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河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考文数试题Word版含答案.doc


理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知向量 a ? (1, t ),b ? (?2,1) ,若 a ∥b ,则 t ? ( ) A. ? 2 B. ?

1 2

C. 2

D.

1 2

2.已知集合 ? 1,2? ? A ? ? 1,2,3,4,5?,则满足条件的集合 A 的个数是( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

2.已知复数 z 满足 (1 ? 3i) z ? 3i ,则 z ? ( )

A.

3 3 ? i 2 2

B.

3 3 ? i 2 2

C.

3 3 ? i 4 4

D.

3 3 ? i 4 4

3.在等比数列 ?an ?中, a1 ? a3 ? a5 ? 21 , a2 ? a4 ? a65 ? 42,则 S9 ? ( ) A. 255 B. 256 C. 511 D. 512

4.设函数 y ? f ( x), x ? R , “ y ? f ( x) 是偶函数”是“ y ? f ( x) 的图像关于原点对称”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.要得到函数 f ( x) ? sin 2 x, x ? R ,只需将函数 g ( x) ? cos2 x, x ? R 的图像( )

? 个单位 4 ? C.向左平移 个单位 4
A.向右平移

B.向右平移

? 个单位 2 ? D.向左平移 个单位 2

? x ? y ? 3 ? 0, ? 6.若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ) ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A. 3 B. 0 C. ? 3 D. ? 5

7.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 90? ,则 4

?F1 PF2 的面积为( )
A. 1 B.

5 2

C. 2

D. 5

8.执行如图所示的程序框图,若输入 a ? 1, b ? 2 ,则输出的 x ? ( ) A. 1.25 B. 1.375 C. 1.4375 D. 1.40625

9.设 x0 是方程 ( ) ?
x

1 3

x 的解,则 x0 所在的范围是( )
B. ( ,1)

A. ( 0 , )

1 3

2 3

C. ( , )

1 2 2 3

D. ( , )

1 1 3 2

10.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( ) A. 3 B.

8 3

C. 6 ? 2 2 ? 6

D. 6 ? 2 2

11.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 底面 ABCD ,

PA ? AB ? 4, E, F , H 分别是棱 PB, BC, PD 的中点,过 E, F , H 的平面分别交直线 PA, CD 于 M , N 两点,则 PM ? CN ? ( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2

12.设函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? ax ? 5 ? a ,若存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的 取值范围是( ) A. ( 0 , )

1 3

B. ( , ]

1 5 3 4

C. ( , ]

1 3 3 2

D. ( , ]

5 3 4 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 4i ,则 z ? _______. 14.若 tan ? ?

1 ,则 cos 2? ? _______. 2
2

15.已知抛物线 x ? 4 y 与圆 C : ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? r 2 (r ? 0) 有公共点 P ,若抛物线在 P 点处的切线与圆 C 也相切,则 r ? ______. 16.如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 8, AD ? 5, CD ? 3 3, ?A ? 60? , ?D ? 150? ,则

BC ? ____.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 设 Sn 为等差数列 ?an ?的前 n 项和, S10 ? 110 , S15 ? 240. (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)令 bn ?

an?1 an ? ? 2 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . an an ?1

18.(本小题满分 12 分)

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , BC ? PB , PC 与平面 ABCD 所成 角的正切值为 (1)求 AB ; (2)求点 E 到平面 PBD 的距离.

2 , ?BCD 为等边三角形, PA ? 2 2 , AB ? AD , E 为 PC 的中点. 2

19.(本小题满分 12 分) 某班一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示,数据分组依次为

[70,90),[90,110),[110,130),[130,150] ,已知成绩大于等于 90 分的人数为 36 人,现采用分
层抽样的方式抽取一个容量为 10 的样本. (1)求每个分组所抽取的学生人数;

,150) 的样本中任取 2 人,求恰有 1 人成绩在 [110,130) 的概率. (2)从数学成绩在 [110

20.(本小题满分 12 分) 如图, 过椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线, 垂足为左焦点 F ,A, B 分 a 2 b2

别为 E 的右顶点,上顶点,且 AB ∥ OP , AF ?

2 ?1 .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)C , D 为 E 上的两点, 若四边形 ACBD ( A, C , B, D 逆时针排列)的对角线 CD 所在直线 的斜率为 1 ,求四边形 ACBD 面积 S 的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 . x

(1)求 f ( x) 的最小值; (2)若方程 f ( x) ? a 有两个根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,证明: x1 ? x2 ? 2 . 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 与 ?ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形, O 为线段 AB 上一点, BD 平分

?ABC ,且 OD ∥ BC .
(1)证明: A, B, C , D 四点共圆,且 O 为圆心; (2) AC 与 BD 相交于点 F ,若 BC ? 2CF ? 6 , AF ? 5 ,求 C , D 之间的距离.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程是 ? ? 2 .矩形

? 5? ABCD 内接于曲线 C1 , A, B 两点的极坐标分别为 ( 2, ) 和 ( 2, ) .将曲线 C1 上所有点的 6 6
横坐标不变,纵坐标缩短为原来的一半,得到曲线 C2 .

(1)写出 C , D 的直角坐标及曲线 C2 的参数方程; (2)设 M 为 C2 上任意一点,求 MA ? MB ? MC ? MD 的取值范围. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? mx?1 . (1)若 m ? 1 ,求 f ( x) 的最小值,并指出此时 x 的取值范围; (2)若 f ( x) ? 2 x ,求 m 的取值范围.
2 2 2 2

2016-2017 学年度高三年级摸底考试 文科数学参考答案
一、选择题 BDCBA 二、填空题 13. 2 2 三、解答题 17.解: (1)设公差为 d ,依题意有 14. CACDB CB

3 5

15. 2

16. 7

10? 9 ? 10 a ? d ? 110, 1 ? 2 ? 15?14 ?15a1 ? d ? 240. 2 ?

18.解: (1)连接 AC ,∵ PA ? 底面 ABCD ,∴ ?PCA 即为直线 PC 与平面 ABCD 所成 的角. ∴ tan?PCA ?

PA 2 ? , PA ? 2 2 ,得 AC ? 4 . AC 2

∵ PA ? 底面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,∴ PA ? BC . 又∵ BC ? PB , PA ? PB ? P ,∴ BC ? 平面 PAB .
? 又 AB ? 平面 PAB ,∴ AB ? BC .∵ ?BCD 为等边三角形, AB ? AD ,∴ ?ACB ? 30 . ? 又 RT ?ACB 中, AC ? 4 ,∴ AB ? AC sin 30 ? 2 .

(2)由(1)可知, PB ? PD ? BD ? BC ? CD ? 2 3 ,∴ S?PBD ? S?BCD . 设点 E 到平面 PBD 的距离为 h ,∵ E 为 PC 中点,∴点 C 到平面 PBD 的距离为 2 h . 由 VC ? PBD ? VP? BCD 得

1 1 S ?PBD ? 2h ? S ?BCD ? PA ,解得 h ? 2 . 3 3

19.解: (1)由频率分布直方图可知,

,130),[130,150] 内的频率分别为 0.1,0.4,0.3,0.2 . 数学成绩在 [70,90),[90,110),[110 ,130),[130,150] 内的人数之比为 1 : 4 : 3 : 2 , ∴成绩在 [70,90),[90,110),[110
∴采用分层抽样的方式抽取一个容量为 10 的样本,成绩在

[70,90),[90,110),[110,130),[130,150] 内所抽取的人数分别为 1,4,3,2 .
(2)由(1)可知,从 [110,130),[130,150] 两组抽取人数分别为 3 人和 2 人,

,130) 中抽取的 3 人分别为 A1, A2 , A3 ,从 [130,150] 中抽取的 2 人分别为 B1 , B2 , 记从 [110
从这 5 个人中任取 2 人,有

?A1, A2 ?, ?A1, A3?, ?A1, B1?, ?A1, B2 ?, ?A2 , A3?, ?A2 , B1?, ?A2 , B2 ?, ?A3 , B1?, ?A3 , B2 ?, ?B1, B2 ?,
,130) 包含 共计 10 种等可能的结果,其中恰有 1 人成绩在 [110

?A1, B1?, ?A1, B2 ?, ?A2 , B1?, ?A2 , B2 ?, ?A3 , B1?, ?A3 , B2 ?,共计 6 种等可能的结果,
,130) 的概率 P ? ∴抽取的 2 人中恰有 1 人成绩在 [110
6 3 ? . 10 5

b2 b2 b , k AB ? ? . 20.解: (1)由题意可得 P(?c, ) ,所以 kOP ? ? a ac a
由 AB ∥ OP 得 ?

b2 b ? ? ,解得 b ? c, a ? 2c , ac a

由 AF ? a ? c ? 2 ? 1 ,得 b ? c ? 1, a ? 2 ,

椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

(2)依题意可设直线 CD : y ? x ? m(? 2 ? m ? 1) , C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) , 将直线 CD 的方程代入椭圆 E 得 3x ? 4mx? 2m ? 2 ? 0 ,
2 2

4 4m 2m 2 ? 2 3 ? m2 . x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , CD ? 2 x1 ? x2 ? 3 3 3

A( 2 ,0) 到直线 CD 的距离 d1 ?
B(0,1) 到直线 CD 的距离 d 2 ?

2 2

2 ? m ? 1?

2 m; 2

2 2 2 m ?1 ? ? m. 2 2 2 1 2 2 ? CD ? (d1 ? d 2 ) ? (1 ? ) ? 3 ? m2 , 2 3 2 2 3? 6 . 3

所以四边形 ACBD 的面积 S ?

所以当 m ? 0 时, S 取得最大值 21.解: (1) f ?( x) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 , ( x ? 0) , x x2 x

所以 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,??) 上单调递增,故 f ( x) 的最小值为 f (1) ? 1 . (2)若方程 f ( x) ? a 有两个根 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) , 则 ln x1 ?

1 1 x ?x x ? ln x2 ? ,即 2 1 ? ln 2 ? 0 . x1 x2 x1 x2 x1 x2 ? x1 x x x x ? 2 ln 2 ,即证 2 ? 1 ? 2 ln 2 , x1 x2 x1 x1 x2 x1

要证 x1 ? x2 ? 2 ,需证 ( x1 ? x2 ) ?



1 x2 x x x ? t (t ? 1) ,则 2 ? 1 ? 2 ln 2 等价于 t ? ? 2 ln t . t x1 x1 x2 x1

1 2 1 ? ? (1 ? ) 2 ? 0 , 2 t t t 1 所以 g (t ) 在 (1,??) 上单调递增, g (t ) ? g (1) ? 0 ,即 t ? ? 2 ln t ,故 x1 ? x2 ? 2 . t
令 g (t ) ? t ? ? 2 ln t ,则 g ?(t ) ? 1 ? 22.解: (1)因为 ?ABC 与 ?ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形,

1 t

所以 A, B, C , D 四点都在以 AB 为直径的圆上. 因为 BD 平分 ?ABC ,且 OD ∥ BC ,所以 ?OBD ? ?CBD ? ?ODB, OB ? OD . 又 ?OAD ? ?OBD ? 90? , ?ODA? ?ODB ? 90? ,所以 ?OAD ? ?ODA, OA ? OD . 所以 OA ? OB , O 是 AB 的中点, O 为圆心. (2)由 BC ? 2CF ? 6 ,得 BF ? 3 5 , 由 RT ?ADF ~ RT ?BCF 得

AD BC ? ? 2. DF CF BD BC ? ? 2, DA CF

设 AD ? 2 DF ? 2 x ,则 AF ? 5 x ,由 BD 平分 ?ABC 得

所以

3 5?x ? 2 ,解得 x ? 5 ,即 AD ? 2 5 , 2x

连接 CD ,由(1) , CD ? AD ? 2 5 . 23.解: (1)由 A( 3,1), B(? 3,1) 得 C(? 3,?1), D( 3,?1) , 曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? , (? 为参数). ? y ? sin ?

(2)设 M (2 cos? , sin ? ) ,则

MA ? MB ? MC ? MD

2

2

2

2

? (2 cos? ? 3)2 ? (sin? ?1)2 ? (2 cos? ? 3)2 ? (sin? ?1)2 ? (2 cos? ? 3)2 ? (sin? ?1)2 ? ?(2 cos? ? 3)
? 16cos2 ? ? 4 sin 2 ? ? 16 ? 12cos2 ? ? 20 ,
则所求的取值范围是 [20,32] . 24.解: (1) f ( x) ? x ?1 ? x ?1 ? ( x ?1) ? ( x ?1) ? 2 , 当且仅当 ( x ? 1)(x ? 1) ? 0 时取等号, 故 f ( x) 的最小值为 2 ,此时 x 的取值范围是 [ ?1,1] . (2) x ? 0 时, f ( x) ? 2 x 显然成立,所以此时 m ? R ;

x ? 0 时,由 f ( x) ? x ?1 ? mx?1 ? 2x ,得 mx?1 ? x ?1 .

由 y ? mx ? 1 及 y ? x ? 1 的图象可得 m ? 1 且

1 ?1, m

解得 m ? 1 或 m ? ?1 .综上所述, m 的取值范围是 (??,?1] ? [1,??) .


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