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如何解答二次函数与几何综合类存在性问题

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 如何解答二次函数与几何综合类存在性问题 作者:陈梅红 来源:《读写算· 教研版》2015 年第 14 期 摘 要:解有关二次函数的存在性问题,是一件很棘手的事。存在探索型问题是指在给定 条件下,判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题。这需要学生具有较强的分析 与解决能力,解决这类问题常常需要用到数形结合思想,把“数”与“形”结合起来,互相渗透。 关键词:二次函数;存在性;数形结合思想 中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2015)14-059-02 二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用,解决这类问题需要用 到数形结合思想,把“数”与“形”结合起来,互相渗透。存在探索型问题是指在给定条件下,判 断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论 的某一方面存在,然后在这个假设下进行演绎推理,若推出矛盾,即可否定假设;若推出合理 结论,则可肯定假设。下面从二次函数与三角形;二次函数与四边形为分例来谈谈解题的方 法: 一、二次函数与三角形的结合 例 1、如图,对称轴为直线 x=-1 的抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴的交点为 A、B 两 点,其中点 A 的坐标为(-3,0). (1)求点 B 的坐标; (2)已知 a=1,C 为抛物线与 y 轴的交点. ①若点 P 在抛物线上,且 S△ POC=4S△ BOC,求点 P 的坐标; ②设点 Q 是线段 AC 上的动点,作 QD⊥x 轴交抛物线于点 D,求线段 QD 长度的最大 值。 分析: (1)抛物线的解析式未知,不能通过解方程的方法确定点 B 的坐标,根据二次函数的对 称性,能求出 B 点的坐标吗? (2)要求抛物线解析式应具备哪些条件? 由 a=1,A(-3, 0),B(1,0)三个条件试一试; (3)根据 S△ POC=4S△ BOC 列出关于 x 的方程,解方程 求出 x 的值; (4)如何用待定系数法求出直线 AC 的解析式? (5)D 点的坐标怎么用 x 来 表示? (6)QD 怎样用含 x 的代数式来表示? (7)QD 与 x 的函数关系如何?是二次函数 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 吗?如何求出最大值? 解:(1)由题意知:点 A 与点 B 关于直线 x=-1 对称,A(-3,0), ∴B(1,0). (2)①当 a=1 时,则 b=2,把 A(-3,0)代入 y=x2+2x+c 中得 c=-3, ∴该抛物线解析式为 y=x2+2x-3. ∵S△ BOC=12· OB· OC=12× 1× 3=32,∴S△ POC=4S△ BOC=4× 32=6. 又 S△ POC=12· OC·=6,∴ =4,∴xp=± 4. 当 xp=4 时,yp=42+2× 4-3=21; 当 xp=-4 时,yp=(-4)2+2× (-4)-3=5. ∴点 P 的坐标为(4,21)或(-4,5). ②∵A(-3,0),C(0,-3),则直线 AC 的解析式为 y=-x-3. 设点 Q 为(a,-a-3),点 D 为(a,a2+2a-3), ∴QD=yQ-yD=-a-3-(a2+2a-3)=-a2-3a. 当 a=--32× (-1)=-32 时,QD 有最大值,其最大值为--322-3× -32=94。 二、二次函数与四边形的结合 例 2、如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点, B 点的坐标为(3,0),与 y 轴交于 C(0,-3),点 P 是直线 BC 下方抛物线上的动点。 (1)求这个二次函数的解析式. (2)连接 PO、PC,并将△ POC 沿 y 轴对折,得到四边形 POP′C,那么是否存在点 P,使 得四边形 POP′C 为菱形?若存在,求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大?求出此时 P 点的坐标和四边 形 ABPC 的最大面积。 分析 (1)图中已知抛物线上几个点?将 B、C 的坐标代入求抛物线的解析式; (2)画出四边 形 POP′C,若四边形 POP′C 为菱形,那么 P 点必在 OC 的垂直平分线上,由此能求出 P 点坐标 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 吗? (3)由于△ ABC 的面积为定值,求四边形 ABPC 的最大面积,即求△ BPC 的最大面 积。 解:(1)将 B、C 两点的坐标代入 y=x2+bx+c,得 9+3b+c=0,c=-3,解得 b=-2,c=-3. ∴这个二次函数的解析式为 y=x2-2x-3. (2)假设抛物线上存在点 P(x,x2-2x-3),使得四边形 POP′C 为菱形.连接 PP′交 CO 于 点 E.∵四边形 POP′C 为菱形,∴PC=PO,PE⊥CO,∴OE=EC=32,∴P 点的纵坐标为-32,即 x2-2x-3=-32,解得 x1=2+102,x2=2-102(不合题意,舍去).∴存在点 P(2+102,-32),使 得四边形 POP′C 为菱形. (3)过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q,交 OB 于点 F,设 P(x,x2-2x-3).由 x2-2x3=0 得点 A 的坐标为(-1,0).∵B 点的坐标为(3,0),C 点的坐标为(0,-3),∴直线 BC 的解析式为:y=x-3,∴Q 点的坐标为(x,x-3),∴AB=4,CO=3,BO=3,PQ=x2+3x.∴S 四边形 ABPC=S△ ABC+S△ BPQ+S△ CPQ=12AB· CO+12PQ· BF+12PQ· FO=12AB· CO+12PQ· (BF+FO )=12AB· CO+12PQ· BO=12× 4× 3+12(-x2+3x)× 3=-32x2+92x+6

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