,1000 人,为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六 校联考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 110 名学生的数学成绩,并作出了频数分布 统计表如下: 甲校:

乙校:

-9-

(1)计算 x,y 的值. (2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀,请分别估计两所学校数学成绩的优秀率. (3)由以上统计数据填写 2×2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为两所学校的数学 成绩有差异.

参考数据与公式: 由列联表中数据计算

临界值表

1200 【解析】(1)从甲校抽取 110× 1200 ? 1000 =60(人), 1000 从乙校抽取 110× 1200 ? 1000 =50(人),故 x=10,y=7. 15 (2)估计甲校数学成绩的优秀率为 60 ×100%=25%, 20 乙校数学成绩的优秀率为 50 ×100%=40%.
(3)表格填写如图,
- 10 -

110 ? (15 ? 30 ? 20 ? 45) 2 60 ? 50 ? 35 ? 75 K2 的观测值 k= ≈2.829>2.706,故能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为两个
学校的数学成绩有差异. 21.(12 分)(2015· 成都模拟)某品牌汽车 4S 店对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统 计结果如表所 示:

已知分 3 期付款的频率为 0.2,4S 店经销一辆该品牌的汽车,顾客分 1 期付款,其利润为 1 万元,分 2 期或 3 期付 款其利润为 1.5 万元,分 4 期或 5 期付款,其利润为 2 万元,用 Y 表示经销一辆汽车的利润. (1)求上表中 a,b 的值. (2)若以频率作为概率,求事件 A:“购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有一位采用 3 期付款”的概率 P(A). (3)求 Y 的分布列及数学期望 E(Y).

a 【解析】(1) 100 =0.2,所以 a=20,
因为 40+20+a+10+b=100,所以 b=10.

40 (2)记分期付款的期数为 x,则:P(x=1)= 100 =0.4,
P(x=2)=0.2,P(x=3)=0.2, P(x=4)=0.1,P(x=5)=0.1, 故所求概率 P(A)=0.83+ ×0.2×0.82=0.896.

(3)Y 可能取值为 1,1.5,2(万元),P(Y=1)=P(x=1)=0.4, P(Y=1.5)=P(x=2)+P(x=3)=0.4, P(Y=2)=P(x=4)+P(x=5)=0.2. 所以 Y 的分布列为

Y 的数学期望 E(Y)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元).
- 11 -

【加固训练】某学校为市运动会招募了 8 名男志愿者和 12 名女志愿者.将这 20 名志愿者的身高编成如图所 示的茎叶图(单位:cm):

若身高在 180cm 以上(包括 180cm)定义为 “高个子” ,身高在 180cm 以下(不包括 180cm)定义为 “非高个子” , 且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”. (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出 X 的分 布列. 【解析】(1)根据茎叶图可知,这 20 名志愿者中有“高个子”8 人,“非高个子”12 人,

5 1 1 ? 用分层抽样的方法从中抽取 5 人,则每个人被抽中的概率是 20 4 ,所以应从“高个子”中抽 8× 4 =2(人), 1 从“非高个子”中抽 12× 4 =3(人).
用事件 A 表示“至少有一名′高个子′被选中” ,则它的对立事件 表示“没有′高个子′被选中” ,则

P(A)=1-P( )=

7 因此至少有一人是“高个子”的概率是 10 .
(2)依题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.

所以 X 的分布列为

- 12 -

22.(12 分)(2015·唐山模拟)从天气网查询到衡水历史天气统计(2011-01-01 到 2014-03-01)资料如下:

自 2011-01-01 到 2014-03-01,衡水共出现:多云 507 天,晴 356 天,雨 194 天,雪 36 天,阴 33 天,其他 2 天,合计天 数为:1128 天.

1 本市朱先生在雨雪天的情况下,分别以 2 的概率用乘公交或 打出租的方式上班(每天一次,且交通方式仅选一
种),每天交通费用相应为 2 元或 40 元;在非雨雪天的情况下,他以 90%的概率骑自行车上班,每天交通费用 0

115 元;另外以 10%的概率打出租上班 ,每天交通费用 20 元.(以频率代替概率 ,保留两位小数.参考数据: 564 ≈
0.20) (1)求他某天打出租上班的概率. (2)将他每天上班所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 【解析】(1)设 A 表示事件“雨雪天”,B 表示事件“非雨雪天”,C 表示事件“打出租上班”, P (C)=P(AC)+P(BC)

(2)X 的可能取值为 0,2,20,40

- 13 -

所以 X 的分布列为

E(X)=0×0.72+2×0.10+20×0.08+40×0.10 =5.80(元).

- 14 -



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