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专题回归分析独立性检验学生版

专题

回归分析、独立性检验(学生版)

提炼 1 变量的相关性 (1)正相关:在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域. (2)负相关:在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域. (3)相关系数 r:当 r>0 时,两变量正相关;当 r<0 时,两变量负相关;当|r|≤1 且|r|越接近于 1,相关程 度越高,当|r|≤1 且|r|越接近于 0,相关程度越低.

提炼 2 线性回归方程

^ ^ ^ 方程y=bx+a称为线性回归方程,其中 提炼 3 独立性检验 (1)确定分类变量,获取样本频数,得到列联表. n?ad-bc?2 (2)求观测值:k= . ?a+b??c+d??a+c??b+d?

^ - ^- - - ,a= y -b x .( x , y )称为样本中心点.

(3)根据临界值表,作出正确判断.如果 k≥kα,就推断“X 与 Y 有关系”,这种推断犯错误的概率不超 过 α,否则就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”.

回访 1

变量的相关性

1. (2015· 全国卷Ⅱ)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位: 万吨) 柱形图,以下结论中不正确的是( )

图 81
1

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 2.(2016· 全国丙卷)如图 82 是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨) 的折线图.

注:年份代码 1~7 分别对应年份 2008~2014. 图 82 (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.

[解]

(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
7 7 2

t =4,∑i=1 (ti- t ) =28,
7 7

∑i=1 ?yi- y ?2=0.55,
7

∑i=1 (ti- t )(yi- y )=∑i=1tiyi- t ∑i=1yi=40.17-4×9.32=2.89,2 分 2.89 ∴r≈ ≈0.99. 0.55×2×2.646 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性 回归模型拟合 y 与 t 的关系. 5分

2

9.32 (2)由 y = 7 ≈1.331 及(1)得

^ ^ a= y -b t ≈1.331-0.103×4≈0.92. ^ 所以,y 关于 t 的回归方程为y=0.92+0.10t. 10 分

^ 将 2016 年对应的 t=9 代入回归方程得y=0.92+0.10×9=1.82. 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 亿吨. 回访 2 独立性检验 12 分

3.(2014· 江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关 系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大的变 量是( )

A.成绩 B.视力 C.智商

D.阅读量

4.(2014· 安徽高考)某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4 500 人,为调 查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体 育运动时间的样本数据(单位:小时).

图 83

3

(1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图 83 所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],估计该校学 生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率. (3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均体 育运动时间与性别列联表, 并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间 与性别有关”. P(K2≥k0) k0
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

n?ad-bc?2 附:K = . ?a+b??c+d??a+c??b+d?

5.(2012· 辽宁高考)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随 机抽取了 100 名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频 率分布直方图:

图 84 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. 根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 10 55 体育迷 合计

4

热点题型 1

回归分析

题型分析:高考命题常以实际生活为背景,重在考查回归分析中散点图的作用、回归方程的求 法和应用,难度中等. (2016· 石家庄二模)为了解某地区某种农产品的年产量 x(单位:吨)对价格 y(单位:千元/吨) 和年利润 z 的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表: x y 1 7.0 2 6.5 3 5.5 4 3.8 5 2.2

^ ^ ^ (1)求 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a; (2)若每吨该农产品的成本为 2 千元, 假设该农产品可全部卖出, 预测当年产量为多少时, 年利润 z 取到最大值?(保留两位小数)

参考公式:

^ - ^- ,a= y -b x .

热点题型 2

独立性检验

题型分析:尽管全国卷Ⅰ在近几年未在该点命题,但其极易与分层抽样、古典概型等知识 交汇,是潜在的命题点之一,须引起足够的重视.
(2016· 河南省名校期中)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图 片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了 调查每天微信用户使用微信的时间,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名, 其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:

微信控

非微信控

总计

5

男性 女性 总计

26 30 56

24 20 44

50 50 100

(1)根据以上数据,能否有 60%的把握认为“微信控”与“性别”有关? (2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份,求所抽取 5 人中“微信 控”和“非微信控”的人数; (3)从(2)中抽取的 5 人中再随机抽取 2 人赠送 200 元的护肤品套装,求这 2 人中至少有 1 人为“非 微信控”的概率. n?ad-bc?2 参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d?

参考数据: P(K2≥k0) k0 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635

6


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