3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

人教A版数学必修二教案:§4.2.1直线与圆的位置关系(2)

第 2 课时 (一)导入新课 思路 1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船 正西 70 km 处,受影响的范围是半径长为 30 km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40 km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 图2 分析: 如图 2,以台风中心为原点 O,以东西方向为 x 轴,建立直角坐标系,其中,取 10 km 为 单位长度. 则台风影响的圆形区域所对应的圆心为 O 的圆的方程为 x2+y2=9; 轮船航线所在的直线 l 的方程为 4x+7y-28=0. 问题归结为圆心为 O 的圆与直线 l 有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ① 过圆上一点可作几条切线?如何求出切线方程? ② 过圆外一点可作几条切线?如何求出切线方程? ③ 过圆内一点可作几条切线? ④ 你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗? ⑤ 如何求直线与圆的交点? ⑥ 如何求直线与圆的相交弦的长? 讨论结果:①过圆上一点可作一条切线 , 过圆 x2+y2=r2 上一点 (x0,y0) 的切线方程是 x0x+y0y=r2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ② 过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与 圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程 有一个实根的充要条件——Δ=0 去求出 k 的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充 分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出 k 的值. ③ 过圆内一点不能作圆的切线. ④ 求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用① ② 中的切线公式法;二是设切线的斜 率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半 径(d=r),求出 k 的值. ⑤ 把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标. ⑥ 把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、 弦长、半径之间的关系来求. (三)应用示例 思路 1 例 1 过点 P(-2,0)向圆 x +y =1 引切线,求切线的方程. 2 2 图3 解 : 如 图 3, 方 法 一 : 设 所 求 切 线 的 斜 率 为 k, 则 切 线 方 程 为 y=k(x+2), 因 此 由 方 程 组 ? ? y ? k ( x ? 2), 得 x2+k2(x+2)2=1. ? 2 2 ? ? x ? y ? 1, 上述一元二次方程有一个实根, Δ=16k4-4(k2+1)(4k2-1)=12k2-4=0,k=± 3 , 3 所以所求切线的方程为 y=± 3 (x+2). 3 方法二:设所求切线的斜率为 k,则切线方程为 y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的 半径(d=r),所以 d= | 2k | 1? k 2 =1,解得 k=± 3 . 3 所以所求切线的方程为 y=± 3 (x+2). 3 方法三:利用过圆上一点的切线的结论 . 可假设切点为 (x0,y0), 此时可求得切线方程为 x0x+y0y=1. 然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x0=1,从中解得 x0=再由点(x0,y0)在圆上,所以满足 x02+y02=1,既 1 . 2 1 3 +y02=1,解出 y0=± . 4 2 y?0 这样就可求得切线的方程为 ? x?2 ? 3 ?0 2 , 1 ? ?2 2 整理得 y=± 3 (x+2). 3 点评:过圆外一点向圆可作两条切线;可用三种方法求出切线方程 ,其中以几何法“d=r” 比较好(简便). 变式训练 已知直线 l 的斜率为 k,且与圆 x2+y2=r2 只有一个公共点,求直线 l 的方程. 活动: 学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提 示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解. 图4 解:如图 4,方法一:设所求的直线方程为 y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得 d= |b| 1? k 2 =r,∴ b=± r 1 ? k 2 ,求得切线方程是 y=kx± r 1? k 2 . 方法二:设所求的直线方程为 y=kx+b,直线 l 与圆 x2+y2=r2 只有一个公共点,所以它们组成 的方程组只有一组实数解,由 ? ? ? y ? kx ? b, ,得 x2+k2(x+b)2=1,即 x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,Δ=0 得 2 2 2 x ? y ? r ? ? b=± r 1 ? k 2 ,求得切线方程是 y=kx± r 1? k 2 . 例 2 已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为 A(1,2),要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两 条,求 a 的取值范围. 活动:学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理, 利用几何方法,点 A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径. 解 : 将圆的方程配方得 (x+ a 2 a 4 ? 3a 2 ) +(y+1)2= , 圆心 C 的坐标为 ( - , - 1), 半径 2 2 4 r= 4 ? 3a 2 , 4 条件是 4-3a2>0,过点 A(1,2)所作圆的切线有两条,则点 A 必在圆外, 即 a 2 4 ? 3a 2 2 . (1 ? ) ? (2 ? 1) > 2 4 2 ? ?a ? a ? 9 ? 0, 化简,得 a +a+9>0,由 ? 2 ? ?4 ? 3a ? 0, 2 解得- 2 3 2 3 <a< ,a∈R. 3 3 2 3 2 3 <a< . 3 3 所以-

xaairways.com tuchengsm.com gaizaoahe.com
网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语 | xaairways.com | tuchengsm.com | gaizaoahe.com
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com