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11-12学年高中数学 2.2.2 反证法同步练习 新人教A版选修2-2

选修 2-2 一、选择题 2.2.2 反证法 1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 [答案] C ) [解析] 在逻辑中“至多有 n 个”的否定是“至少有 n+1 个”,所以“至多有两个解” 的否定为“至少有三个解”,故应选 C. 2.否定“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( A.a、b、c 都是奇数 B.a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 C.a、b、c 都是偶数 D.a、b、c 中至少有两个偶数 [答案] B [解析] a,b,c 三个数的奇、偶性有以下几种情况:①全是奇数;②有两个奇数,一个 偶数;③有一个奇数,两个偶数;④三个偶数.因为要否定②,所以假设应为“全是奇数或 至少有两个偶数”.故应选 B. 3 .用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时,反设正确的是 ( ) A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60° [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于 60°”.故应选 B. 4. 用反证法证明命题: “若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理根, 那么 a, 2 ) b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a、b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个偶数 -1- ) [答案] B [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”,也就是说本题应假设为 a,b,c 都 不是偶数. 5.命题“△ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b”的结论的否定应该是( A.a<b B.a≤b C.a=b D.a≥b [答案] B [解析] “a>b”的否定应为“a=b 或 a<b”,即 a≤b.故应选 B. 6.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b 的位置关系为( A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 [答案] C [解析] 假设 c∥b,而由 c∥a,可得 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c 与 b 不可能是平 行直线.故应选 C. 1 1 1 7.设 a,b,c∈(-∞,0),则三数 a+ ,c+ ,b+ 中( ) ) b a c ) A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 [答案] C ? 1? ? 1? ? 1? [解析] ?a+ ?+?c+ ?+?b+ ? b a c ? ? ? ? ? c? ? ? 1? ? 1? ? 1? =?a+ ?+?b+ ?+?c+ ? ? a? ? b? ? ∵a,b,c∈(-∞,0), 1 ? ? 1?? ∴a+ =-?-a+?- ??≤-2 a ? ? a?? b+ =-?-b+?- ??≤-2 b ? ? b?? c+ =-?-c+?- ??≤-2 c ? ? c?? -2- 1 1 ? ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 1? ? 1? ∴?a+ ?+?c+ ?+?b+ ?≤-6 ? b? ? b a? ? a c? c 1 1 1 ∴三数 a+ 、c+ 、b+ 中至少有一个不大于-2,故应选 C. 8.若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 [答案] B [解析] 对于 A,若存在直线 n,使 n∥l 且 n∥m 则有 l∥m,与 l、m 异面矛盾;对于 C,过点 P 与 l、m 都相交的直线不一定存 在,反例如图(l∥α );对于 D,过点 P 与 l、m 都异面的直线不唯一. 9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四 位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁 说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 [答案] C [解析] 因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说对了,同时甲、乙中只有一人说对 ) ) 了,假设乙说的对,这样丙就错了,丁就对了,也就是甲也对了,与甲错矛盾,所以乙说错 了,从而知甲、丙对,所以丙为获奖歌手.故应选 C. xn(x2 n+3) 10.已知 x1>0,x1≠1 且 xn+1= (n=1,2?),试证“数列{xn}或者对任意正整数 n 2 3xn+1 都满足 xn<xn+1, 或者对任意正整数 n 都满足 xn>xn+1”, 当此题用反证法否定结论时, 应为( A.对任意的正整数 n,都有 xn=xn+1 B.存在正整数 n,使 xn=xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≥xn+1 且 xn≤xn-1 D.存在正整数 n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0 [答案] D [解析] 命题的结论是“对任意正整数 n,数列{xn}是递增数列或是递减数列”,其反设 是“存在正整数 n,使数列既不是递增数列,也不是递减数列”.故应选 D. 二、填空题 -3- ) 11 .命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是 ________. [答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形 [解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”. 12. 用反证法证明命题“a, b∈N, ab 可被 5 整除, 那么 a, b 中至少有一个能被 5 整除”, 那么反设的内容是________________. [答案] a,b 都不能被 5 整除 [解析] “至少有一

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