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高中数学选修2-1新教学案:第三章空间向量与立体几何小结与复习


第三章

空间向量与立体几何

小结与复习

考试要求: (1)理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘. (2)了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算. (3)掌握空间向量的数量积的定义及其性质;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌 握空间两点间距离公式. (4)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念. (5)理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念 (6)会用求距离的常用方法(如:直接法、转化法、向量法). 对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况)和距离公式计 (7)掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法; (8)熟练掌握异面直线所成角的求解方法,熟练解决有关问题. 知识回顾: 1.空间向量的概念:具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
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? ? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a (? ? R)
运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a ; ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ; ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b . 3.共线向量 ? 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线, 也可能是平行直线. 4.共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a = ,

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?b.
推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O ,点 P 在 直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式

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?

???? ???? ? ? OP ? OA ? ta .其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
5.向量与平面平行:
1

已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 a 平行 ? 于平面 ? ,记作: a // ? . 通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的 6.共面向量定理:
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???? ???? ???? ??? ???? ? ? ???? ???? 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB M P? x M A y M B ? ①式叫做平面 MAB 的向量表达式
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如果两个向量 a , b 不共线, p 与向量 a , b 共面的充要条件是存在实数 x, y 使 p ? xa ? yb 推 论 : 空 间 一 点 P 位 于 平 面 MAB 内 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 x, y , 使
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7.空间向量基本定理: 如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组

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? ? ? ? x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc
???

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若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a , b , c } 叫做空间的一个基底, a , b , c 叫做基向量,空间任意三 个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
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推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数 x, y, z , 使 OP ? xOA ? yOB ? zOC

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8.空间向量的夹角及其表示:

b 已知两非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 OA ? a ,OB ? ,则 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹
角, 记作 ? a , b ? ; 且规定 0 ?? a , b ?? ? , 显然有 ? a , b ??? b , a ? ; ? a , b ?? 若

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? ? ???

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2

, 则称 a 与 b

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? ? 互相垂直,记作: a ? b .
9.向量的模: 设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作 | a | . 10.向量的数量积: a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a , b ? . 已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? ,作点 B 在

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???? ? ??? ? ? l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影.
可以证明 A?B? 的长度 | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | . 11.空间向量数量积的性质: (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a | ? a ? a .
2

???? ?

???? ?

??? ?

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12.空间向量数量积运算律: (1) (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ;

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2

(2) a ? b ? b ? a (交换律)(3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) ; . 13.空间向量运算的的坐标表示 ①令 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则

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? ?

? ? ?

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?

?

? ? ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 ) ( ? ?R ) ;
? ? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ;
a ∥b

?

?

? a 1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 ( ? ?R ) ?
a1b1 ? a2b2 ? a3b3

? ? a ?b ? ? ? ? 夹角公式: cos ? a , b ?? ? | a |?| b |
模长公式: | a |?

a1 a 2 a 3 ; ? ? b1 b 2 b 3

2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b32

?

? ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? a12 ? a2 2 ? a32 ( | a |2 ? a ? a ?| a |? a ? a )

②若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) . 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 空间两点 A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x2 , y2 , z2 ) 间的距离公式:
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??? ?

??? ? d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 .

4. 异面直线所成角:
(1)范围: (0?,90?] ; (2)计算方法: ①平移法:一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移; ②向量法:设 a 、 b 分别为异面直线 a 、 b 的方向向量, 则两异面直线所成角的余弦值为

?

?

cos ? a,b ??

a ?b . | a || b | a ?b ;) | a || b |

(则两异面直线所成的角 ? ? arccos

③补体法; ④证明两条异面直线垂直,即所成角为 90? . 5. 直线与平面所成的角: (1)定义:(课本)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角;一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角. (2)范围
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? 0?,90?? ;
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(3)最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切 角中最小的角. (4)斜线与平面所成角的计算: ①直接法:关键是作垂线,找射影 可利用面面垂直的性质; ②平移法:通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移,计算其平行线与平面所成的角.也可 平移平面; ③通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离 d ,计算这点与斜足之间的线段长 l ,则
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sin? ?

d . l

④应用结论:如右图所示, PO ? ? , O 为垂足, A 为斜足, AB ? ? , AP 与平面 ? 所成的 角为 ?1 , ?BAO ? ? 2 , ?PAB ? ? ,则 cos ? ? cos ?1 ? ? 2 . cos

P
l
? l

? n

?
?

A ? ?1 ?2 B

O

?

?
?

⑤向量法:设 l 是斜线 l 的方向向量, n 是平面 ? 的法向量,则斜线 l 与平面 ? 所成的角的正弦

?? l ?n 值 sin ? ? ? ? |l |?| n | ?? l ?n ? ? arcsin ? ? . |l |?| n |

6. 二面角:
(1)定义:平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出 发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面. 二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这 两条射线所成的角,叫做这个二面角的平面角.规定:二面角的两个半平面重合时,二面角为 0 ,当 两个半平面合成一个平面时,二面角为 ? ,因此,二面角的大小范围为 ? 0, ? ? . (2)确定二面角的方法: ①定义法; ②三垂线定理及其逆定理法; ③垂面法; ④射影面积法: cos ? ?

S射影多边形 S原多边形

,此方法常用于无棱二面角大小的计算;无棱二面角也可以

4

先根据线面性质恢复二面角的棱,然后再用方法①、②计算大小; ⑤向量法: 法一、在 ? 内作 a ? l ,在 ? 内作 b ? l .

?

?

? ? ? ? a? b ? . 其方向如左图,则二面角 ? ? l ? ? 的平面角的余弦值 cos ? ? cos ? a, b ?? ? | a |?| b | ? ? a? b ? ? arccos ? ? ; | a |?|b |
其方向如右图,则二面角 ? ? l ? ? 的平面角的余弦值为上面值的相反数.

? ? a? b ? ? ? ? arccos ? ? (同等异补). | a |?| b |

? a ? b

?

? a
? b

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法二、设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向 外侧(同等异补) ,则二面 角 ? ? l ? ? 的平面角的余弦值

?? ?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 ? cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? . | n1 || n2 |

?? n1 ?? ? n2

?

?

?? ?? ? n1 ?n2 ? ? ? arccos ?? ?? . | n1 || n2 |

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