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湖南省长沙市一中09-10学年高一数学下学期第一次阶段性测试 新人教版


高一第二学期第一次单元测试数学试题
(满分:100 分 时量:115 分钟)2010-4-2

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分, 共 24 分. 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的) 1.数列 2,5, 2 2,11 A. an ? 3n ? 3 的一个通项公式是 ( , B. an ? 3n ?1 ) D. an ? 3n ? 3 )

C. an ? 3n ? 1

2 .已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 54 ,前 2 n 项和 S2 n ? 60 ,则前 3n 项和 S3n ? ( A.64 B.66 C. 60

2 3

D. 66

2 3


? ? 3.在 ?ABC 中, a ? 6 , B ? 30 , C ? 120 ,则 ?ABC 的面积是(

A. 9

B. 18

C. 9 3

D. 18 3

4.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? A.

5 b , A ? 2 B ,则 cos B ? ( 2



5 5 5 C. D. 4 5 6 2 5.等比数列 ?an ? 中, a1、a99 为 方程 x ? 10x ? 16 ? 0 的两根,则 a20 ?a 50 ?a80 的值为(
B. A.32 B.64 C.256 D.±64

5 3

)

6. 设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a 13 ? ) A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 7. 如图: D,C,B 三 点在 地 面同 一直线 上 ,DC=a, 从 C,D 两 点测得 A 点仰 角分 别是 β , α (α <β ),则 A 点离地面的高度 AB 等于( ) (

a sin ? sin ? A. sin(? ? ? ) a sin ? cos ? C. sin(? ? ? )

a sin ? ? sin ? B. cos(? ? ? )
a cos? sin ? D. cos(? ? ? )
α D C β

A

B

8.在 ?ABC 中, A ? A. 4 3 sin( B ? C. 6sin( B ?

?

?

3

, BC ? 3 ,则 ?ABC 的周长为(



?
3

3

)?3

B. 4 3 sin( B ? D. 6sin( B ?

?
6

)?3

)?3

?
6

)?3

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 把答案填在答卷中相应的横线上)

用心

爱心

专心

9. 在△ ABC 中, a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ,则 A 等于_________. 10. 已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于____. 11. 数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn=2n -n,则 an=
2

12.已知等比数列{an} 中,a1+a2=9,a1a2a3=27,则{an}的前 n 项和 Sn= __________ 13.在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 14.等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?5 ,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项后余下的 10 项 的平均值仍为 5,则抽取的是第_________项. 15.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且 3a8 ? 5a13 ,则 Sn 最大时的项数 n 是 ____________.

用心

爱心

专心

高一第二学期第一次单元测试数学试题答卷
(满分:100 分 时量:11 5 分钟) 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分). 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分). 9. 班 级 12. 姓 名 15. 学 号 三、解答题(本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 9 分) 考室号 已知 ?an ? 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求 ?an ? 前 n 项的和 Sn 的最大值. 13. 14 10. 11.

17. (本小题满分 8 分) .

a,b,c 为△ABC 的三边,其面积 S△ABC=12 3 ,bc=48,b-c=2,求 a.

用心

爱心

专心

18. (本小题满分 8 分) 在 ? ABC 中,a,b,c 分别是 ?A, ?B, ?C 所对应的边, 设

考室号 座位号

tan A 2c ? b ? , 求 A 的值。 tan B b

19. (本小题满分 10 分) 数列{ a n }是各项为正的等比数列,首项 a1 ? (1)求数列{ a n }的通项;

1 13 ,前 3 项的和 S 3 ? . 3 27

(2)设 a n bn=n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

用心

爱心

专心

20. (本小题满分 10 分) 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 , a,b,c 分 别 是 ?A, ?B, ?C 所 对 应 的 边 , 向 量

u ?( a 2 ? c 2 ? b 2 , 3ac), v ? (cosB, sin B),且 u / / v .
(I)求角 B ; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的最大值.

?

?

?

?

用心

爱心

专心

21. (本小题满分 10 分) 甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在 A、B 两个喷雾器中分别配制成 12%和 6%的药水 各 10 千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为 1 千克的药 瓶,他们从 A、B 两个喷雾器中分别取 1 千克的药水,将 A 中取得的倒入 B 中,B 中取得的倒 入 A 中,这样操作进行了 n 次后,A 喷雾器中药水的浓度为 a n % ,B 喷雾器中药水的浓度为

bn % .
(1)证明: an

? bn

是一个常数;

(2)求 a n 与 an?1 的关系式; (3)求 a n 的表达式。

用心

爱心

专心

高一第二学期第一次单元测试 数学试题参考答案
(满分:100 分 时量:115 分钟)

制卷人:罗权帅 校对人:蒋红田 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分. 在每个小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的). 1.数列 2,5, 2 2,11 A. an ? 3n ? 3 的一个通项公式是 (B) , B. an ? 3n ?1 C. an ? 3n ? 1 D. an ? 3n ? 3

2 .已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 54 ,前 2 n 项和 S2 n ? 60 ,则前 3n 项和 S3n ? ( C ) A.64 B.66 C. 60

2 3

D. 66

2 3


? ? 3.在 ?ABC 中, a ? 6 , B ? 30 , C ? 120 ,则 ?ABC 的面积是( C

A. 9

B. 18

C. 9 3

D. 18 3

4. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若a ? A.

5 o s B ?( B 则c b ,A ? 2 B , 2



5 3

B.

5 4

C.

5 5

D.

5 6

2 5.等比数列 ?an ? 中, a1、a99 为方程 x ? 10x ? 16 ? 0 的两根,则 a20 ?a 50 ?a80 的值为( D)

A.32

B.64

C.256

D.±64

6. 设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a 13 ? (B) A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 7 . 如 图 : D,C,B 三 点 在 地 面 同 一 直 线 上 ,DC=a, 从 C,D 两 点 测 得 A 点 仰 角 分 别 是 β , α (α <β ),则 A 点离地面的高度 AB 等于( A )

a sin ? sin ? A. sin(? ? ? ) a sin ? cos ? C. sin(? ? ? )
8.在 ?ABC 中, A ? A. 4 3 sin( B ? C. 6sin( B ?

a sin ? ? sin ? B. cos(? ? ? )
a cos? sin ? D. cos(? ? ? )
α D C β

A

B

?

?

3

, BC ? 3 ,则 ?ABC 的周长为(D )

?
3

3

)?3

B. 4 3 sin( B ? D. 6sin( B ?

?
6

)?3

)?3

?
6

) ? 3、
专心

用心

爱心

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 把答案填在答卷中相应的横线上) 9. 在△ ABC 中, a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ,则 A 等于___120°______. 10. 已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于____.. 60°或 120° 11. 数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn=2n -n,则 an=
2

4n-3

12 . 已 知 等 比 数 列 { an } 中 , a1 + a2=9,a1a2a3=27, 则 { an } 的 前 n 项 和 Sn= __________

? ? 1 ?n ? S n ? 12?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ?
13.在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ .13. 14.等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?5 ,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项后余下的 10 项 的平均值仍为 5,则抽取的是第_________项;

11?10 d ? 55 , 得 d ? 2 ,由 an ? 5, an ? a1 ? ? n ?1? d 得 n ? 6 2 15. 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 0 , 且 3a8 ? 5a 1 3, 则 则 Sn 中 最 大 时 的 项 数 n 是
【解析】由 ?5 ? 11 ? __20__________. 【解析】 3a8 ? 5a13 ? d ? ?

2 a1 ? 0 , an ? 0 ? n ? 20 39

三、解答题(本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 8 分) 已知 ?an ? 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求 ?an ? 前 n 项和 Sn 的最大值.

解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? ( Ⅱ ) S n ? na1 ? an ? a1 ? ( n ?1) d ? ?2n ? 5 .

? a1 ? d ? 1 ,解出 a1 ? 3 , d ? ?2 .所以 ? a1 ? 4d ? ?5
n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 所 以 2

n ? 2 时, Sn 取到最 大值 4 .
17. (本小题满分 8 分) .

a,b,c 为△ABC 的三边,其面积 S△ABC=12 3 ,bc=48,b-c=2,求 a.
解:由 S△ABC=

1 1 bcsinA,得 12 3 = ×48×sinA 2 2

∴ sinA=

3 2

∴ A=60°或 A=120°

a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc(1-cosA)=4+2×48×(1-cosA)
当 A=60°时,a =52,a=2 13 ; 当 A=120°时,a =148,a=2 37
2 2

用心

爱心

专心

18. (本小题满分 9 分) 在 ? ABC 中,设 解:

tan A 2c ? b ? , ,求 A 的值。 tan B b sin A cos B 2 sin C ? sin B tan A 2c ? b ? ? , 根据正弦定理 sin B cos A sin B tan B b
?sin( A ? B) ? 2sin C cos A

? sin A cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos A
? sin C ? 2sin C cos A ? cos A ?
19. (本小题满分 10 分)

1 ? A ? 60? 2
1 13 ,前 3 项的和 S 3 ? . 3 27

数列{ a n }是各项为 正的等比数列,首项 a1 ? (1)求数列{ a n }的通项; 解: (1) 数列{an}的通项 an ? (2)由题知 bn ? n ? 3n

(2)设 a n bn=n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

1 。 3n

Sn ? 3 ? 2 ? 32 ? ?n ? 3n 3Sn ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? n ? 3n ?1 由错位相减法:
知 Sn ?

3 n 1 n ?1 ? ( ? )3 4 2 4

20. (本小题满分 10 分)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别是 ?A, ?B, ?C 所对应的边,向
2 2 2 量 u ?( a ? c ? b , 3ac), v ? (cosB, sin B),且 u / / v . ? ?
? ?

(I)求角 B ; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的最大值. 解: (I)∵ u / / v ,∴即 (a 2 ? c 2 ? b 2 ) sin B ? 3ac cos B ? 0.
? ?

? a2 ? c2 ? b2 3 ? ,? sin B ? , B ? (0, ), ? B ? . 又 cos B ? 3 2ac 2 2
(II)由(I)知 A ? C ?

2? 2? ,? c ? ? A, ) 3 3

? sin A ? sin C ? sin A ? sin(

2? 3 1 3 3 ? A) ? sin A ? cos A ? sin A ? sin A ? cos A 3 2 2 2 2

? 3 cos( A ?
又0 ? A ?

?
3

).

2? ? ? ? ,?? ? A ? ? , 3 3 3 3

用心

爱心

专心

∴当 A-

? ? =0,即 A= 时, sin A ? sin C 的最大值为 3. 3 3

21. (本小题满分 10 分) 甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在 A、B 两个喷雾器中分别配制成 12%和 6%的药 水各 10 千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为 1 千克的 药瓶,他们从 A、B 两个喷雾器中分别取 1 千 克的药水,将 A 中取得的倒入 B 中,B 中取得的 倒入 A 中,这样操作进行了 n 次后,A 喷雾器中药水的浓度为 a n % ,B 喷雾器中药水的浓度 为 bn % . (1)证明: an

? bn

是一个常数;

(2)求 a n 与 an?1 的关系式; (3)求 a n 的表达式。 解析: (1) 开始时, A 中含有 10 ?12% =1.2 千克的农药, B 中含有 10 ?6% =0.6 千克的农药, n 次操作后,A 中含有 10 ? an % ? 0.1an 千克的农药,B 中含有 10 ? b % ? 0.1b 千克的农药,它们
n n

的和应与开始时农药的重量和相等,从而 0.1an ? 0.1bn ? 1.2 ? 0.6,? an ? bn ? 18 (常数) 。 ( 2 ) 第 n 次 操 作 后 , A 中 10 千 克 的 药 水 中 农 药 的 重 量 具 有 关 系 式 :

4 9 9 ? an?1 ? 1 ? bn?1 ? 10an 由(1)知 b ? 18 ? a ,代入化简得 an ? an?1 ? 5 5
n ?1 n ?1



4 (3)令 a ? ? ? (a ? ? ) ,利用待定系数法可求出λ =—9,所以 an ? 9 ?
n

5

n ?1

4 (an?1 ? 9) ,可 5

知数列 ?a ? 9? 是以 a ? 9 为首项, 为公比的等比数列。
n
1

4 5

由①, a1 ?

4 9 4 9 57 a0 ? ? ? 12 ? ? 5 5 5 5 5

n ?1 由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 知 : an ? 9 ? (a1 ? 9)( ) ?

4 5

12 4 n?1 4 ( ) ? 3( ) n , 所 以 5 5 5

4 an ? 3 ( n ) ? 5

9 。

用心

爱心

专心


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