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2016年河南省商丘市中考数学四模试卷含答案解析(word版)


2016 年河南省商丘市中考数学四模试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 24 分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的 1.在数﹣3,﹣2,0,3 中,大小在﹣1 和 2 之间的数是( ) A.﹣3B.﹣2C.0D.3 2.下列各式正确的是( ) 2 2 3 3 A. (﹣a) =a B. (﹣a) =a C.|﹣a2|=﹣a2D.|﹣a3|=a3 3.如图所示得到几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的,则这个几何体的左视图是 ( )

A.

B.

C.

D.

4. 生物学家发现了一种病毒的长度约为 0.00000432 毫米. 数据 0.00000432 用科学记数法表 示为( ) A.0.432×10﹣5B.4.32×10﹣6C.4.32×10﹣7D.43.2×10﹣7 5.如图,在平行四边形 ABCD 中,EF∥AB 交 AD 于 E,交 BD 于 F,DE:EA=3:4,EF=3, 则 CD 的长为( )

A.4B.7C.3D.12 6.已知边长为 m 的正方形面积为 12,则下列关于 m 的说法中,错误的是( ①m 是无理数; ②m 是方程 m2﹣12=0 的解; ③m 满足不等式组 ;



④m 是 12 的算术平方根. A.①②B.①③C.③D.①②④ 7.餐桌桌面是长为 160cm,宽为 100cm 的长方形,妈妈准备设计一块桌布,面积是桌面的 2 倍,且使四周垂下的边等宽.若设垂下的桌布宽为 xcm,则所列方程为( ) A.=160×100×2B.=160×100×2 C.=160×100D.2=160×100 8.如图,△ ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16.点 P 是斜边 AB 上一点.过点 P 作 PQ⊥AB,垂足为 P,交边 AC(或边 CB)于点 Q,设 AP=x,△ APQ 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数图象大致为( )
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A.

B.

C.

D.

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 9. 的平方根是 . 10.用等腰直角三角板画∠AOB=45°,并将三角板沿 OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕 点 M 逆时针方向旋转 22°,则三角板的斜边与射线 OA 的夹角 α 为 度.

11.两组数据:3,a,2b,5 与 a,6,b 的平均数都是 6,若将这两组数据合并为一组数据, 则这组新数据的中位数为 . 12.4 个数 a,b,c,d 排列成 ,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:

=ad﹣bc.若

=12,则 x=

. ,使得事件“对于二次函数 y= x2﹣(m﹣1)

13.写一个你喜欢的实数 m 的值

x+3,当 x<﹣3 时,y 随 x 的增大而减小”成为随机事件. 14.如图,OA 在 x 轴上,OB 在 y 轴上,OA=8,AB=10,点 C 在边 OA 上,AC=2,⊙P 的圆心 P 在线段 BC 上,且⊙P 与边 AB,AO 都相切.若反比例函数 y= (k≠0)的图象经 过圆心 P,则 k= .

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15.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,点 P 是 AB 上(不含端点 A,B)任意一点, 把△ PBC 沿 PC 折叠,当点 B′的对应点落在矩形 ABCD 的对角线上时,BP= .

三、解答题(本大题有 8 个小题,共 75 分) 16.先化简,再求值: ÷ ,其中 m 是方程 x2+2x﹣3=0 的根.

17.已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m=0. (1)若方程有实数根,求实数 m 的取值范围; (2)若方程有一个实数根是最大的负整数,求实数 m 的值及另一根. 18.中华文明,源远流长:中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了 一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中 200 名学生的成绩(成绩 x 取整数,总分 100 分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表: 成绩 x/分 频数 频率 50≤x<60 10 0.05 60≤x<70 20 0.10 70≤x<80 30 b 80≤x<90 a 0.30 90≤x≤100 80 0.40 请根据所给信息,解答下列问题: (1)a= ,b= ; (2)请补全频数分布直方图; (3)这次比赛成绩的中位数会落在 分数段; (4)若成绩在 90 分以上(包括 90 分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的 3000 名学生中 成绩“优”等约有多少人?

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19. E 分别是边 AB、 AC 的中点, △ ABC 是边长为 6 的等边三角形, 如图 1, 点 D、 将△ ADE A BD CE F 绕点 旋转, 与 所在的直线交于点 . (1)如图(2)所示,将△ ADE 绕点 A 逆时针旋转,且旋转角小于 60°,∠CFB 的度数是 多少?说明你的理由? (2)当△ ADE 绕点 A 旋转时,若△ BCF 为直角三角形,线段 BF 的长为 (请

直接写出答案)

20. 如图. 有一艘渔船 P 在捕鱼作业时出现故障, 急需抢修, 调度中心通知附近两个小岛 A, B 上的观测点进行观测, 从观测站 A 测得渔船 P 在北偏西 60°的方向,同时测得搜救船 C 也 在北偏西 60°的方向,从观测站 B 测得渔船 P 在北偏东 32°的方向,测得搜救船 C 在北偏西 45°方向,已知观测站 A 在观测站 B 东 40 里处,问搜救船 C 与渔船 P 的距离是多少?(结 果保留整数,参考数据:sin32°≈0.53,cos32°≈0.85;tan32°≈0.62,sin58°≈0.85;cos58°≈0.53; tan58°≈1.60; ≈1.41, ≈1.73) .

21. 我市某风景区门票价格如图所示, 黄冈赤壁旅游公司有甲、 乙两个旅游团队, 计划在“五 一”小黄金周期间到该景点游玩.两团队游客人数之和为 120 人,乙团队人数不超过 50 人, 设甲团队人数为 x 人.如果甲、乙两团队分别购买门票,两团队门票款之和为 W 元. (1)求 W 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)若甲团队人数不超过 100 人,请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约 多少钱; (3)“五一”小黄金周之后,该风景区对门票价格作了如下调整:人数不超过 50 人时,门票 价格不变;人数超过 50 人但不超过 100 人时,每张门票降价 a 元;人数超过 100 人时,每

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张门票降价 2a 元,在(2)的条件下,若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩, 最多可节约 3400 元,求 a 的值.

22.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”,例如图 1,图 2,图 3 中, AF,BE 是△ ABC 的中线,AF⊥BE,垂足为 P,像△ ABC 这样的三角形均称为“中垂三角 形”,设 BC=a,AC=b,AB=c. 特例探索 (1)如图 1,当∠ABE=45°,c=2 时,a= 如图 2,当∠ABE=30°,c=4 时,a= ,b= ,b= . .

归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果,猜想 a2,b2,c2 三者之间的关系,用等式表示出来,并 利用图 3 证明你发现的关系式. 拓展应用 (3)如图 4,在?ABCD 中,点 E、F、G 分别是 AD,BC,CD 的中点,BE⊥EG,AD=2 , AB=3,求 AF 的长.

23.阅读材料:如图 1,过△ ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两 条直线之间的距离叫△ ABC 的“水平宽”(a) ,中间的这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫 △ ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ ABC= ah,即三角 形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题: 如图 2, 抛物线顶点坐标为点 C (1, 4) ,交 x 轴于点 A(3,0) ,交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式; (2)求△ CAB 的铅垂高 CD 及 S△ CAB; (3)抛物线上是否存在一点 P,使 S△ PAB= S△ CAB?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在, 请说明理由.

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2016 年河南省商丘市中考数学四模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 3 分,共 24 分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的 1.在数﹣3,﹣2,0,3 中,大小在﹣1 和 2 之间的数是( ) A.﹣3B.﹣2C.0D.3 【考点】有理数大小比较. 【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可. 【解答】解:根据 0 大于负数,小于正数,可得 0 在﹣1 和 2 之间, 故选:C. 2.下列各式正确的是(
2 2

) A. (﹣a) =a B. (﹣a) =a C.|﹣a2|=﹣a2D.|﹣a3|=a3 【考点】幂的乘方与积的乘方;绝对值. 【分析】﹣1 的偶次幂是 1,﹣1 的奇次幂是﹣1,一个数的绝对值是非负数. 【解答】解:A、 (﹣a)2=a2,正确; B、应为(﹣a)3=﹣a3,故本选项错误; C、应为|﹣a2|=a2,故本选项错误; D、|﹣a3|的值不能确定,故本选项错误. 故选 A.
3 3

3.如图所示得到几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的,则这个几何体的左视图是 ( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单组合体的三视图. 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案. 【解答】解:从左边看第一层是一较短的个矩形,第二层是一个矩形, 故选:D. 4. 生物学家发现了一种病毒的长度约为 0.00000432 毫米. 数据 0.00000432 用科学记数法表 示为( ) A.0.432×10﹣5B.4.32×10﹣6C.4.32×10﹣7D.43.2×10﹣7 【考点】科学记数法—表示较小的数.

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【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10﹣n,与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂, 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定. 【解答】解:0.00000432=4.32×10﹣6, 故选:B. 5.如图,在平行四边形 ABCD 中,EF∥AB 交 AD 于 E,交 BD 于 F,DE:EA=3:4,EF=3, 则 CD 的长为( )

A.4B.7C.3D.12 【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 【分析】由 EF∥AB,根据平行线分线段成比例定理,即可求得 ,则可求得 AB 的

长,又由四边形 ABCD 是平行四边形,根据平行四边形对边相等,即可求得 CD 的长. 【解答】解:∵DE:EA=3:4, ∴DE:DA=3:7 ∵EF∥AB, ∴ ∵EF=3, ∴ , ,

解得:AB=7, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴CD=AB=7. 故选 B. 6.已知边长为 m 的正方形面积为 12,则下列关于 m 的说法中,错误的是( ①m 是无理数; ②m 是方程 m2﹣12=0 的解; ③m 满足不等式组 ; )

④m 是 12 的算术平方根. A.①②B.①③C.③D.①②④ 【考点】算术平方根;平方根;无理数;不等式的解集. 【分析】①根据边长为 m 的正方形面积为 12,可得 m2=12,所以 m=2 一个无理数,可得 m 是无理数,据此判断即可. ②根据 m2=12,可得 m 是方程 m2﹣12=0 的解,据此判断即可.

,然后根据



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③首先求出不等式组

的解集是 4<m<5,然后根据 m=2

<2×2=4,可得 m 不

满足不等式组

,据此判断即可.

④根据 m2=12,而且 m>0,可得 m 是 12 的算术平方根,据此判断即可. 【解答】解:∵边长为 m 的正方形面积为 12, ∴m2=12, ∴m=2 , ∵ 是一个无理数, ∴m 是无理数, ∴结论①正确; ∵m2=12, ∴m 是方程 m2﹣12=0 的解, ∴结论②正确; ∵不等式组 的解集是 4<m<5,m=2 <2×2=4,

∴m 不满足不等式组



∴结论③不正确; ∵m2=12,而且 m>0, ∴m 是 12 的算术平方根, ∴结论④正确. 综上,可得 关于 m 的说法中,错误的是③. 故选:C. 7.餐桌桌面是长为 160cm,宽为 100cm 的长方形,妈妈准备设计一块桌布,面积是桌面的 2 倍,且使四周垂下的边等宽.若设垂下的桌布宽为 xcm,则所列方程为( ) A.=160×100×2B.=160×100×2 C.=160×100D.2=160×100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【分析】本题可先求出桌布的面积,再根据题意用 x 表示桌面的长与宽,令两者的积为桌布 的面积即可. 【解答】解:依题意得:桌布面积为:160×100×2, 桌面的长为:160+2x,宽为:100+2x, 则面积为==2×160×100. 故选 B.

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8.如图,△ ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16.点 P 是斜边 AB 上一点.过点 P 作 PQ⊥AB,垂足为 P,交边 AC(或边 CB)于点 Q,设 AP=x,△ APQ 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】动点问题的函数图象. 【分析】分点 Q 在 AC 上和 BC 上两种情况进行讨论即可. 【解答】解:当点 Q 在 AC 上时, ∵∠A=30°,AP=x, ∴PQ=xtan30°= , = x2;

∴y= ×AP×PQ= ×x×

当点 Q 在 BC 上时,如下图所示:

∵AP=x,AB=16,∠A=30°, ∴BP=16﹣x,∠B=60°, ∴PQ=BP?tan60°= (16﹣x) . ∴ = = .

∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上,后半部分也为抛物线开口向下. 故选:B. 二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 9. 的平方根是 ±\sqrt{2} .
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【考点】平方根;算术平方根. 【分析】 的平方根就是 2 的平方根,只需求出 2 的平方根即可. 【解答】解:∵ =2,2 的平方根是± , ∴ 的平方根是± . 故答案为是± . 10.用等腰直角三角板画∠AOB=45°,并将三角板沿 OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕 点 M 逆时针方向旋转 22°,则三角板的斜边与射线 OA 的夹角 α 为 22 度.

【考点】平移的性质;同位角、内错角、同旁内角. 【分析】由平移的性质知,AO∥SM,再由平行线的性质可得∠WMS=∠OWM,即可得答 案. 【解答】解:由平移的性质知,AO∥SM, 故∠WMS=∠OWM=22°; 故答案为:22.

11.两组数据:3,a,2b,5 与 a,6,b 的平均数都是 6,若将这两组数据合并为一组数据, 则这组新数据的中位数为 6 . 【考点】中位数;算术平均数. 【分析】首先根据平均数的定义列出关于 a、b 的二元一次方程组,再解方程组求得 a、b 的 值,然后求中位数即可. 【解答】解:∵两组数据:3,a,2b,5 与 a,6,b 的平均数都是 6, ∴ ,

解得



若将这两组数据合并为一组数据,按从小到大的顺序排列为 3,4,5,6,8,8,8, 一共 7 个数,第四个数是 6,所以这组数据的中位数是 6. 故答案为 6.

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12.4 个数 a,b,c,d 排列成

,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:

=ad﹣bc.若

=12,则 x= 1



【考点】整式的混合运算;解一元一次方程. 【分析】利用题中的新定义化简已知等式,求出解即可得到 x 的值. 【解答】解:利用题中新定义得: (x+3)2﹣(x﹣3)2=12, 整理得:12x=12, 解得:x=1. 故答案为:1. ,使得事件“对于二次函数 y= x2

13.写一个你喜欢的实数 m 的值

﹣4(答案不唯一)

﹣(m﹣1)x+3,当 x<﹣3 时,y 随 x 的增大而减小”成为随机事件. 【考点】随机事件;二次函数的性质. 【分析】 直接利用公式得出二次函数的对称轴, 再利用二次函数的增减性结合随机事件的定 义得出答案. 【解答】解:y= x2﹣(m﹣1)x+3 x=﹣ =m﹣1,

∵当 x<﹣3 时,y 随 x 的增大而减小, ∴m﹣1<﹣3, 解得:m<﹣2, ∴x<﹣2 的任意实数即可. 故答案为:﹣4(答案不唯一) . 14.如图,OA 在 x 轴上,OB 在 y 轴上,OA=8,AB=10,点 C 在边 OA 上,AC=2,⊙P 的圆心 P 在线段 BC 上,且⊙P 与边 AB,AO 都相切.若反比例函数 y= (k≠0)的图象经 过圆心 P,则 k= ﹣5 .

【考点】切线的性质;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】作 PD⊥OA 于 D,PE⊥AB 于 E,作 CH⊥AB 于 H,如图,设⊙P 的半径为 r,根 据切线的性质和切线长定理得到 PD=PE=r,AD=AE,再利用勾股定理计算出 OB=6,则可 判断△ OBC 为等腰直角三角形,从而得到△ PCD 为等腰直角三角形,则 PD=CD=r,

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AE=AD=2+r,通过证明△ ACH∽△ABO,利用相似比计算出 CH= ,接着利用勾股定理计 算出 AH= ,所以 BH=10﹣ = ,然后证明△ BEP∽△BHC,利用相似比得到即

=

,解得 r=1,从而易得 P 点坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征求

出 k 的值. 【解答】解:作 PD⊥OA 于 D,PE⊥AB 于 E,作 CH⊥AB 于 H,如图,设⊙P 的半径为 r, ∵⊙P 与边 AB,AO 都相切, ∴PD=PE=r,AD=AE, 在 Rt△ OAB 中,∵OA=8,AB=10, ∴OB= =6,

∵AC=2, ∴OC=6, ∴△OBC 为等腰直角三角形, ∴△PCD 为等腰直角三角形, ∴PD=CD=r, ∴AE=AD=2+r, ∵∠CAH=∠BAO, ∴△ACH∽△ABO, ∴ = ,即 = = , ,解得 CH= , = ,

∴AH= ∴BH=10﹣ =

∵PE∥CH, ∴△BEP∽△BHC, ∴ = ,即 = ,解得 r=1,

∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5, ∴P(5,﹣1) , ∴k=5×(﹣1)=﹣5. 故答案为﹣5.

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15.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,点 P 是 AB 上(不含端点 A,B)任意一点, 把△ PBC 沿 PC 折叠,当点 B′的对应点落在矩形 ABCD 的对角线上时,BP= \frac{3}{2} 或\frac{9}{4} .

【考点】翻折变换(折叠问题) ;矩形的性质. ①点 B 落在矩形对角线 BD 上, ②点 B 落在矩形对角线 AC 上, 【分析】 分两种情况探讨: 由三角形相似得出比例式,即可得出结果. 【解答】解①点 A 落在矩形对角线 BD 上,如图 1 所示.

∵矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3 ∴∠ABC=90°,AC=BD, ∴AC=BD= =5.

根据折叠的性质得:PC⊥BB′, ∴∠PBD=∠BCP, ∴△BCP∽△ABD, ∴ 即 , = ,

解得:BP= . ②点 A 落在矩形对角线 AC 上,如图 2 所示.

根据折叠的性质得:BP=B′P,∠B=∠PB′C=90°, ∴∠AB′A=90°,
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∴△APB′∽△ACB, ∴ 即 , ,

解得:BP= . 故答案为: 或 .

三、解答题(本大题有 8 个小题,共 75 分) 16.先化简,再求值: ÷ ,其中 m 是方程 x2+2x﹣3=0 的根.

【考点】分式的化简求值;解一元二次方程-因式分解法. 【分析】首先根据运算顺序和分式的化简方法,化简 ÷ ,然后应

用因数分解法解一元二次方程,求出 m 的值是多少;最后把求出的 m 的值代入化简后的算 式,求出算式 ÷ 的值是多少即可.

【解答】解:

÷

= = ∵x2+2x﹣3=0, ∴(x+3) (x﹣1)=0, 解得 x1=﹣3,x2=1, ∵m 是方程 x2+2x﹣3=0 的根, ∴m1=﹣3,m2=1, ∵m+3≠0, ∴m≠﹣3, ∴m=1, 所以原式= = =

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17.已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m=0. (1)若方程有实数根,求实数 m 的取值范围; (2)若方程有一个实数根是最大的负整数,求实数 m 的值及另一根. 【考点】根与系数的关系;根的判别式. 【分析】 (1)利用方程根与判别式的关系,得出根的判别式符号直接解不等式得出即可; (2)将 x=﹣1 代入,进而求出 m 的值,进而得出方程的解. 【解答】解: (1)∵方程有实数根, 2 ∴b ﹣4ac=(﹣4)2﹣4m≥0, ∴m≤4; (2)∵最大的负整数是﹣1, ∴把 x=﹣1 代入原方程中,得: (﹣1)2﹣4×(﹣1)+m=0, 解得:m=﹣1﹣4=﹣5, ∴x2﹣4x﹣5=0, 解得:x1=5,x2=﹣1, 答:m 的值为﹣5,另一个实数根是 5. 18.中华文明,源远流长:中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了 一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中 200 名学生的成绩(成绩 x 取整数,总分 100 分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表: 成绩 x/分 频数 频率 50≤x<60 10 0.05 60≤x<70 20 0.10 70≤x<80 30 b 80≤x<90 a 0.30 90≤x≤100 80 0.40 请根据所给信息,解答下列问题: (1)a= 60 ,b= 0.15 ; (2)请补全频数分布直方图; (3)这次比赛成绩的中位数会落在 80≤x<90 分数段; (4)若成绩在 90 分以上(包括 90 分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的 3000 名学生中 成绩“优”等约有多少人?

【考点】频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表;中位数. 【分析】 (1)根据第一组的频数是 10,频率是 0.05,求得数据总数,再用数据总数乘以第 四组频率可得 a 的值,用第三组频数除以数据总数可得 b 的值; (2)根据(1)的计算结果即可补全频数分布直方图;
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(3) 根据中位数的定义, 将这组数据按照从小到大的顺序排列后, 处于中间位置的数据 (或 中间两数据的平均数)即为中位数; (4)利用总数 3000 乘以“优”等学生的所占的频率即可. 【解答】解: (1)样本容量是:10÷0.05=200, a=200×0.30=60,b=30÷200=0.15; (2)补全频数分布直方图,如下:

(3)一共有 200 个数据,按照从小到大的顺序排列后,第 100 个与第 101 个数据都落在第 四个分数段, 所以这次比赛成绩的中位数会落在 80≤x<90 分数段; (4)3000×0.40=1200(人) . 即该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等的大约有 1200 人. 故答案为 60,0.15;80≤x<90;1200. 19. E 分别是边 AB、 AC 的中点, △ ABC 是边长为 6 的等边三角形, 如图 1, 点 D、 将△ ADE 绕点 A 旋转,BD 与 CE 所在的直线交于点 F. (1)如图(2)所示,将△ ADE 绕点 A 逆时针旋转,且旋转角小于 60°,∠CFB 的度数是 多少?说明你的理由? (2) 当△ ADE 绕点 A 旋转时, 若△ BCF 为直角三角形, 线段 BF 的长为 \frac{4\sqrt{3}}{3} (请直接写出答案)

【考点】旋转的性质. 【分析】 (1)根据等边三角形的性质得到 AC=AB,∠EAD=∠CAB=60°,由点 D、E 分别是 边 AB、AC 的中点,得到 AE=AD,根据旋转的性质得到∠EAC=∠BAD,根据全等三角形 的性质得到∠ACE=∠ABD,推出 A,B,C,F 四点共圆,根据圆周角定理即可得到结论; (2)解直角三角形即可得到结论. 【解答】解: (1)∠CFB=60°,
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理由:∵△ABC 是等边三角形, ∴AC=AB,∠EAD=∠CAB=60°, ∵点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点, ∴AE=AD, ∵将△ ADE 绕点 A 旋转,BD 与 CE 所在的直线交于点 F, ∴∠EAC=∠BAD, 在△ ACE 与△ ABD 中, , ∴△ACE≌△ABD, ∴∠ACE=∠ABD, ∴A,B,C,F 四点共圆, ∴∠CFB=∠CAB=60°; (2)∵∠CFB=60°,∠BCF=90°, ∴∠CBF=30°, ∴BF= = = .

故答案为:



20. 如图. 有一艘渔船 P 在捕鱼作业时出现故障, 急需抢修, 调度中心通知附近两个小岛 A, B 上的观测点进行观测, 从观测站 A 测得渔船 P 在北偏西 60°的方向,同时测得搜救船 C 也 在北偏西 60°的方向,从观测站 B 测得渔船 P 在北偏东 32°的方向,测得搜救船 C 在北偏西 45°方向,已知观测站 A 在观测站 B 东 40 里处,问搜救船 C 与渔船 P 的距离是多少?(结 果保留整数,参考数据:sin32°≈0.53,cos32°≈0.85;tan32°≈0.62,sin58°≈0.85;cos58°≈0.53; tan58°≈1.60; ≈1.41, ≈1.73) .

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. PE⊥AB 于 E, AD= 【分析】 过 C 作 CD⊥AB 于 D, 连接 PB, 根据已知条件得到 BD=CD, CD,求得 CD=20( +1)里,AD=40+20( +1)里,解直角三角形得到 PE≈12,即可 得到结论. 【解答】解:过 C 作 CD⊥AB 于 D,PE⊥AB 于 E,连接 PB, ∴∠CBD=45°,∠CAD=30°,∠PBE=58°, ∴BD=CD,AD= CD,
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∵AB=40 里, ∴ = ,

∴CD=20( +1) , ∴AD=40+20( +1)里, 在 Rt△ PBE 中,BE= 在 Rt△ APE 中,AE= ∴ + PE=40, PE, = ,

∴PE≈12, ∴AP=2PE=24,AC=2CD=40( +1) , ∴CP=AC﹣PC=109﹣24=85(里) . 答:搜救船 C 与渔船 P 的距离是 85 里.

21. 我市某风景区门票价格如图所示, 黄冈赤壁旅游公司有甲、 乙两个旅游团队, 计划在“五 一”小黄金周期间到该景点游玩.两团队游客人数之和为 120 人,乙团队人数不超过 50 人, 设甲团队人数为 x 人.如果甲、乙两团队分别购买门票,两团队门票款之和为 W 元. (1)求 W 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)若甲团队人数不超过 100 人,请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约 多少钱; (3)“五一”小黄金周之后,该风景区对门票价格作了如下调整:人数不超过 50 人时,门票 价格不变;人数超过 50 人但不超过 100 人时,每张门票降价 a 元;人数超过 100 人时,每 张门票降价 2a 元,在(2)的条件下,若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩, 最多可节约 3400 元,求 a 的值.

【考点】一次函数的应用;一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用. 【分析】 (1)根据甲团队人数为 x 人,乙团队人数不超过 50 人,得到 x≥70,分两种情况: W=70x+80=﹣10x+9600, W=60x+80=﹣20x+9600, ①当 70≤x≤100 时, ②当 100<x<120 时, 即可解答;
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(2)根据甲团队人数不超过 100 人,所以 x≤100,由 W=﹣10x+9600,根据 70≤x≤100,利 用一次函数的性质,当 x=70 时,W 最大=8900(元) ,两团联合购票需 120×60=7200(元) , 即可解答; (3)根据每张门票降价 a 元,可得 W=(70﹣a)x+80=﹣(a+10)x+9600,利用一次函数 x=70 时, W 最大=﹣70a+8900 =7200﹣240a 的性质, (元) , 而两团联合购票需 120 (60﹣2a) (元) ,所以﹣70a+8900﹣=3400,即可解答. 【解答】解: (1)∵甲团队人数为 x 人,乙团队人数不超过 50 人, ∴120﹣x≤50, ∴x≥70, ①当 70≤x≤100 时,W=70x+80=﹣10x+9600, ②当 100<x<120 时,W=60x+80=﹣20x+9600, 综上所述,W= (2)∵甲团队人数不超过 100 人, ∴x≤100, ∴W=﹣10x+9600, ∵70≤x≤100, ∴x=70 时,W 最大=8900(元) , 120 60=7200 × 两团联合购票需 (元) , ∴最多可节约 8900﹣7200=1700(元) . (3)∵x≤100, ∴W=(70﹣a)x+80=﹣(a+10)x+9600, ∴x=70 时,W 最大=﹣70a+8900(元) , 两团联合购票需 120(60﹣2a)=7200﹣240a(元) , ∵﹣70a+8900﹣=3400, 解得:a=10. 22.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”,例如图 1,图 2,图 3 中, AF,BE 是△ ABC 的中线,AF⊥BE,垂足为 P,像△ ABC 这样的三角形均称为“中垂三角 形”,设 BC=a,AC=b,AB=c. 特例探索 (1)如图 1,当∠ABE=45°,c=2 时,a= 2\sqrt{5} ,b= 2\sqrt{5} . 如图 2,当∠ABE=30°,c=4 时,a= 2\sqrt{13} ,b= 2\sqrt{7} . 归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果,猜想 a2,b2,c2 三者之间的关系,用等式表示出来,并 利用图 3 证明你发现的关系式. 拓展应用 (3)如图 4,在?ABCD 中,点 E、F、G 分别是 AD,BC,CD 的中点,BE⊥EG,AD=2 , AB=3,求 AF 的长.

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【考点】相似形综合题. 【分析】 (1)由等腰直角三角形的性质得到 AP=BP= 得到 EF∥AB,EF= AB= AB=2,根据三角形中位线的性质,

,再由勾股定理得到结果;

(2)连接 EF,设∠ABP=α,类比着(1)即可证得结论. (3)连接 AC 交 EF 于 H,设 BE 与 AF 的交点为 P,由点 E、G 分别是 AD,CD 的中点, 得到 EG 是△ ACD 的中位线于是证出 BE⊥AC,由四边形 ABCD 是平行四边形,得到 AD∥BC,AD=BC=2 ,∠EAH=∠FCH 根据 E,F 分别是 AD,BC 的中点,得到 AE=BF=CF= AD= ,证出四边形 ABFE 是平行四边形,证得 EH=FH,推出 EH,AH 分

别是△ AFE 的中线,由(2)的结论得即可得到结果. 【解答】解: (1)∵AF⊥BE,∠ABE=45°, ∴AP=BP= AB=2,

∵AF,BE 是△ ABC 的中线, ∴EF∥AB,EF= AB= ,

∴∠PFE=∠PEF=45°, ∴PE=PF=1, 在 Rt△ FPB 和 Rt△ PEA 中, AE=BF= = ,

∴AC=BC=2 , ∴a=b=2 , 如图 2,连接 EF, 同理可得:EF= ×4=2, ∵EF∥AB, ∴△PEF~△ ABP, ∴ ,

在 Rt△ ABP 中, AB=4,∠ABP=30°, ∴AP=2,PB=2 , ∴PF=1,PE= , 在 Rt△ APE 和 Rt△ BPF 中,
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AE= ,BF= , ∴a=2 ,b=2 , 故答案为:2 ,2 ,2 (2)猜想:a2+b2=5c2, 如图 3,连接 EF, 设∠ABP=α, ∴AP=csinα,PB=ccosα, 由(1)同理可得,PF= PA= AE2=AP2+PE2=c2sin2α+

,2



,PE=

=

, +c2cos2α,

,BF2=PB2+PF2=



=c2sin2α+



=

+c2cos2α,



+

=

+c2cos2α+c2sin2α+



∴a2+b2=5c2; (3)如图 4,连接 AC,EF 交于 H,AC 与 BE 交于点 Q,设 BE 与 AF 的交点为 P, ∵点 E、G 分别是 AD,CD 的中点, ∴EG∥AC, ∵BE⊥EG, ∴BE⊥AC, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC=2 , ∴∠EAH=∠FCH, ∵E,F 分别是 AD,BC 的中点, ∴AE= AD,BF= BC, ∴AE=BF=CF= AD= ,

∵AE∥BF, ∴四边形 ABFE 是平行四边形, ∴EF=AB=3,AP=PF, 在△ AEH 和△ CFH 中, , ∴△AEH≌△CFH, ∴EH=FH, ∴EQ,AH 分别是△ AFE 的中线,
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由(2)的结论得:AF2+EF2=5AE2, ∴AF2=5 ∴AF=4. ﹣EF2=16,

23.阅读材料:如图 1,过△ ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两 条直线之间的距离叫△ ABC 的“水平宽”(a) ,中间的这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫 △ ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ ABC= ah,即三角 形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题: 如图 2, 抛物线顶点坐标为点 C (1, 4) ,交 x 轴于点 A(3,0) ,交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式; (2)求△ CAB 的铅垂高 CD 及 S△ CAB; (3)抛物线上是否存在一点 P,使 S△ PAB= S△ CAB?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在, 请说明理由.

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【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)已知了顶点 C 坐标,可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数,然后根 据 A 点的坐标可求出二次函数的解析式.然后根据求出的二次函数的解析式,求出 B 点的 坐标,然后可用待定系数法用 B、A 的坐标求出 AB 所在直线的解析式; (2)要求三角形 CAB 的面积,根据题中给出的求三角形面积的求法,那么要先求出水平 宽和铅垂高,求铅垂高就要求出 C,D 两点纵坐标,C 点的坐标已知,可用(1)中的一次 D 两点的纵坐标的差的绝对值就是三角形 CAB 的铅垂高, 函数求出 D 点的纵坐标, 那么 C, 而水平宽是 A 点的横坐标,这样可根据题中给出的求三角形的面积的方法得出三角形 CAB 的面积; (3)可先根据(2)中三角形 CAB 的面积得出三角形 PAB 的面积,三角形 PAB 中,水平 宽是 A 的横坐标为定值,因此根据三角形 PAB 的面积可得出此时的铅垂高,然后用抛物线 的解析式以及一次函数的解析式,先表示出铅垂高,然后根据由三角形 PAB 的面积求出的 铅垂高可得出关于 x 的方程, 即可得出 x 的值, 然后代入二次函数式中即可得出此点的坐标. 【解答】解: (1)设抛物线的解析式为:y1=a(x﹣1)2+4 把 A(3,0)代入解析式求得 a=﹣1 所以 y1=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3 设直线 AB 的解析式为:y2=kx+b 由 y1=﹣x2+2x+3 求得 B 点的坐标为(0,3) 把 A(3,0) ,B(0,3)代入 y2=kx+b 中 解得:k=﹣1,b=3 所以 y2=﹣x+3; (2)因为 C 点坐标为(1,4) 所以当 x=1 时,y1=4,y2=2 所以 CD=4﹣2=2 S△ CAB= ×3×2=3(平方单位) ; (3)假设存在符合条件的点 P,设 P 点的横坐标为 x,△ PAB 的铅垂高为 h, 则 h=y1﹣y2=(﹣x2+2x+3)﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x 由 S△ PAB= S△ CAB 得: ×3×(﹣x2+3x)= ×3 化简得:4x2﹣12x+9=0
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解得,x1=x2= , 将 x= 代入 y1=﹣x2+2x+3 中, 解得 P 点坐标为( , ) .

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2016 年 7 月 13 日

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