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2018.1海淀区高三理科数学期末试卷及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(理科) 2018.1 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1 ? 2i ? i A. 2 ? i B. 2 ? i (1)复数 C. ?2 ? i D. ?2 ? i (2)在极坐标系中 Ox ,方程 ? ? 2sin ? 表示的圆为 A. B. C. D. (3)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7 (4)设 m 是不为零的实数,则“ m 的曲线为双曲线”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 0 ”是“方程 x2 y 2 ? ? 1 表示 m m B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 (5)已知直线 x ? y ? m ? 0 与圆 O : x ? y ? 1 相交于 A, B 两点,且 ?AOB 为正三角形,则实数 m 的值为 A. 3 2 B. 6 2 C. 3 3 或? 2 2 D. 6 6 或? 2 2 (6)从编号分别为 1,2,3,4,5,6 的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻 的概率为 A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 1 (7)某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中: ①三棱锥的体积为 1 6 ②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥的四个面的面积最大的是 所有正确的说法是 A. ①B. ①②C. ②③D. ①③ 3 2 (8)已知点 F 为抛物线 C : y 2 ? 2 px( p 0) 的焦点,点 K 为点 F 关于原点的对称点,点 M 在抛物线 C 上, 则下列说法错误 的是 .. A.使得 ? MFK 为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个 B.使得 ? MFK 为直角三角形的点 M 有且仅有 4 个 C. 使得 ?MKF ? D. 使得 ?MKF ? ? ? 4 6 的点 M 有且仅有 4 个 的点 M 有且仅有 4 个 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)点 (2, 0) 到双曲线 x2 ? y 2 ? 1的渐近线的距离是 4 . . (10)已知公差为 1 的等差数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a4 成等比数列,则 ?an ? 的前 100 项和为 2 (11)设抛物线 C : y ? 4x 的顶点为 O ,经过抛物线 C 的焦点且垂直于 x 轴的直线和抛物线 C 交于 A, B 两点, 则 OA ? OB ? n . . (12)已知 (5x ? 1) 的展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64:1,则 n ? (13)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 4 2 ,点 M 是棱 BC 的中点,点 P 在底面 ABCD 内,点 Q 在 PM ? 1 ,则 PQ 长度的最小值为 线段 AC 1 1 上,若 . 2 ? ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? ? ? (14)对任意实数 k ,定义集合 Dk ? ?( x, y ) ? x ? y ? 2 ? 0 x, y ? R ? . ? ? kx ? y ? 0 ? ? ? ? ①若集合 Dk 表示的平面区域是一个三角形,则实数 k 的取值范围是 ; ②当 k ? 0 时, 若对任意的 ( x, y) ? Dk ,有 y ? a ( x ?3 ) ?1 恒成立,且存在 ( x, y) ? Dk ,使得 x ? y ? a 成 立,则实数 a 的取值范围为 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题 13 分) 如图,在 ?ABC 中,点 D 在 AC 边上,且 AD ? 3BC , AB ? (Ⅰ)求 DC 的值; (Ⅱ)求 tan ?ABC 的值. 7, ?ADB ? ? 3 , ?C ? ? 6 . (16) (本小题 13 分) 据中国日报网报道:2017 年 11 月 13 日,TOP500 发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示,中国超算在 前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理 器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试,结果如下(数值越小 ,速度越快 ,单 .... .... 位是 MIPS) 测试 1 品牌 A 品牌 B 3 2 测试 2 6 8 测试 3 9 5 测试 4 10 4 测试 5 4 2 测试 6 1 5 测试 7 12 8 测试 8 17 15 测试 9 4 5 测试 10 6 12 测试 11 6 10 测试 12 14 21 (Ⅰ)从品牌 A 的 12 次测试中,随机抽取一次,求测试结果小于 7 的概率; (Ⅱ)从 12 次测试中,随机抽取三次,记 X 为品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果的次数,求 X 的分布 列和数学期望 E(X) ; (Ⅲ)经过了解,前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件,后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依 据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价. 3 (17) (本小题 14 分) 如题 1 ,梯形 ABCD 中, AD / / BC, CD? BC, BC? CD? 1, AD 为 AD 中点 . 将 ?ABE 沿 BE 翻折到 ? 2, E ?A1BE 的位置,如图 2. (Ⅰ)求证:平面 ?A 1DE ? 平面 BCDE ; (Ⅱ)求直线 A 所成角的正弦值; 1B 与平面 ACD 1 (Ⅲ)设 M , N 分别为 A 和三棱锥 N ? ACD (图中未画出)的

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