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3.3.2简单的线性规划问题(一)


3.3.2简单的线性规划 问题(一)
主讲老师:刘孟康

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1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种 产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗 时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗 时2h,该厂最多可从配件厂获得16个A配 件和12个B配件,按每天工作8h计算,该 厂所有的日生产安排是什么?

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1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种 产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗 时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗 时2h,该厂最多可从配件厂获得16个A配 件和12个B配件,按每天工作8h计算,该 厂所有的日生产安排是什么? (1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件, 由已知条件可得二元一次不等式组:

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1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种 产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗 时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗 时2h,该厂最多可从配件厂获得16个A配 件和12个B配件,按每天工作8h计算,该 厂所有的日生产安排是什么? (1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件, 由已知条件可得二元一次不等式组: (2)将上述不等式组表示成平面上的区域,

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(3)若生产一件甲产品获利2万元,生产一 件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排 利润最大?

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(3)若生产一件甲产品获利2万元,生产一 件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排 利润最大?

设生产甲产品x乙产品y件时,工厂获得的
利润为z,则z=2x+3y.上述问题就转化为:

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(3)若生产一件甲产品获利2万元,生产一 件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排 利润最大?

设生产甲产品x乙产品y件时,工厂获得的
利润为z,则z=2x+3y.上述问题就转化为:

当x、y满足不等式※并且为非负整数时,
z的最大值是多少?

讲授新课
1. 上述问题中,不等式组是一组对变量 x、y的约束条件,这组约束条件都是 关于x、y的一次不等式,所以又叫线 性约束条件.

讲授新课
1. 上述问题中,不等式组是一组对变量 x、y的约束条件,这组约束条件都是 关于x、y的一次不等式,所以又叫线 性约束条件. 线性约束条件除了用一次不等式表示

外,有时也用一次方程表示.

讲授新课
2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y

叫做目标函数.

讲授新课
2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y

叫做目标函数.
由于 z=2x+y又是x、y的一次解析式, 所以又叫线性目标函数.

讲授新课
3. 一般地,求线性目标函数在线性约束

条件下的最大值或最小值的问题,统称
为线性规划问题.

讲授新课
3. 一般地,求线性目标函数在线性约束

条件下的最大值或最小值的问题,统称
为线性规划问题.

4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.

讲授新课
3. 一般地,求线性目标函数在线性约束

条件下的最大值或最小值的问题,统称
为线性规划问题.

4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.

讲授新课
3. 一般地,求线性目标函数在线性约束

条件下的最大值或最小值的问题,统称
为线性规划问题.

4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 6. 使目标函数取得最大值或最小值的可行 解,它们都叫做这个问题的最优解.

讲授新课 例题分析
例1. 设 z=2x+y,式中变量x、 y满足
? x ? 4 y ? ?3, ? 下列条件: ? 3 x ? 5 y ? 25, ? x ? 1, ? 求z的最大值和最小值.

(1)

讲授新课
? x ? 4 y ? ?3, ? ? 3 x ? 5 y ? 25, ? x ? 1, ? (1)

y
4

x ?1

C
x ? 4y ? 3 ? 0

2

B
O

2

3 x ? 5 y ? 25 ? 0 4 6 x

A

讲授新课
我们先画出不等式组(1)表示的平面区 域,如图中△ABC内部且包括边界,点(0,0) 不在这个三角形

区域内,当x=0,
y=0时,z=2x+y

y
4

x ?1

C
x ? 4y ? 3 ? 0

=0,点(0,0)在直
线l0: 2x+y=0上.

l0

2

B
O

2

3 x ? 5 y ? 25 ? 0 4 6 x

A

讲授新课
作一组和l0平行的直线l:2x+y=z,z∈R.

y
4

x ?1

C
x ? 4y ? 3 ? 0

l0

2

B
O

2

3 x ? 5 y ? 25 ? 0 4 6 x

A

讲授新课
作一组和l0平行的直线l:2x+y=z,z∈R.

y
4

x ?1

C
x ? 4y ? 3 ? 0

l0

2

B
O

2

3 x ? 5 y ? 25 ? 0 4 6 x

A

讲授新课
作一组和l0平行的直线l:2x+y=z,z∈R. 可知,当l在l0的右上方时,直线l上的 点(x,y)满足2x+y>0. 即z>0,而且l 往右 平移时,z随之增 大,在经过不等式

y
4

x ?1

C
x ? 4y ? 3 ? 0

组(1)表示的三角形
区域内的点且平行

l0

2

B
O

于l的直线中,

2

3 x ? 5 y ? 25 ? 0 4 6 x

A

讲授新课
以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大, 以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.

y
4

x ?1

C
x ? 4y ? 3 ? 0

l0

2

B
O

2

3 x ? 5 y ? 25 ? 0 4 6 x

A

讲授新课
以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大, 以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.

y
4

x ?1

C

l2
x ? 4y ? 3 ? 0

l0

2

B
O

2

3 x ? 5 y ? 25 ? 0 4 6 x

A

讲授新课
以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大, 以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.

y
l1 4 C

x ?1

l2
x ? 4y ? 3 ? 0

l0

2

B
O

2

3 x ? 5 y ? 25 ? 0 4 6 x

A

讲授新课
以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大, 以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小. 所以,zmax=2×5+2=12, zmin=2×1+1=3.

y
l1 4 C
2

x ?1

l2
x ? 4y ? 3 ? 0

B
O

2

3 x ? 5 y ? 25 ? 0 4 6 x

A

讲授新课
练习1.解下列线性规划问题:求z=2x+y
的最大值和最小值,使式中的x、y满足

?y ? x ? 约束条件 ? x ? y ? 1. ? y ? ?1 ?

讲授新课
解:先作出可行域,见图中△ABC表示的
区域, 且求得
y

1

O A

1

x

B

C

讲授新课
解:先作出可行域,见图中△ABC表示的 1 1 区域, 且求得 A( , )、B( ?1,?1)、C ( 2,?1). 2 2
y
1 1 A( , ) 2 2 1 x

1

O

B( ?1,?1)

C ( 2,?1)

讲授新课
解:先作出可行域,见图中△ABC表示的 1 1 区域, 且求得 A( , )、B( ?1,?1)、C ( 2,?1). 2 2 作出直线l0:2x+y=0,再将直线平移,当l0
平行线l1过B点时,可使 z=2x+y达到最小值,当 l0平行线l2过C点时,可 使z=2x+y达到最大值.
1

y
1 1 A( , ) 2 2 1 x

O

B( ?1,?1)

C ( 2,?1)

讲授新课
解:先作出可行域,见图中△ABC表示的 1 1 区域, 且求得 A( , )、B( ?1,?1)、C ( 2,?1). 2 2 作出直线l0:2x+y=0,再将直线平移,当l0
平行线l1过B点时,可使 z=2x+y达到最小值,当 l0平行线l2过C点时,可 使z=2x+y达到最大值.
1

l0

y
1 1 A( , ) 2 2 1 x

O

B( ?1,?1)

C ( 2,?1)

讲授新课
解:先作出可行域,见图中△ABC表示的 1 1 区域, 且求得 A( , )、B( ?1,?1)、C ( 2,?1). 2 2 作出直线l0:2x+y=0,再将直线平移,当l0
平行线l1过B点时,可使 z=2x+y达到最小值,当 l0平行线l2过C点时,可 使z=2x+y达到最大值.
1

l0

y
1 1 A( , ) 2 2 1 x

l1

O

B( ?1,?1)

C ( 2,?1)

讲授新课
解:先作出可行域,见图中△ABC表示的 1 1 区域, 且求得 A( , )、B( ?1,?1)、C ( 2,?1). 2 2 作出直线l0:2x+y=0,再将直线平移,当l0
平行线l1过B点时,可使 z=2x+y达到最小值,当 l0平行线l2过C点时,可 使z=2x+y达到最大值.
1

l0

y
1 1 A( , ) 2 2 1 x

l1

O

B( ?1,?1)

C ( 2,?1) l2

讲授新课
解:先作出可行域,见图中△ABC表示的 1 1 区域, 且求得 A( , )、B( ?1,?1)、C ( 2,?1). 2 2 作出直线l0:2x+y=0,再将直线平移,当l0
平行线l1过B点时,可使 z=2x+y达到最小值,当 l0平行线l2过C点时,可
1

l0

y
1 1 A( , ) 2 2 1 x

l1

O

使z=2x+y达到最大值. B ( ? 1 , ? 1 ) zmin=2×(?1)+(?1)=?3, zmax=2×2+(?1)=3.

C ( 2,?1) l2

讲授新课
解答线性规划问题的步骤:

讲授新课
解答线性规划问题的步骤:
?第一步:根据约束条件画出可行域;

讲授新课
解答线性规划问题的步骤:
?第一步:根据约束条件画出可行域;
?第二步:令z=0,画直线l0;

讲授新课
解答线性规划问题的步骤:
?第一步:根据约束条件画出可行域;
?第二步:令z=0,画直线l0;

?第三步:观察,分析,平移直线l0,

从而找到最优解;

讲授新课
解答线性规划问题的步骤:
?第一步:根据约束条件画出可行域;
?第二步:令z=0,画直线l0;

?第三步:观察,分析,平移直线l0,

从而找到最优解;
?第四步:求出目标函数的最大值或最

小值.

讲授新课
例2.求z=x-y的取值范围, 使式中的x、y满足约束条件:

?x ? 2y ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 ? 0 ?y ?1? 0 ?

课堂小结
解答线性规划问题的步骤:
?第一步:根据约束条件画出可行域;
?第二步:令z=0,画直线l0;

?第三步:观察,分析,平移直线l0,

从而找到最优解;
?第四步:求出目标函数的最大值或最

小值.


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