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2013年秋北师大版必修1示范教案3.4.1对数及其运算(2)


4.1

对数及其运算(2)

导入新课 思路 1.上节课我们学习了以下内容: 1.对数的定义. 2.指数式与对数式的互化. ab=N ? logaN=b. 3.重要公式: (1)负数与零没有对数;(2)loga1=0,logaa=1;(3)对数恒等式 alogaN=N. 下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题〕 思路 2.我们在学习指数的时候,知道指数有相应的运算法则,即指数运算法则.
m

n

am·an=am+n;am÷an=am-n;(am)n=amn; an= a m .
从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算, 而且它们互为逆运算, 对数是否也有和 指数相类似的运算法则呢?答案是肯定的,这就是本堂课的主要内容,点出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ? 1? 在上节课中,我们知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数 的关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗? m n m n m+n ? 2? 如我们知道 a =M,a =N,a ·a =a ,那 m+n 如何表示,能用对 数式运算吗? ? 3? 在 上述? 2? 的条件下,类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗??? 4? 你能否用最简练的语言描述上述结论?如果能,请描述. ? 5? 上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗? ? 6? 上述结论能否推广呢? ? 7? 学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢? 讨论结果:(1)通过问题(2)来说明. m n m+n m n m+n (2)如 a ·a =a ,设 M=a ,N=a ,于是 MN=a ,由对数的定义得到 m n M=a ? m=logaM,N=a ? n=logaN, MN=am+n ? m+n=logaMN, logaMN=logaM+logaN. 因此 m+n 可以用对数式表示. (3)令 M=a ,N=a ,则 =a ÷a =a
m n m n

M N

m

n

m-n

,所以 m-n=loga .

M N

又由 M=a ,N=a ,所以 m=logaM,n=logaN.所以 logaM-logaN=m-n=loga ,

M N

M N m n m n mn 设 M=a ,则 M =(a ) =a .由对数的定义, n 所以 logaM=m,logaM =mn. n n 所以 logaM =mn=nlogaM,即 logaM =nlogaM.
即 loga =logaM-logaN. 这样我们得到对数的三个运算性质: 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,则有 loga(MN)=logaM+logaN,①

M N n logaM =nlogaM(n∈R).③
loga =logaM-logaN,② (4)以上三个性质可以归纳为: 性质①:两数积的对数,等于各数的对数的和; 性质②:两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数; 性质③:幂的对数等于幂指数乘底数的对数.

(5)利用对数运算性质进行运算,所以要求 a>0,a≠1,M>0,N>0. (6)性质①可以推广到 n 个数的情形: 即 loga(M1M2M3…Mn)=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn( 其中 a>0,a≠1,M1M2M3…Mn 均大于 0). (7)纵观这三个性质我们知道, 性质①的等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算. 性质②的等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左 是一个升级运算. 性质③从左往右仍然是降级运算. 利用对数的性质①②可以使两正数的积、 商的对数转化为两正数的各自的对数的和、 差 运算,大大的方便了对数式的化简和求值. 应用示例 思路 1 例 1 用 logax,logay,logaz 表示下列各式:

x2 x (1)loga(x yz);(2)loga ;(3)loga 2 . yz yz
2

活动:学生思考观察,教师巡视,检查学生解题情况,发现问题及时纠正. 利用对数的运算性质,把整体分解成部分. 对(1)可先利用性质 1,转化为两数对数的和,再利用性质 3,把幂的对数转化为两数对 数的积. 对(2)(3)可先利用性质 2,转化为两数对数的差,再利用性质 1,把积的对数转化为两 数对数的和,最后利用性质 3,转化为幂指数与底数的对数的积. 2 2 解:(1)loga(x yz)=logax +logay+logaz=2logax+logay+logaz.

x2 2 (2)loga =logax -loga(yz)=2logax-logay-logaz. yz x 1 2 (3)loga 2 =loga x-loga(y z)= logax-2logay-logaz. yz 2
点评:对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算. 变式训练 1.若 a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子正确的个数为( ). ①logax·logay=loga(x+y) ②logax-logay=loga(x-y) ③loga =logax÷logay ④loga(xy)=logax·logay A.0 B. 1 C.2 D.3 答案:A 2.若 a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,下列式子正确的个数为( 1 n n n ①(logax) =nlogax ②(logax) =logax ③logax=-loga

x y

).

x



n n x-y x+y n ⑦logax =nlogax ⑧loga =-loga x+y x-y
A.3 答案:B 例 2 计算:
2 5

logax x =loga logay y

1 1 n ⑤ logax= logax ⑥ logax=loga x

n

B. 4

C.5

D.6

1

(1)log3(9 ×3 );(2) lg1005 . 活动:学生审题,回顾对数的运算性质和运算顺序,严格按性质和法则解题,注意运算 结果的准确性. 2 5 2 5 4 解:(1)log3(9 ×3 )=log39 +log33 =log33 +5log33=4+5=9;

1 1 2 2 (2)lg 100 = lg 10 = ×2= . 5 5 5 例 3 计算: 7 lg 243 lg 27+lg 8-3lg 10 (1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18; (2) ; (3) . 3 lg 9 lg 1.2 7 解:(1)解法一:lg 14-2lg +lg 7-lg 18=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7- 3 2 lg(3 ×2)=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. 7 14×7 ?7?2 解法二:lg 14-2lg +lg 7-lg 18=lg 14-lg? ? +lg 7-lg 18=lg =lg 1 3 ?3? ?7?2×18 ?3? ? ? =0. 5 lg 243 lg 3 5lg 3 5 (2) = = . 2= lg 9 lg 3 2lg 3 2 1 1 3 3 3 lg? 3 ? 2+lg 2 -3lg? 10? 2 ? lg 3+2lg 2-1? 2 lg 27+lg 8-3lg 10 (3) = = = 2 lg 1.2 3×2 lg 3+2lg 2-1 lg 10 3 . 2 点评:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如(3)题各部分变 形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系;(2)题要避免错用对数运算性质.特别是 对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所忽视. 例 4 科学家以里氏震级来度量地震的强度.若设 I 为地震时所散发出来的相对能量程 度,则里氏震级 r 可定义为 r=0.6lg I,试比较 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度. 解:设 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度分别为 I1 和 I2,由题意,得
? ?6.9=0.6lg ? ?7.8=0.6lg ?

1 5

I1,

I2. 因此 0.6(lg I2-lg I1)=0.9, I2 即 lg =1.5. I1 I2 1.5 所以 =10 ≈32. I1
因此,7.8 级地震的相对能量程度约为 6.9 级地震的相对能量程度的 32 倍. 思路 2 例 1 求下列各式的值.
5

(1)log525;(2)log0.41;(3)log2(4 ×2 );(4)lg 100. 2 解法一:(1)log525=log55 =2; (2)log0.41=0; 7 5 7 5 2×7 5 (3)log2(4 ×2 )=log24 +log22 =log22 +log22 =2×7+5=19; 1 2 2 2 (4)lg 100= lg 10 = lg 10= . 5 5 5 x 2 解法二:(1)设 log525=x,则 5 =25=5 ,所以 x=2; x 0 (2)设 log0.41=x,则 0.4 =1=0.4 ,所以 x=0; 7 5 14 5 19 (3)log2(4 ×2 )=log2(2 ×2 )=log22 =19, 7 5 7 5 2 5 或 log2(4 ×2 )=log24 +log22 =7log22 +log22 =2×7+5=19;
5

7

5

2 x (4)设 lg 100=x,则 10 = 100 5 = 10 5 ,所以 x= . 5 点评:此题关键是要记住对数运算性质的形式. 例 2 计算:(1)2log510+log50.25;(2)2log525+3log264;(3)log2(log216). 2 解:(1)因为 2log510=log510 =log5100,所以 2log510+log50.25=log5100+log50.25 2 =log5(100×0.25)=log55 =2log 55=2; 2 6 (2)因为 2log525=2log55 =4log55=4,3log264=3log22 =18log22=18, 所以 2log5 25+3log264=22; 4 2 (3)因为 log216=log22 =4,所以 log2(log216)=log24=log22 =2. 点评:要注意灵活运用对数的运算性质,特别是公式的逆用. 例 3 计算下列各式的值: 1 32 4 2 2 2 (1) lg - lg 8+lg 245;( 2)lg 5 + lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2) ; 2 49 3 3 lg 2+lg 3-lg 10 (3) . lg 1.8 活动:学生思考、交流,观察题目特点,教师可以提示引导:将真数中的积、商、幂化 为对数的和、差、积;再就是逆用对数的运算性质.先利用对数的性质把积、商、幂化为对 数的和、差、积进行计算.再就是逆用对数的运算性质,把对数的和、差、积转化为真数的 积、商、幂再计算. 1 32 4 1 4 3 1 (1)解法一: lg - lg 8+lg 245= (5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (2lg 7+lg 5) 2 49 3 2 3 2 2 5 1 1 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5= lg 2+ lg 5 2 2 2 2 1 1 1 = (lg 2+lg 5)= lg 10= . 2 2 2
? 1 32 4 4 2 解法二: lg - lg 8+lg 245=lg - lg 2 2 3 +lg 7 5 2 49 3 7 3 4

5

1

2

4 2×7 5 1 =lg =lg( 2× 5)=lg 10= . 7×4 2 2 2 2 (2)解法一:lg 5 + lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2) 3 2 =2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2) 2 2 =2lg 10+(lg 2+lg 5) =2+(lg 10) =2+1=3. 2 2 2 解法二:lg 5 + lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2) =2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5) 3 2 +(1-lg 5) 2 2 =2lg 10+lg 5[2(1-lg 5)+lg 5]+(1-lg 5) =2+lg 5(2-lg 5)+(1-lg 5) 2 2 =2+2lg 5-(lg 5) +1-2lg 5+(lg 5) =3. 1 ? lg 2+lg 9-lg 10? lg 2+lg 3-lg 10 2 (3)解法一: = lg 1.8 lg 1.8 18 lg 10 lg 1.8 1 = = = . 2lg 1.8 2lg 1.8 2 1 1 lg 2+lg 3- 2 lg 2+lg 3-lg 10 2 解法二: = lg 1.8 18 lg 10

1 1 1 lg 2+lg 3- ? 2lg 3+lg 2-1? 2 2 2 1 = = = . 2lg 3+lg 2-1 2lg 3+lg 2-1 2 点评:这类问题一般有以下几种处理方法:一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算 法则化为对数的和、差、积,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算 法则化为真数的积、商、幂, 然后化简求值;三是上述两种方法灵活运用,化简求值. 2 1 2 a b c 例 4 已知 a,b,c 均为正数,3 =4 =6 ,求证: + = .

a b c

活动:学生思考观察,教师引导,及时评价学生的思考过程.从求证的结论看,解题的 a b 关键是设法把 a,b,c 从连等号式中分离出来,为便于找出 a,b,c 的关系,不妨设 3 =4 c =6 =k(k>0),则 a,b,c 就可用这一变量 k 表示出来,再结合对数的运算性质就可证得 结论. a b c 证法一:设 3 =4 =6 =k,则 k>0.由对数的定义得 a=log3k,b=log4k,c=log6k, 2 1 2 1 则左边= + = + =2logk3+logk4=logk9+logk4=logk36, a b log3k log4k 2 2 2 1 2 右边= = =2logk6=logk36,所以 + = . c log6k a b c a b c a b c 证法二:对 3 =4 =6 同时两边取常用对数得 lg 3 =lg 4 =lg 6 ,alg 3=blg 4=clg 6. c lg 3 c lg 4 2c c 2 1 2 所以 = =log63, = =log64.又 + =log6(9×4)=2,所以 + = . a lg 6 b lg 6 a b a b c 点评:本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质.灵活运用指数、对数的概念及性 质解题,适时转化. 知能训练 1.用 logax,logay,logaz,loga(x+y),loga(x-y)表示下列各式:

? z3?;(3)loga( xy 2 z ? 3 );(4)loga 2xy 2; 2 x -y y? y ?x+y·y?;(6)log ? ?3. (5)loga? ? a? ? ?x-y ? ?x? x-y? ?
4

(1)loga

? x ;(2)loga?x· yz ?
2

3

1

2

3

解:(1)loga

3 x 1 2 =loga x-logay z= logax-(2logay+logaz) yz 3 2

1 = logax-2logay-logaz; 3

? (2)loga?x· ?

4

z3?=logax+log a y2?

?

4

z3 1 3 2 =logax+ (logaz -logay ) y2 4

2 3 1 3 =logax- logay+ logaz=logax- logay+ logaz; 4 4 2 4
1

(3) loga( xy 2 z (4)loga

?

2 3

1

)=logax+logay 2 + log a z

?

2 3

1 2 =logax+ logay- logaz; 2 3

2 2 =logaxy-loga(x -y )=logax+logay-loga(x+y)(x-y) x -y2 =logax+logay-loga(x+y)-loga(x-y); ?x+y·y?=log x+y+log y=log (x+y)-log (x-y)+log y; (5)loga? ? a a a a a x-y ?x-y ? y 3 (6)loga[ ] =3[logay-logax-loga(x-y)]=3logay-3logax-3loga(x-y). x? x-y? 2

xy

2.已知 f(x )=log2x,则 f(8)等于( ). 4 A. B.8 C.18 3
3

6

D.

1 2
1

1 6 6 分析:因为 f(x )=log2x,x>0,令 x =8,得 x= 2 6 = 2 2 ,所以 f(8)= log 2 2 2 = . 2 1 1 6 6 解析:因为 f(x )=log2x= log2x ,所以 f(x)= log2x. 6 6 1 1 1 3 所以 f(8)= log28= log22 = . 6 6 2 答案:D 拓展提升 已知 x,y,z>0,且 lg x+lg y+lg z=0,求 x ·y ·z 的值. 活动:学生讨论、交流、思考,教师可以引导.大胆设想,运用对数的运算性质.由 于 所求的式子是三项积的形式,每一项都有指数,指数中又有对数,因此想到用对数的运算性 质,如果能对所求式子取对数,那可能会好解决些,故想到用参数法,设所求式子的值为 t.
1 1 1 ? lg y lg z
1 1 ? lg z lg x

1

1 1 ? lg x lg y

解:令 x lg y lg z · y lg z lg x · z lg x lg y =t,则 ? 1 + 1 ?lg x+? 1 + 1 ?lg y+? 1 + 1 ?lg z lg t=? ? ?lg z lg x? ?lg x lg y? ?lg y lg z? ? ? ? ? lg x lg x lg y lg y lg z lg z lg x+lg z lg x+lg y lg y+lg z = + + + + + = + + lg y lg z lg z lg x lg x lg y lg y lg z lg x -lg y -lg z -lg x = + + =-3, lg y lg z lg x 1 -3 所以 t=10 = 即为所求. 1 000 课堂小结 1.对数的运算法则. 2.对数的运算法则的综合应用,特别是公式的逆向使用. 3.对数与指数形式比较: 式子 ab=N logaN=b a——幂的底数 a——对数的底数 名称 b——幂的指数 b——以 a 为底的 N 的对数 N——幂值 N——真数 loga(MN)=logaM+logaN ; am·an=am+n; M m n m-n 运算 a ÷a =a ; loga =logaM-logaN; N m n mn 性质 (a ) =a n logaM =nlogaM(n∈R) (a>0,a≠1,m、n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 作业 习题 3—4 A 组 6,7,8. 设计感想 在前面研究了对数概念的基础上,为了运算的方便,本节课我们借助指数的运算法则, 推出了对数的运算法则,引导学生自己完成推导过程,加深对公式的理解和记忆,对运算性 质的认识类比指数的运算法则 来理解记忆,强化法则的使用条件,注意对数式中每一个字 母的取值范围,由于它是以后学习对数函数的基础,所以安排教学时,要反复练习,加大练 习的量,多结合信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务. (设计者:卢岩冰)

?

1

1

?

1

1

?

1


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