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排列组合中的分组分配问题


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 排列组合中的分组分配问题 作者:靳志远 来源:《中学生导报· 教学研究》2013 年第 17 期 分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题, 实际上可运用分配问题的方法来解决。下面就排列组合中的分组分配问题,谈谈自己在教学中 的体会和做法。 一、 提出分组与分配问题,澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象,称为分配问题,分定向分配和不定向 分配两种问题;将 n 个不同元素按照某些条件分成 k 组,称为分组问题.分组问题有不平均分 组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间 只要元素个数相同是不区分的;而后者即使 2 组元素个数相同,但因对象不同,仍然是可区分 的.对于后者必须先分组后排列。 二、基本的分组问题 例 1 六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每组两本. (2)一组一本,一组二本,一组三本. (3)一组四本,另外两组各一本. 分析:(1)分组与顺序无关,是组合问题。分组数是 C26C24C22=90(种) ,这 90 种分 组实际上重复了 6 次。我们不妨把六本不同的书写上 1、2、3、4、5、6 六个号码,考察以下 两种分法:(1,2)(3,4)(5,6)与(3,4)(1,2)(5,6),由于书是均匀分组的, 三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入 了组的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数 A33,所以分法是 C26C24C22A33=15(种)。(2)先分组,方法是 C16C25C33,那么还要不要除以 A33?我们 发现,由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法,即共有 C16C25C33=60 (种) 分法。 (3)分组方法是 C46C12C11=30(种) ,那么其中有没有重复的分法呢?我们发现,其 中两组的书的本数都是一本,因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数不一 样,不可能重复。所以实际分法是 C46C12C11A22=15(种)。 通过以上三个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般方法。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 结论 1:一般地,n 个不同的元素分成 p 组,各组内元素数目分别为 m1 ,m2 ,…, mp ,其中 k 组内元素数目相等,那么分组方法数是 Cm1nCm2n-m1Cm3n-m1m2…CmpmpAkk。 三、基本的分配的问题 (一)定向分配问题 例 2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)甲两本、乙两本、丙两本. (2)甲一本、乙两本、丙三本. (3)甲四本、乙一本、丙一本. 分析:由于分配给三人,每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题,由分布计 数原理不难解出:分别有 C26C24C22=90(种),C16C25C33=60(种), C46C12C11=30 (种)。 (二)不定向分配问题 例 3 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每人两本. (2)一人一本、一人两本、一人三本. (3)一人四本、一人一本、一人一本. 分析:此组题属于分配中的不定向分配问题,是该类题中比较困难的问题。由于分配给三 人,同一本书给不同的人是不同的分法,所以是排列问题。实际上可看作“分为三组,再将这 三组

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