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山东省实验中学2013届高三下学期5月第一次模拟考试(理科数学)


山东省实验中学 2013 届高三下学期 5 月第一次模拟考试

理科数学试题
2013.05 注意事项:本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) ,共 4 页。两卷合计 150 分, 考试时间为 120 分钟。选择题答案填涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上。不能使 用计算器。

第 I 卷(选择题

60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知复数 Z ? A.1

i?2 ,则 Z 等于 1 ? 2i
C.5 D.5i

B.i

2.设集合 M = ? x A. ? ?3, 3?

? x?2 ? <0? , N ? ?x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? , 则M ? N = ? x?3 ?
B. ? ?1 2? , C. ? ?1 2? , D. ? ?2, 3?

3.下列说法中正确的是 A.“ a ? 1 ”是直线“ l1 : ax ? 2 y ?1 ? 0 与直线 l2 : x ? ? a ?1? y ? 4 ? 0 平行”的充要条件 B.命题“ ?x ? R, x ? x>0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x>0 ”
2 2

C.命题“若 m>0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实数根”的逆否命题为:”
2

若方程 x ? x ? m ? 0 无实数,则 m ? 0 ”.
2

D.若 p ? q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 4.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为 A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8 5.将函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 的图象先向左平移 6 ,然后将得到的图象 3?

上所有点的横坐标为原来的 2 倍 (纵坐标不变) 则所得到的图象对应 , 函数解析式为 A. y ? ? cos x B. y ? sin 4 x C. y ? sin ? x ? D. y ? sin x

? ?

??
? 6?

6.如图,三棱锥 V—ABC 底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA=VC,已知其主视图 的面积为

2 ,则其左视图的面积为 3
B.

A.

3 2

3 3

C.

3 4

D.

3 6

第 6 题图 7`.现有四个函数:① y ? x ? sin x ② y ? x ? cos x ③ y ? x ? cos x ④ y ? x ? 2 x 的图象(部分) 如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

A.④①②③

B.①④③②

C.①④②③

D.③④②①

?x ? 2 ? 8.设 x,y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1, 若目标函数 z ? ax ? by ? a>0,b>0? 的最小值为 2,则 ? y ? x ?1 ?
4a ? 8b 的最小值为
A.2 B. 2 2 C. 4 2 D.4

9.设 5x ? x
3

?

?

n

的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M—N=240,则展

开式中 x 的系数为 A. ?150 B.150 C. ?500 D.500

10.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

y 2 x2 ? ? 1? a>b>0 ? 的焦点与顶点,若双曲线的 a 2 b2

两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为 A.

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

11. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满足? x ?1? f ? ? x ? ? 0, 且y ? f ? x ? 1? 为 偶 函 数 , 当

x1 ?1 < x2 ?1 时,有
A. f ? 2 ? x1 ?>f ? 2 ? x2 ? C. f ? 2 ? x1 ?<f ? 2 ? x2 ? B. f ? 2 ? x1 ? ? f ? 2 ? x2 ? D. f ? 2 ? x1 ? ? f ? 2 ? x2 ?

12. 在 ?ABC 中 , E , F 分 别 为 AB,AC 中 点 , P 为 EF 上 任 一 点 , 实 数 x,y 满 足

??? ? ??? ? ???? ? ? PA? x PB y PC 0 , 设 ?A B, C ? ?
S , S1 , S 2 , S3 , 记
A. ?

P B C , ? 的 面 积 P分A 别 为 , ? P C A B

5 2

S S1 S =?1 , 2 ? ?2 , 3 ? ?3,则?2 ? ?3 取得最大值时, 2 x ? 3 y 的值为 S S S 5 3 3 B. C. ? D. 2 2 2

第 II 卷(非选择题
13.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S10 ?
3

90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上.

? ?1 ? 2x ? dx, S
0

20

? 17, 则S30 = _______.

14.若存在实数 x 满足不等式 x-4 ? x ? a ? 3 ,则实 数 a 的取值范围是_______. 15. 若

f ? x? ?1 ?

1 ,当x ? ?0,1? f ? x ? 1?
若 在 区





f?

? ?x

x ,



? ?1,1?内,g ? x? ? f ? x ? ? mx ? m 有两个零点,则实
数 m 的取值范围是__________. 16.将杨辉三角形中所有的奇数改为 1,所有的偶数改 为 0,得到如图三角形数阵,则第 64 行有__________个 1. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? sin ? (I)求函数 f ? x ? 的周期及单调递增区间; (II)在 ?ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知函数 f ? x ? 的图象经过点

? 7? ? ? 2 x ? ? 2cos2 x ? 1? x ? R ? . ? 6 ?

??? ??? ? ? ? 1? A, ? , b, a, c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值. ? ? 2?
18.(本小题 12 分)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而 因轮空,以后每一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空,比赛按这种规则 一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止,设在每局中参赛者胜负的概率均为 , 且 各局胜负相互独立,求: (1)打满 3 局比赛还未停止的概率; (2)比赛停止时已打局数 ? 的分布列与期望 E ?? ? .

1 2

19. ( 本 小 题 满 分

12

分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥

P — ABCD

中 , 已 知

PB ? BC, AD / / BC, AB ? AD ? 2, CD ? PD ,异面直
线 PA 和 CD 所成角等于 60°. (1)求证:面 PCD ? 面 PBD; (2)求直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值的大小; (3)在棱 PA 上是否存在一点 E,使得二面角 A—BE— D 的余弦值为

6 ?若存在, 指出点 E 在棱 PA 上的位置; 6

若不存在,说明理由. 20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 数 列 ?an ? 的 各 项 都 是 正 数 , 且 对 任 意 n ? N , 都 有
?

3 3 3 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? 3 ?n,2记 S a S 为数列? a 的前 n 项和. ? n n n

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
n (2)若 bn ? 3 ? ?? 1? n ?1

? ? 2 a ( ? 为非零常数, n ? N * ) ,问是否存在整数 ? ,使得对任
n

意 n ? N ,都有 bn?1 ? bn .
*

21.(本小题 12 分)已知关于 x 的函数 f ? x ? ? 2ln ? x ?1? ? 2ax ? ax (I)若直线 y ? 2 x 为函数 f ? x ? 的切线,试求 a 的值; (2)在区间 ? 0,1? 上恒有 f ? x ?<0 ,试求 a 的最小值;

2

? a ? R? .

(3)关于 x 的方程 f ? x ? ? 2x ? 0 是否可能有 3 个不同的实根,若可能试求出 a 的范围, 若不能试说明理由. 22.(本小题 14 分)已知抛物线 C : y ? 2 px ? p>0? 的顶点是椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的中心,焦 4 3

点与该椭圆的右焦点重合.设 A? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? 为轨迹上两点,且 x1> y1>0, N ?1,0? , 1, 设 AB ? ? NB ? ? ? R ? . (1)求抛物线 C 的方程;

??? ?

9 ,试求实数 ? 的值; 2 (3)试求 OAB 的面积的最小值.
(2)若 AB ?

??? ?


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