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3.2.2对数函数的图像与性质(1)


复习:一般的,函数 y = ax ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,
其中x是自变量.函数的定义域是 R.

a > 1
y

0 < a < 1
y=ax
(0<a<1)

y=ax
(a>1)

y
(0,1)


y=1

y=1
(0,1)

象 性 质

0

x

0

x

定义域:R 值 域:(0,+ ) 过 点 ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

问题情境1 :
在现实生活的细胞分裂过程中,细胞个数y 是分裂次数x 的指
数函数 只要知道了x 就能求出y 。

现在反过来研究,知道了细胞个数, 如何确定分裂次数 ?

为了求

y=2

x

中的x 我们将

y=2

x

写成对数式, 即

x ? log 2 y

从而得到一种新的函数

y ? log a x (a ? 0, a ? 1)

对数函数的定义:
一般地,函数 叫做对数函数.其中 x是自变量,
函数的定义域是( 0 , +∞).
注意:1)对数函数定义的严格形式; 2)对数函数对底数的限制条件: a ? 0 ,且 a ? 1.

y = loga x (a>0,且a≠1)

探究:对数函数:
图象与性质

y = loga x

(a>0,且a≠ 1)

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log2 x和y ? log1 x 的图象。
2

作图步骤:

①列表,

②描点,
③用平滑曲线连接。

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图
象与性质
作y=log2x图象

列 表

X y=log2x

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

描 点
连 线

y 2
1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质

列 y ? log2 x … -2 表
y ? log 1 x …

x



1/4 1/2
-1 1 2

1
0 0

2
1 -1

4
-2



2 …


描 点 连 线

y 2 1
0

2

11 42

1 2 3

4

x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 y 2 探索发现:认真观察 11 4 函数y=log2x x 0 1 2 3 4 的图象填写下表 -1 -2
1 2

图象特征

代数表述

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是: 增函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

探索发现:认真观 察函数

y 2

1 11
42

的图象填写下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3 4

x

函数性质

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是: 减函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

猜猜: 对数函数 y 2

y ? log3 x和y ? log1 x的图象。
3

y ? log2 x

1
0

y ? log3 x
11 42

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

对数函数y=logax (a>0,且a≠1)

的图象与性质
y
x =1

a>1 图 象 性 质
y
x =1
y ? loga x (a ? 1)

0<a<1
(1,0)
O
X

O

(1,0)

X

y ? loga x (0 ? a ? 1)

( 0,+∞) 定义域 : 值 域 : R 过定点: (1 ,0), 即当x =1时,y=0
增函数 在(0,+∞)上是 减函数 在(0,+∞)上是:
0 < x <1 时,y <0

0 < x <1 时,y > 0
x > 1 时,y < 0

x > 1 时,y > 0

讲解范例 例1求下列函数的定义域: 2 (1) y ? loga x 解 : 由 x2 ? 0 得 x ? 0 ∴函数 y ? loga x 的定义域是
2

?x | x ? 0?

(2) y ? loga (4 ? x) 解 : 由4 ? x ? 0 得 ∴函数 y ? loga (4 ? x)

x?4
的定义域是 ?x | x ? 4?

练习 1.求下列函数的定义域:

(1) y

? log5 (1 ? x)

? (??,1) ? (0,1) ? (1,??)

1 (2) y ? log2 x

比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5

解: 考察函数y=log 2 x ,
∵a=2 > 1, ∴函数在区间(0,+∞) 上是增函数; ∵3.4<8.5 ∴ log23.4< log28.5

比较下列各组中,两个值的大小: (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解:考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1,

∴函数在区间(0,+∞)上是减函数;
∵1.8<2.7

∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7

比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

比较两个同底对数值的大小时: 1.观察底数是大于1还是小于1;




( a>1时为增函数0<a<1时为减函数) 2.比较真数值的大小;

3.根据单调性得出结果。

比较下列各组中,两个值的大小:

?(3) loga5.1与 loga5.9
解: ①若a>1则函数在区间(0,+∞)上是增函数; ∵5.1<5.9

∴ loga5.1 < loga5.9 ②若0<a<1则函数在区间(0,+∞)上是减 函数; ∵5.1<5.9
∴ loga5.1 > loga5.9 注意:若底数不确定,那就要对底数进行分类讨论 即0<a<1 和 a > 1

你能口答吗?
1、 log 0.5 6 ______ < log0.5 4
2、 log1.5 1.6 ______ > log1.5 1.4
1.y = log
5

变一变还能口答吗?
3、 若 log 3 m ? log 3 n

< ,则m___n;

4、 若 log 0.7 m ? log 0.7 n,

> 则m___n.

x

① 当x满足 x>1 时,y>0; ②当x满足 x=1 时,y=0; ③当x满足 0<x<1 时,y<0 ① 当x满足 0<x<1

2. y = log

1 5

x

时,y>0;

②当x满足 x=1 时,y=0; ③当x满足
x>1

时,y<0

思考:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象随着a

的取值变化图象如何变化?有规律吗?

y 2 1
0
11 42

y ? log2 x

规律:在x轴 上方图象自左 向右底数越来 越大!

x 1 2 3

y ? log3 x

y=1
4
x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1
-2

3

知识与技能目标:
1.记住对数函数的定义; 2.会画对数函数的图象。

过程与方法目标:
经历函数 y ? log2 x 和 y ? l og1 x 的画法,观察
其图象特征并用代数语言进行描述得出函数性质,进一 步探究出函数 y ? loga x   (a ? 0,且 a ? 1)的图象与性 质.
2

情感态度价值观目标:
通过本节课的学习增强学生的数形结合思想.

作业: P74.习题2.2

7 ,8


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