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高中数学必修4月考题


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高中数学必修 4 月考试题

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 一、单选题 1.已知平面向量 a , b 的夹角为 A. 1 B.

? 1 ,且 a ? 1, b ? ,则 a ? 2b ? 2 3

3

C. 2

D.

3 2

2.已知向量 a,b 满足 a ? 2b ? 0 , A.

? a ? b? ? b ? 2 ,则 b ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

1 2

B. 1

C.

2

D. 2

3.已知向量 a , b 满足 a ? 2b ? 0, ? a ? b? ? b ? 2 ,则 b ? A.

1 2

B. 1

C.

2
? ?

D. 2

4.关于函数 y ? 2sin ? 3x ? A. 其图象关于直线 x ? ?

??

? ? 1 ,下列叙述有误的是 4?

?
4

对称

B. 其图像可由 y ? 2sin ? x ?

? ?

??

1 ? ? 1图象上所有点横坐标变为原来的 3 倍得到 4?

C. 其图像关于点 ?

? 11? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

D. 其值域为 ?1,3

?

?
1 1 S AB ? AC ,则 ?BCD ? 3 2 S?ABD

5.在 ?ABC 中,D 为三角形所在平面内一点,且 AD ?

试卷第 1 页,总 4 页

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A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

6.设 x0 为函数 f ? x ? ? sin? x 的零点,且满足 x0 ? f ? x0 ? ( ) B. 19 个 C. 20 个 D. 21 个

? ?

1? ? ? 11 ,则这样的零点有 2?

A. 18 个

7.若将函数 f ? x ? ? sin2x ? cos2x 的图象向左平移 ? ( ? ? 0 )个单位,所得的图象 关于 y 轴对称,则 ? 的最小值是( A. )

? 4

B.

3? 8

C.

? 8

D.

5? 8

8.已知函数 f ? x ? ? asinx ? bcosx ,其中 a ? R , b ? R ,如果对任意 x ? R ,都有

f ? x? ? 2 ,
那么在下列不等式中一定成立的是( A. ?4 ? a ? b ? 4 B. ?4 ? a ? b ? 4 )
2 2 C. a ? b ? 2 2 2 D. a ? b ? 4

9.如果正方形 ABCD 的边长为 1,那么 AC ? AB 等于( A. 1 B.



2

C.

3

D. 2 )

10.如果向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? 4,3? ,那么 a ? 2b 等于( A.

? 9,8?

B.

? ?7, ? 4?

C.

? 7, 4 ?

D.

? ?9, ? 8?

试卷第 2 页,总 4 页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题 11.设 a ? ?1,3, ?2? , b ? ? 2, m+1, n ?1? ,且 a // b ,则实数 m ? n ? _____. 12.已知 sin ? ? ?

? ?

17? ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? ___________。 12 ? 3 12 ? ?

? ? 1

13 .已知函数 f ? x ? ? 3sin ?? x ? ? ? (? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图所示,则

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ?_______, ? ? _________。

14. 已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ?

π ) 的导函数 y ? f ' ? x ? 的部分图象如图 2

所示,且导函数 f ' ? x ? 有最小值 ?2 ,则 ? ? _________, ? ? ___________.

三、解答题 15.已知函数 f ? x ? ? 2

?

3cosx ? sinx sinx, x ? R.

?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期与单调增区间; (2)求函数 f ? x ? 在 ?0, ? 上的最大值与最小值. 4 16.已知向量 m ? ? 3sin

? π? ? ? ? ?

x ? x x? ? ,1? , n ? ? cos ,cos 2 ? ,记 f ? x ? ? m ? n . 4 ? 4 4? ?
试卷第 3 页,总 4 页

(2) 在 锐 角 ?ABC

(1) 若 f ? x ? ? 1 ,求 cos ? x ?

? 2a ? c? cosB ? bcosC

? ? π? ? 的值; 3?

中 , 角 A, B, C

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,求 f ? 2 A? 的取值范围.

试卷第 4 页,总 4 页

的 对 边 分 别 是 a, b, c, 且 满 足

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

参考答案 1.A 【解析】由已知条件得 a ? b ? 1?

1 ? 1 ? cos ? ,所以 a ? 2b ? 2 3 4

? a ? 2b ?

2

1 1 ? a 2 ? 4a ? b ? 4b2 ? 1 ? 4 ? ? 4 ? ? 1 ,故选 A 4 4
2.C 【解析】由条件知 a ? 2b , a? b ? b 2 ? 2, ? a? b ? 2b 2 ?b 2 ? 2 , b ? 故答案为:C。 3.C 【解析】 a ? 2b ? 0 ,所以 a ? b ? b ? b ? b ? 2 ,则 b ? 4.C 【解析】由已知,该函数关于点 ?

2。

?

?

2 ,故选 C.

? 11? ? ,1? 对称.故选 C. ? 12 ?

5.D 【解析】由已知,点 D 在 AB 边的中位线上,且为靠近 BC 边的三等分点处,从而有

S ?A B D ?
6.D 【 解

1 S ? A B C.故选 D. 2
析 】 从 题 设 可 得

? x0 ? k? ? x0 ? k ? k ? Z ?





k 1? ?? ?? k ? ? ? f ? x0 ? ? ? sin ? ? x0 ? ? ? sin ? k? ? ? ? ? ?1? ,故 k ? ? ?1? ? 11,当 k 取奇数时, 2? 2? 2? ? ? ?

, 共 12 个 数 ; 当 k 取 偶 数 时 , k ? 10 , 则 ? 11 k ? 12 , 则 k ? ?1, ?3, ? 5,? 7,? 9,

k ? 0, ? 2,? 4,? 6, ? ,共 8 9 个数,所以这样的零点的个数共有 21 个,应选答案 D。
点睛:解答本题的关键是如何理解“设 x0 为函数 f ? x ? ? sin? x 的零点”这一题设信息,通过 函数零点的概念建立三角方程,进而得到 ? x0 ? k? ? x0 ? k ? k ? Z ? ,为求解下面的不等 式 x0 ? f ? x0 ? 7.C 【解析】因为 f ? x ? ?

? ?

1? ? ? 11 提供了附加条件,最后运用分类整合的思想使得问题获解。 2?

?? ? 2sin ? 2 x ? ? ,所以向左平移 ? ( ? ? 0 )个单位,所得的函数为 4? ?

答案第 1 页,总 4 页

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?? ? g ? x ? ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 4? ?

, 由 其 图 象 关 于

y

轴 对 称 可 得

?? ? g ? 0 ? ? 2sin ?2 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2 4? ?
2? ?
8.D





?? ? s ?i ? ? n ? ?2 ? 4? ?



所1 以

?
4

? k? ?

?
2

?? ?

k? ? ? ? ? k ? Z ? ,则 ? 的最小值是 ,应选答案 C。 2 8 8
2 2 2 2

【解析】由题意得 f ? x ?max ? 2 ? a ? b ? 2 ? a ? b ? 4 ,选 D. 点睛:三角函数有界性是解决三角恒等关系的主要性质. 9.A 【解析】 AC ? AB ? AB ? BC ? AB ? AB ? 1 ,选 A. 10.B 【解析】 a ? 2b ? ?1, 2? ? ?8,6? ? ? ?7, ?4? ,选 B. 11.8 【解析】由题意得 12.

?

?

2

2 m ? 1 n ?1 ? ? ? m ? 5, n ? ?3, m ? n ? 8 1 3 ?2

1 3

【解析】 cos ? ? ?

? ?

?? 17 ? ?? 3 ? ? ? 1 ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 12 ? 2? 2 ? 12 ? 3 ? ??

点睛:三角函数求值的三种类型 (1)给角求值: 关键是正确选用公式, 以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用; ②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的. (3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角. 13.

??2

??

4? 3

【解析】由图像知道函数的半周期为 零 点

5? ? ? 2? ? ? ,故周期为 T ? ? ? ? w ? 2. 将函数 6 3 2 w
入 得 到



2? 2? ?? ? ? 2? ? f ? ? ? 0 ? 3sin ? ?? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z . ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z . 3 3 ?3? ? 3 ?
因为 ,0 ? ? ? 2? ,故得到 ? ? 故答案为:(1). ? ? 2

4? 。 3 4? (2). ? ? 。 3
答案第 2 页,总 4 页

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点睛:这个题目考查的是已知三角函数图像求解析式的问题。一般是通过图像可得到振幅, 周期,进而得到 w,根据图像的最值点或者零点求得函数中的 ? 角;有最值首选最值,无最 值再选零点,零点分第一零点和第二零点,注意区分即可。 14. 2

π 3

【 解 析 】 f ' ? x? ? ? cos ? ? x? ?? , 由 图 象 可 知 ? ? 2 , 则 f ' ? x? ? 2cos ? 2x ? ? ? , 又

π π π π ? ? f ? ? x ? ? cos ? 2 ? ? ? ? ? ?1,且 ? ? ,所以 ? ? ,故答案为 2 和 . 2 3 3 6 ? ?
15.(1)最小正周期为 T ? π. 单调增区间为 ? kπ ? 最大值 f ? x ?max ? 1 . 【解析】 试题分析: 根据题意、 二倍角的正弦、 余弦公式、 两角和的正弦公式运算化简 f ? x ? ; (1) 由三角函数的周期公式求出周期, 再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间; (2)由 x 的范围求出求出 2 x ? 值. 试 题 解 析 : 由 题 意 得 ,

? ?

π π? , kπ ? ? , k ? Z .(2)最小值 f ? x ?min 0 , 3 6?

?
6

的范围,再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小

f ? x ? ? 2 3sinxcosx ? 2sin 2 x ? 3sin2 x ? cos2 x ? 1

? 3 ? 1 π? ? ? 2? sin2 x ? cos2 x ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 , ? ? 3 ? 2 6? ? ? ?
(1) f ? x ? 的最小正周期为 T ? 令?

2π ? π. 2

π π π π π ? 2kπ ? 2 x ? ? ? 2kπ, k ? Z ,解得 ? ? kπ ? x ? ? kπ , 2 6 2 3 6

所以函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? kπ ?

? ?

π π? , kπ ? ? , k ? Z . 3 6?

(2)因为 0 ? x ?

π π π 2π 1 π? ? ,所以 ? 2 x ? ? ,所以 ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 4 6 6 3 2 6? ?

于是 1 ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? ? ? 2 ,所以 0 ? f ? x ? ? 1, 6?

当且仅当 x ? 0 时 f ? x ? 取最小值 f ? x ?min ? f ? 0? ? 0 , 当且仅当 2 x ?

π π π ?π? ? ,即 x ? 时最大值 f ? x ?max ? f ? ? ? 1 . 6 2 6 ?6?
答案第 3 页,总 4 页

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点睛:本题主要考查了三角函数的化简,以及函数 y ? Asin ?? x ? ? ? 的性质,属于基础题, 强调基础的重要性,是高考中的常考知识点;对于三角函数解答题中,当涉及到周期,单调 性, 单调区间以及最值等都属于三角函数的性质, 首先都应把它化为三角函数的基本形式即

y ? Asin ?? x ? ? ? ,然后利用三角函数 y ? Asinu 的性质求解.
16. (1)

? 3 ?1 3 ? 1 . (2) ? ? 2 , 2? . 2 ? ?

【解析】试题分析: (1)由 m ? ? 3sin

? ?

x ? x x? ? ,1? , n ? ? cos ,cos 2 ? , f ? x ? ? 1 ,利用平 4 ? 4 4? ?

面 向 量 数 量 积 公 式 可 得 sin ?

?x ?? 1 ? ? ? , 利 用 二 倍 角 的 余 弦 公 式 可 得 结 果 ; (2) 由 ?2 6? 2

? 2a ? c? cosB ? bcosC ,根据正弦定理得 ? 2sinA ? sinC ? cosB ? sinBcosC ,再由两角和
的正弦公式化简可得 cosB ? 的有界性即可得结果. 试题解析: (1) f ? x ? ? m ? n ? sin ?

1 ? ? ? 2? ,从而求得 B ? ,求得 ? A ? ? ,利用三角函数 2 3 3 6 3

?x ?? 1 ?x ?? 1 ? ? ? ,由 f ? x ? ? 1 ,得 sin ? ? ? ? , ?2 6? 2 ?2 6? 2

所以 cos ? x ?

? ?

??

?? 1 2? x ? ? 1 ? 2sin ? ? ? ? . 3? ?2 6? 2

(2)因为 ? 2a ? c ? cosB ? bcosC ,由正弦定理得

? 2sinA ? sinC ? cosB ? sinBcosC ,所以 2sinAcosB ? sinCcosB ? sinBcosC ,
所以 2sinAcosB ? sin ? B ? C ? ,因为 A ? B ? C ? ? ,

1 ? ? ,又 0 ? B ? ,所以 B ? , 2 2 3 2 2 ? ? ? ? ? 2? 则 A ? C ? ? , A ? ? ? C ,又 0 ? C ? ,则 ? A ? ,得 ? A ? ? , 3 3 2 6 2 3 6 3
所以 sin ? B ? C ? ? sinA ,且 sinA ? 0 ,所以 cosB ? 所以

3 ?? ?? 1 ? ? ? sin ? A ? ? ? 1,又因为 f ? 2 A? ? sin ? A ? ? ? , 6? 2 2 6? ? ?
? 3 ?1 3 ? ? 2 , 2? . ? ?

故函数 f ? 2 A? 的取值范围是 ?

答案第 4 页,总 4 页



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