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2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)


绝密★启用前

2017 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
本试卷 5 页,23 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。
x 1.已知集合 A={x|x<1},B={x| 3 ? 1 },则

A. A ? B ? {x | x ? 0} C. A ? B ? {x | x ? 1}

B. A ? B ? R D. A ? B ? ?

2. 如图, 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形 的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是

A. C.

1 4
1 2

B. D.

π 8
π 4

3.设有下面四个命题

1 p1 :若复数 z 满足 ? R ,则 z ? R ; z

p2 :若复数 z 满足 z 2 ? R ,则 z ? R ;

p3 :若复数 z1 , z2 满足 z1 z2 ? R ,则 z1 ? z2 ;

p4 :若复数 z ? R ,则 z ? R .
其中的真命题为 A. p1 , p3 B. p1 , p4 C. p2 , p3 D. p2 , p4

4.记 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和.若 a4 ? a5 ? 24 , S6 ? 48 ,则 {an } 的公差为 A.1 B.2 C.4 D.8

5.函数 f ( x) 在 (??, ??) 单调递减,且为奇函数.若 f (1) ? ?1 ,则满足 ?1 ? f ( x ? 2) ? 1 的 x 的取值范围 是 A. [?2, 2] 6. (1 ? B. [?1,1] C. [0, 4] D. [1,3]

1 )(1 ? x)6 展开式中 x 2 的系数为 x2
B.20 C.30 D.35

A.15

7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为

A.10

B.12

C.14

D.16 和 两个空白框中,可以分别填入

8.右面程序框图是为了求出满足 3n?2n>1000 的最小偶数 n,那么在

A.A>1 000 和 n=n+1 B.A>1 000 和 n=n+2 C.A ? 1 000 和 n=n+1 D.A ? 1 000 和 n=n+2 9.已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+

2π ),则下面结论正确的是 3

A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 到曲线 C2 B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 到曲线 C2 C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 到曲线 C2 D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 得到曲线 C2

π 个单位长度,得 6

π 个单位长度,得 12

1 π 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得 2 6 1 π 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度, 2 12

10.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C 交于 A、B 两点, 直线 l2 与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10

11.设 xyz 为正数,且 2 x ? 3 y ? 5z ,则 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z

12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了―解数 学题获取软件激活码‖的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4, 1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20, 21,22,依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么 该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220 D.110

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知向量 a,b 的夹角为 60° ,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .

?x ? 2 y ? 1 ? 14.设 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? ?1,则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为 ?x ? y ? 0 ?
15.已知双曲线 C:

.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径做圆 A,圆 A 与双曲线 a 2 b2

C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60° ,则 C 的离心率为________。 16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别 以 BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得 D、E、F 重合,得到三棱锥。当△ABC 的 边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______。

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (12 分)

a2 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 3sin A
(1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长. 18.(12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 ?BAP ? ?CDP ? 90 .
?

(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, ?APD ? 90 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
?

19.(12 分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其 尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

N (?, ? 2 ) .
(1) 假设生产状态正常, 记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的零件数, 求 P( X ? 1) 及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的零件,就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.26 10.12 9.91 9.96 10.13 9.96 10.02 10.01 9.22 9.92 10.04 9.98 10.05 10.04 9.95

经计算得 x ?

1 16 1 16 1 16 2 2 xi ? 9.97 , s ? ( x ? x ) ? (? xi ? 16 x 2 )2 ? 0.212 ,其中 xi 为抽取 ? ? i 16 i ?1 16 i ?1 16 i ?1

的第 i 个零件的尺寸, i ? 1, 2, ???,16 .

? ,用样本标准差 s 作为 ? 的估计值 ? ? ,利用估计值判断是否需对当 用样本平均数 x 作为 ? 的估计值 ?
? ? 3? ?,? ? ? 3? ? ) 之外的学科网数据,用剩下的数据估计 ? 和 ? (精确到 天的生产过程进行检查?剔除 (?
0.01). 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,则 P(? ? 3? ? Z ? ? ? 3? ) ? 0.997 4 ,

0.997 416 ? 0.959 2 , 0.008 ? 0.09 .
20.(12 分)

3 3 x2 y2 已知椭圆 C: 2 ? 2 =1 (a>b>0) ,四点 P1(1,1) ,P2(0,1) ,P3(–1, ) ,P4(1, )中恰有 a b 2 2
三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1,证明:l 过 定点. 21.(12 分)
x 2x 已知函数 ( f x) ? ae +(a﹣2) e ﹣x.

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) 有两个零点,求 a 的取值范围. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)
? x ? 3cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数),直线 l 的参数方程为 ? y ? sin ? , ? x ? a ? 4t , (t为参数) . ? ? y ? 1 ? t,

(1)若 a=?1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围.

2017 高考全国Ⅰ卷数学答案及解析 1 正确答案及相关解析

正确答案

A

解析 由由3x ? 1可得3x ? 30,则x ? 0,即B ? ?x | x ? 0? ,所以A ? B ? ?x | x ? 1?? ?x | x ? 0? ? ?x | x ? 0? ,

A ? B ? ?x | x ? 1?? ?x | x ? 0? ? ?x | x ? 1?
故选 A.

考查方向
(1)集合的运算(2)指数运算性质.

解题思路
应先把集合化简再计算,再直接进行交、并集的定义运算.

易错点
集合的交、并集运算灵活运用

2

正确答案及相关解析

正确答案

B

解析
a ?a 2 2 a 设正方形边长为 a,则圆的半径为 ,正方形的面积为 ,圆的面积为 .由图形的对称性可知,太极图 2 4
中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是

1 ?a 2 ? 2 4 ? ? ,选 B. a2 8 考查方向
几何概型

解题思路
a ?a 2 2 ,正方形的面积为 a ,圆的面积为 .由图形的对称性可知,太极图中 2 4

正方形边长为 a,则圆的半径为

黑白部分面积相等,再由几何概型概率的计算公式得出结果

易错点
几何概型中事件 A 区域的几何度量

3

正确答案及相关解析

正确答案

B

解析
令 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则由

1 1 a ? bi ? ? 2 ? R得b ? 0 ,所以 z ? R , P1 正确; z a ? bi a ? b2

由 i 2 ? ?1? R, i ? R 知, P2 不正确; 由 z1 ? z2 ? i, z1 ? z2 ? ?1? R知P 3不正确;

P4 显然正确,故选 B.
考查方向
(1)命题及其关系;(2)复数的概念及几何意义.

解题思路
根据复数的分类,复数运算性质依次对每一个进行验证命题的真假,可得答案

易错点
真假命题的判断

4

正确答案及相关解析

正确答案

C

解析
设公差为 d , a4 ? a5 ? a1 ? 3d ? a1 ? 4d ? 2a1 ? 7d ? 24,

S6 ? 6a1 ?

6?5 d ? 6a1 ? 15d ? 48 2a1 ? 7d ? 24 2 ,联立{ , 解得 d =4,故选 C. 6a1 ? 15d ? 48

考查方向
等差数列的基本量求解

解题思路

设公差为 d ,由题意列出两个方程,联立

{ 2a

, 求解得出答案 6a1 ? 15d ? 48

1

? 7d ? 24

易错点
数列的基本量方程组的求解

5

正确答案及相关解析

正确答案

D

解析

因为f ( x)为奇函数且在 (??,??)单调递减,要使?1 ? f ( x) ? 1成立,
则x满足 ? 1 ? x ? 1 ,从而由? 1 ? x ? 2 ? 1

?1, 得1 ? x ? 3,即满足?1 ? f ( x ? 2) ? 1成立的x取值范围为 3? ,
选 D.

考查方向
(1)函数的奇偶性;(2)函数的单调性

解题思路
? ?) 单调递减,单调递减.若 ? 1 ? f ( x) ? 1 ,满足 ? 1 ? x ? 1 ,从而由 由函数为奇函数且在 (??,
? 1 ? x ? 2 ? 1 得出结果 易错点
函数的奇偶性与单调性的综合应用

6

正确答案及相关解析

正确答案

C

解析
因为 ?1 ?

? ?

1? ?1 ? x ?6 ? 1? ?1 ? x ?6 ? 12 ? ?1 ? x ?6 ,则 ?1 ? x?6 展开式中含 x 2 的项为 1? C62 x2 ? 15x2 , 2 ? x ? x

1 1 6 ? ?1 ? x ? 展开式中含 x 2 的项为 2 ? C64 x 4 ? 15 x 2 ,故 x 2 的系数为 15+15=30,选 C. 2 x x

考查方向
二项式定理

解题思路
将第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,再分析好 x 的项的系数,两项进行加和即可求出答案
2

易错点
准确分析清楚构成 x 这一项的不同情况
2

7

正确答案及相关解析

正确答案

B

解析
由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,如下图,则该几何体各面内只有两个相同的梯形, 则这些梯形的面积之和为 2 ? ?2 ? 4 ? ? 2 ?

1 ? 12 ,故选 B. 2

考查方向
简单几何体的三视图

解题思路
由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,则该几何体各面内只有两个相同的梯形,由边的 关系计算出梯形的面积之和

易错点
根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量

8

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正确答案

D

解析

由题意, 因为 3 ? 2 ? 1000, 且框图中在 “否” 时输出, 所以判定框内不能输入 A ? 1000 , 故填 A ? 1000 ,
n n

又要求 n 为偶数且初始值为 0,所以矩形框内填 n ? n ? 2 ,故选 D.

考查方向
程序框图的应用。

解题思路
通过程序框图的要求,写出每次循环的结果得到输出的值.

易错点
循环结构的条件判断

9

正确答案及相关解析

正确答案

D

解析
因为 C1,C 2 函数名不同,所以先将 C2 利用诱导公式转化成与 C1 相同的函数名,则

2? ? 2? ? ? ?? ? ? ? C2: : y ? sin? 2 x ? ? ? ? cos? 2 x ? ? , ? ? cos? 2 x ? 3 ? 3 2? 6? ? ? ?
则由 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 选 D.

1 ? 倍变为 y ? cos 2 x ,再将曲线向左平移 个单位长度得到 C2 ,故 2 12

考查方向
(1)诱导公式;(2)三角函数图像变换.

解题思路
首先利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数,

2? ? 2? ? ? ?? ? ? ? C2: : y ? sin? 2 x ? ? ? ? cos? 2 x ? ? ;再进行图象的变换 ? ? cos? 2 x ? 3 ? 3 2? 6? ? ? ?

易错点
对变量 x 而言进行三角函数图像变换

10

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正确答案

A

解析

设直线 l1 方程为 y ? k1 ?x ? 1? ,

? y 2 ?4x ? 取方程 ? ? ? y ?k1?x ?1?
得 k12 x 2 ? 2k12 x ? 4 x ? k12 ? 0, x1 ? x2 ? ? ∴ 同理直线 l 2 与抛物线的交点满足 x3 ? x4 ? 由抛物线定义可知
2 2k1 ? 4 2k2 ?4 4 4 16 AB ? DE ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2 p ? ? ? 4 ? 2 ? 2 ? 8 ? 2 2 2 ? 8 ? 16 2 2 k1 k2 k1 k2 k1 k2
2 2k2 ?4 2 k2

? 2k12 ? 4 2k12 ? 4 ? k12 k12

当且仅当 k1 ? ?k2 ? 1 (或 ? 1 )时,取得等号.

考查方向
(1)抛物线的简单性质;(2)均值不等式

解题思路

? y 2 ?4x ? 设直线 l 方程为 y ? k ?x ? 1? ,联立 ? ,则 x ? x ? ? y ?k1?x ?1?
1 1

1

2

??

? 2k12 ? 4 2k12 ? 4 ,同理算出 ? k12 k12

x3 ? x4 ?
易错点

2 2k2 ?4 ,再由得 AB ? DE ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2 p ,利用均值不等式求出最小值 2 k2

抛物线焦点弦公式

11

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正确答案

D

解析
令 2 ? 3 ? 5 ? k (k ? 1) ,则 x ? log2 k , y ? log3 k , z ? log5 k ,
x y z



2 x 2 lg k lg 3 lg 9 ? ? ? ? 1 ,则 2 x ? 3 y , 3y lg 2 3 lg k lg 8

2 x 2 lg k lg 5 lg 25 ? ? ? ? 1 ,则 2 x ? 5 z ,故选 D. 5z lg 2 5 lg k lg 32

考查方向
指、对数运算性质

解题思路
令 2 x ? 3y ? 5z ? k (k ? 1) ,则 x ? log2 k , y ? log3 k , z ? log5 k ,分别比较

2x 2x , 得出结果 3y 5z

易错点
比较数的大小

12

正确答案及相关解析

正确答案

A

解析
由题意得,数列如下: 1, 1, 2 1,2,4 … 1,2,4,…, 2 … 则该数列的前 1 ? 2 ? ? ? k ?
k ?1

k (k ? 1) 项和为 2

? k (k ? 1) ? k ?1 k ?1 S? ? ? 1 ? (1 ? 2) ? ? ? (1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2 ? k ? 2 , 2 ? ?
要使

k ( k ? 1) ? 100 ,有 k ? 14 ,此时 k ? 2 ? 2k ?1 ,所以 k ? 2 是第 k ? 1 组等比数列 1,2,?,2k 的部分和, 2
t ?1

设 k ? 2 ? 1 ? 2 ? ?? 2

? 2t ? 1 ,

t 5 所以 k ? 2 ? 3 ? 14,则 t ? 5 ,此时 k ? 2 ? 3 ? 29 ,

所以对应满足条件的最小整数 N ?

29 ? 30 ? 5 ? 440 ,故选 A. 2

考查方向
等差数列、等比数列的求和.

解题思路
由题意列出数列,即为 1, 1, 2 1,2,4 … 1,2,4,…, 2
k ?1



得出一个新的数列,其 S ?

? k (k ? 1) ? k ?1 k ?1 ? ? 1 ? (1 ? 2) ? ? ? (1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2 ? k ? 2 ? 2 ?

,再由题

k ( k ? 1) ? 100 ,有 k ? 14 ,再设 k ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? 2t ?1 ? 2t ? 1 ,所以 k ? 2t ? 3 ? 14,则 t ? 5 , 2
5

此时 k ? 2 ? 3 ? 29 ,进而求出最小的整数 N

易错点
观察所给定数列的特征,进而求数列的通项和求和

13

正确答案及相关解析

正确答案

2 3
解析
a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4 b ? 4 ? 4 ? 2 ?1? cos 60 ? ? 4 ? 12 ,所以 a ? 2b ? 12 ? 2 3 .
2 2 2

考查方向
平面向量的运算.

解题思路
? 将 a ? 2b 平方得 a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4 b ? 4 ? 4 ? 2 ?1? cos 60 ? 4 ? 12 ,很容易得出结果 2 2 2

易错点
平面向量中求模长的通常是见模平方

14

正确答案及相关解析

正确答案 -5 解析
不等式组表示的可行域如图所示,

易求得 A?? 1,1?, B (? ,? ), C ( , ) , 由 z ? 3x ? 2 y 得 y ?

1 3

1 3

1 1 3 3

3 z x ? 在 y 轴上的截距越大, z 就越小, 2 2

所以,当直线 z ? 3x ? 2 y 过点 A 时, Z 取得最小值, 所以 Z 的最小值为 3 ? (?1) ? 2 ?1 ? ?5 .

考查方向
线性规划的应用

解题思路
作出不等式组对应的平面区域,根据 z 的几何意义,利用数形结合即可得到结论.

易错点
z 的几何意义

15

正确答案及相关解析

正确答案

2 3 3

解析
如图所示,作 AP ? MN ,因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点,则 MN 为双曲线的渐近线

y?

b x 上的点,且 A(a,0) , AM ? AN ? b , a

? 而 AP ? MN ,所以 ?PAN ? 30 ,

点 A(a,0) 到直线 y ?

b x 的距离 AP ? a

b b2 1? 2 a



在 Rt ?PAN 中, cos?PAN ?

PA NA

,代入计算得 a ? 3b ,即 a ? 3b ,
2 2

由 c ? a ? b 得 c ? 2b ,
2 2 2

所以 e ?

c 2b 2 3 . ? ? a 3 3b

考查方向
双曲线的简单性质.

解题思路
MN 为双曲线的渐近线 y ?

b x 上的点,且 A(a,0) , AM ? AN ? b ,又由题知 AP ? a

b 1? b a2
2



ab , c

在在 Rt ?PAN 中由边的关系,由边角关系求出 a ? 3b ,进而求出离心率

易错点

双曲线渐近线性质的灵活应用

16

正确答案及相关解析

正确答案

4 15
解析
如下图,设正三角形的边长为 x,则 OG ?

1 3 3 ? x? x. 3 2 6
2 2

? ? 3 3 ? ? 3 ? 3? ? ?? ? ? 5? 5 ? ? ? FG ? SG ? 5 ? x , SO ? h ? SG2 ? GO2 ? ? 5 ? x x ? ? ? 6 ? ? ? 6 6 3 ? ? ? ? ? ?
? 1 1 3 3 ? 15 3 5 ? 5? 5? x? ? 5x 4 ? x ? 三棱锥的体积 V ? S ?ABC ? h ? ? ? ? 3 3 4 3 ? 12 3 ?
令 n( x ) ? 5 x ?
4

.

3 5 5 3 4 x ,则 n?( x) ? 20x 3 ? x , 3 3

令 n?( x) ? 0,4 x ?
3

x4 ? 0, x ? 4 3 , 3

Vmax ?

75 ? 48? 5 ? 4 ? 4 15 . 12

考查方向
简单几何体的体积

解题思路

设正三角形的边长为 x,则 OG ?

1 3 3 ? x? x. 3 2 6

? FG ? SG ? 5 ?

3 x ,SO 量代入三棱锥的体积 6
,令 n( x) ? 5 x ?
4

? 1 1 3 3 ? 15 3 5 4 ?? V ? S ?ABC ? h ? ? ? 5? 5 ? x 5 x ? x ? ? 12 3 3 4 3 3 ? ?
的最大值

3 5 x ,求导求出体积 3

易错点
利用导函数求体积的最大值

17

正确答案及相关解析

正确答案
2 ;(2) 3 ? 33 3

(1)

解析
1 a 1 a2 ac sin B ? ,即 c sin B ? . 2 3 sin A 2 3 sin A

(1)由题设得

1 sin A sin C sin B ? . 2 3 sin A 2 故 sin B sin C ? . 3
由正弦定理得 (2)由题设及(1)得 cos B cos C ? sin B sin C ? ? 所以 B ? C ?

2? ? ,故 A ? . 3 3

1 1 ,即 cos( B ? C ) ? ? . 2 2

由题设得

1 a2 bc sin A ? ,即 bc ? 8 . 2 3 sin A
2 2

由余弦定理得 b ? c ? bc ? 9 ,即 ?b ? c? ? 3bc ? 9 ,得 b ? c ? 33 .
2

故 ?ABC 的周长为 3 ? 33 .

考查方向
(1)正弦定理;(2)余弦定理;(3)三角函数及其变换.

解题思路

(1)由三角形面积公式建立等式 的值;(2)由 cos B cos C ?

1 a2 ac sin B ? ,再利用正弦定理将边化成角,从而得出 sin B sin C 2 3 sin A

1 2 1 和 sin B sin C ? 计算出 cos( B ? C ) ? ? ,从而求出角 A ,根据题设和余 6 3 2

弦定理可以求出 bc 和 b ? c 的值,从而求出 ?ABC 的周长为 3 ? 33 .

易错点
解三角形

18

正确答案及相关解析

正确答案

(1)见解析;(2) ?

3 3

解析
(1)由已知 ?BAP ? ?CDP ? 90 ,得 AB⊥AP,CD⊥PD. 由于 AB//CD ,故 AB⊥PD ,从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB ? 平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD. (2)在平面 PAD 内作 PF ? AD ,垂足为 F , 由(1)可知, AB ? 平面PAD,故 AB ? PF ,可得 PF ? 平面ABCD 平面. 以 F 为坐标原点, FA 的方向为 x 轴正方向, AB 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 F ? xyz .
?

由(1)及已知可得 A(

2 2 2 2 ,0,0), P(0,0, ), B( ,1,0), C (? ,1,0) . 2 2 2 2

所以 PC ? (?

2 2 2 2 ,1,? ), CB ? ( 2, 0,0), PA ? ( ,0,? ), AB ? (0,1,0) . 2 2 2 2

设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PCB 的法向量,则

? 2 2 ? ?n ? PC ? 0 ?x? y? z ? 0, 即 ? ? 2 2 ? ? n ? CB ? 0 ? 2x ? 0 ?
可取 n ? (0,?1,? 2 ) . 设 m ? ( x, y, z ) 是平面 PAB 的法向量,则

? ? ? m ? PA ? 0 ? 2 x ? 2 z ? 0, 即 ? ? 2 2 ? ?m ? AB ? 0 ? y ? 0. ?
可取 m ? (1,0,1) . 则 cos n, m ?

n?m 3 , ?? n?m 3
3 . 3

所以二面角 A ? PB ? C 的余弦值为 ?

考查方向
(1)面面垂直的证明;(2)二面角平面角的求解

解题思路
根据题设可以得出 AB⊥AP,CD⊥PD,而 AB//CD,就可证明出 AB⊥平面 PAD,进而证明平面 PAB⊥平面 PAD; (2)先找出 AD 中点,找出相互垂直的线,建立空间直角坐标系,列出所需要的点坐标,求出平面 PCB,平 面 PAB 的法向量,利用数量积求出二面角的平面角的余弦值

易错点
坐标法求两个半平面的法向量

19

正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向
(1)正态分布;(2)随机变量的期望和方差.

解题思路

易错点
随机变量的期望和方差的求解

20

正确答案及相关解析

正确答案

(1)C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ;(2)见解析 4

解析
(1)由于 P3 , P4 ,两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 P3 , P4 ,两点.

1 1 1 3 ? 2 ? 2 ? 2 知,C 不经过点 P ,所以点 P 在 C 上. 2 a b a 4b ?1 ? b 2 ? 1, ?a 2 ? 4 因此 ? 解得 ? 2 1 3 ?b ? 1 ? 2 ? 2 ? 1, 4b ?a
又由
1 2

x2 ? y2 ? 1 . 故 C 的方程为 4
(2)设直线 P A 与直线 P B 的斜率分别为 k ,k ,
2 2 1 2

如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 t ? 0 ,且 t ? 2 ,可得 A,B 的坐标分别为(t,

4 -t2 ),(t, 2

?

4 ?t2 ). 2 4 ?t2 ? 2 4 ?t2 ? 2 ? ? ?1 ,得 t ? 2 ,不符合题设. 2t 2t
x2 ? y2 ? 1 得 4

则 k1 ? k2 ?

从而可设 l: y ? kx ? m(m ? 1) .将 y ? kx ? m 代入

(4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx? 4m2 ? 4 ? 0 .
由题设可知 ? ? 16(4k ? m ? 1) ? 0
2 2
.

8km 4m 2 ? 4 设 A(x ,y ),B(x ,y ),则 x +x = ? 2 ,x x = . 4k ? 1 4k 2 ? 1
1 1 2 2 1 2 1 2

而 k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? m ? 1 kx2 ? m ? 1 2kx1 x2 ? (m ? 1)(x1 ? x2 ) ? ? ? ? . x1 x2 x1 x2 x1x2

由题设 k1 ? k2 ? ?1 ,故 (2k ? 1) x1 x2 ? (m ?1)(x1 ? x2 ) ? 0 . 即 (2k ? 1) ?

4m 2 ? 4 ? 8km ? (m ? 1) ? 2 ?0. 2 4k ? 1 4k ? 1

解得 k ? ?

m ?1 . 2 m ?1 m ?1 x ? m ,即 y ? 1 ? ? ( x ? 2) , 2 2

当且仅当 m ? ?1 时, ? ? 0 ,于是 l: y ? ? 所以 l 过定点(2,-1).

考查方向
(1)椭圆的标准方程;(2)直线与圆锥曲线的位置关系.

解题思路
(1)由于 P3 , P4 ,两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 P3 , P4 ,两点,又由

1 1 1 3 ? 2 ? 2 ? 2 知,C 2 a b a 4b
2 2

不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上.直接代入方程,进而求出椭圆的方程;(2)先设直线 P A 与直线 P B 的斜 率分别为 k ,k ,l 与 x 轴垂直,通过计算不符合题设;再设 l: y ? kx ? m(m ? 1) .将 y ? kx ? m 代入
1 2

x2 ? y 2 ? 1 ,写出判别式,韦达定理,表示出,由 k1 ? k2 ? ?1 列等式表示出 k 和 m 的关系,判断出直线恒 4
过定点

易错点
用根与系数的关系研究直线与圆锥曲线和关系

21

正确答案及相关解析

正确答案

(1)见解析;(2) (0,1)

解析
(1) f ( x) 的定义域为 (??,??) , f ?( x) ? 2ae2 x ? (a ? 2)e x ?1 ? (aex ?1)(2e x ? 1) , (ⅰ)若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (??,??) 单调递减. (ⅱ)若 a ? 0 ,则由 f ?( x) ? 0 得 x ? ? ln a . 当 x ? (??,? ln a) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (? ln a,??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (??,? ln a) 单调递减, 在 (? ln a,??) 单调递增. (2)(ⅰ)若 a ? 0 ,由(1)知, f ( x) 至多有一个零点. (ⅱ)若 a ? 0 ,由(1)知,当 x ? ? ln a 时, f ( x) 取得最小值,最小值为 f (? ln a ) ? 1 ?

1 ? ln a . a

①当 a ? 1 时,由于 f (? ln a) ? 0 ,故 f ( x) 只有一个零点; ②当 a ? (1,??) 时,由于 1 ? ③当 a ? (0,1) 时, 1 ?

1 ? ln a ? 0 ,即 f (? ln a) ? 0 ,故 f ( x) 没有零点; a

1 ? ln a ? 0 ,即 f (? ln a) ? 0 . a

又 f (?2) ? ae?4 ? (a ? 2)e?2 ? 2 ? ?2e?2 ? 2 ? 0 ,故 f ( x) 在 (??,? ln a) 有一个零点. 设正整数 n0 满足 n0 ? ln(

3 ? 1) ,则 f (n0 ) ? en0 (aen0 ? a ? 2) ? n0 ? en0 ? n0 ? 2n0 ? n0 ? 0 . a

由于 ln a( ? 1) ? ? ln a ,因此 f ( x) 在 (? ln a,??) 有一个零点. 综上, a 的取值范围为 (0,1) .

3 a

考查方向
(1)含参函数的单调性;(2)利用函数零点求参数取值范围.

解题思路
(1)讨论 f ( x) 单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,在对 a 按 a ? 0, a ? 0 ,进 行讨论,写出单调区间; (2)根据第(1)题,若 a ? 0, f ( x) ,至多有一个零点.若 a ? 0 ,当 x ? ? ln a 时,

1 ? ln a ,根据 a ? 1 , a ? (1,??), a ? (0,1) ,进行讨论,可 a 3 知当 a ? (0,1) 有 2 个零点,设正整数 n0 满足 n0 ? ln( ? 1) ,则 a 3 f (n0 ) ? en0 (aen0 ? a ? 2) ? n0 ? en0 ? n0 ? 2n0 ? n0 ? 0 .由 ln a( ? 1) ? ? ln a 于,因此 f ( x) 在 a

f ( x) 取得最小值,求出最小值 f (? ln a) ? 1 ?

(? ln a,??) 有一个零点.所以 a 的取值范围为 (0,1) .

易错点
含参函数进行分类讨论其单调性

22

正确答案及相关解析

正确答案
21 24 , ) .(2) a ? 8 或 a ? ?16 . 25 25

(3,0) (1) 或 (?

解析

(1)曲线 C 的普通方程为

x2 ? y2 ? 1 . 9

当 a ? ?1 时,直线 l 的普通方程为 x ? 4 y ? 3 ? 0 .

21 ? ?x ? 4 y ? 3 ? 0 x?? x ? 3 ? ? ? 25 . 由 ? x2 解得 ? 或? 2 24 ? y ? 1 ?y ? 0 ?y ? ? ? 9 25 ? 21 24 , ). 从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0), ( ? 25 25
(2)直线 l 的普通方程为 x ? 4 y ? a ? 4 ? 0 ,故 C 上的点 (3 cos? , sin ? ) 到 l 的距离为

d?

3 cos? ? 4 sin ? ? a ? 4 17

.

当 a ? ?4 时, d 的最大值为

a?9 a?9 ? 17 ,所以 a ? 8 ; .由题设得 17 17 ? a ?1 ? a ?1 ? 17 ,所以 a ? ?16 . .由题设得 17 17

当 a ? ?4 时, d 的最大值为 综上, a ? 8 或 a ? ?16 .

考查方向
(1)参数方程;(2)点到直线距离

解题思路
x2 ? y 2 ? 1 ,当 a ? ?1 时,直线 l 的普通方程为 x ? 4 y ? 3 ? 0 ,联立求解即可 9

(1)曲线 C 的普通方程为

得到交点坐标;(2)利用曲线 C 的求得曲线上点到直线的最大距离,根据条件求出 a 的值

易错点
用参数方程求曲线上点到直线最大距离

23

正确答案及相关解析

正确答案

(1) ? x | ?1 ? x ?

? ?

? 1 ? 17 ? ? ;(2) ?? 1,1? 2 ?

解析

(1)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 等价于 x2 ? x ? x ?1 ? x ?1 ? 4 ? 0 .① 当 x ? ?1 时,①式化为 x ? 3x ? 4 ? 0 ,无解;
2 2 当 ? 1 ? x ? 1 时,①式化为 x ? x ? 2 ? 0 ,从而 ? 1 ? x ? 1 ;

当 x ? 1 时,①式化为 x ? x ? 4 ? 0 ,从而 1 ? x ?
2

? 1 ? 17 . 2

所以 f ( x) ? g ( x) 的解集为 ? x | ?1 ? x ?

? ?

? 1 ? 17 ? ?. 2 ?

(2)当 x ? ?? 1,1?时, g ( x) ? 2 . 所以 f ( x) ? g ( x) 的解集包含 ?? 1,1? ,等价于当 x ? ?? 1,1?时 f ( x) ? 2 . 又 f ( x) 在 ?- 1,1? 的最小值必为 f (?1) 与 f (1) 之一,所以 f (?1) ? 2 且 f (1) ? 2 ,得 ? 1 ? a ? 1 . 所以 a 的取值范围为 ?? 1,1? .

考查方向
求解绝对值不等式

解题思路
(1) 分区间去绝对值, 然后分别解不等式, 最后取并集即为原不等式的解集; (2) 当 x ? ?? 1,1?时,g ( x) ? 2 . 转化为 f ( x) ? 2 在 ?- 1,1? 恒成立的问题

易错点
绝对值不等式的分段讨论


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