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江苏省南京金陵中学2011年高考预测卷一(数学)


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南京金陵中学 2011 年高考数学预测卷 1
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 填空题: 小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.若复数 z=1-m i(i 为虚数单位,m∈R), z 2 =-2i,则复数 z 的虚部为 2.若 {an } 为等差数列, Sn 是其前 n 项的和,且 S11 = 3.已知集合 A= ?α | α = . .

22π ,则 tan a6 的值为 3

? ?

nπ ? ,n ∈ Z, 0 ≤ n ≤ 8? ,若从 A 中任取一个元素作为直线 l 的 9 ?

倾斜角,则直线 l 的斜率小于零的概率是 . 4.函数 f ( x) = x ? 2 ln x 的单调递增区间为



5.某射击运动员在四次射击中分别打出了 10,x,10,8 环的成绩,已知这组数据的平均 数为 9,则这组数据的标准差是 . 6.如图正方形格子中,向量 a-b= (用向量 e1 和 e2 表示).

7.如图所示程序框图中,输出的数是



8.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,给出以下四个结论:① D1C ∥平面 A1 ABB1 ;②

A1 D1 与平面 BCD1 相交;③AD⊥平面 D1 DB ;④平面 BCD1 ⊥平面 A1 ABB1 .其中正确结论的
序号是 .

uuu uuu r r uuu uuu r r uuu uuu r r 9.在△ABC 中,∠C 为直角,且 AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB =-25,则 AB 的长
为 . 10 .设 函 数 f ( x) = x | x ? a | , 若 对 于任 意 的 x1 , x2 ∈ [2 , +∞ ) , x1 ≠ x2 , 不 等 式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x1 ? x2



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11.如图,点 P 是单位圆上的一个动点,它从初始位置 P0 (单位圆与 x 轴的一个交点)开始

π? ? 沿单位圆按逆时针方向运动角 α ? 0 < α < ? 到达点 P ,然后继续沿单位圆按逆时针方向运动 1 2? ?
4 到达点 P2 ,若的点 P2 横坐标是 ? ,则 cos α 的值等于 . 3 5 12.已知平面区域 D 由 A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若在 区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则实数 m= .
13.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F1 ,

π

F2 ,且它们在第一象限的交点为 P,△ PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 =10,双
曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是 . 14.下列数阵称为“森德拉姆筛” ,其特点是每行每列都是等差数列,则表中数字 2010 共出现 次.
2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … …

小题, 请在指定区域内作答, 二、填空题:本大题共 6 小题,共计 70 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说 填空题: 请在指定区域内作答 证明过程或演算步骤. 明、证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) =m·n,其中向量 m=(2, 2cos x ),n=( 3 sin 2x , 2cos x ),x∈R. (1)求 f ( x) 的最大值与最小正周期; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是 A,B,C 的对边, f ( A) =4,a= 3 ,b+c=3(b>c), 求 b,c 的值.

16.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA⊥ PD,E,F 分别为 PC,BD 的中点. (1)EF∥平面 PAD; (2)EF⊥平面 PDC.

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17.某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业竞争力,决 定优化产业结构,调整出 x (x∈ N ? )名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润

3x ? ? 为 10 ? a ? ? 万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%. 500 ? ?
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最 多调整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年 总利润,则 a 的取值范围是多少?

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l: 2 2x -y+3+ 8 2 =0 和圆 C1 : x 2 + y 2 + 8x+F=0.若直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3 . (1)求圆 C1 的方程; (2)设圆 C1 和 x 轴相交于 A,B 两点,点 P 为圆 C1 上不同于 A,B 的任意一点,直线 PA, PB 交 y 轴于 M,N 两点.当点 P 变化时,以 MN 为直径的圆 C2 是否经过圆 C1 内一定点?请证 明你的结论; (3)若△RST 的顶点 R 在直线 x=-1 上,点 S,T 在圆 C1 上,且直线 RS 过圆心 C1 ,∠ SRT= 30° ,求点 R 的纵坐标的范围.

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19.已知数列 {an } 的前 n 项的和 Sn 满足: Sn = (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn =

a (an ? 1) (a 为常数,且 a≠0,a≠1). a ?1

2S n +1,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值; an

? 1 1 ? (3)在满足条件(2)的情形下,设 cn =2- ? + ? ,数列 {cn } 的前 n 项的和 ? 1 + an 1 ? an +1 ? 1 为 Tn .求证: Tn < . 3

20.在区间 D 上,如果函数 f ( x) 为增函数,而函数 “弱增函数” .已知函数 f ( x) =1-

1 f ( x) 为减函数,则称函数 f ( x) 为 x

1 . 1+ x ; (1)判断函数 f ( x) 在区间 (0 , 1] 上是否为“弱增函数”
(2)设 x1 , x2 ∈[0, +∞ ) ,且 x1 ≠ x2 ,证明: f ( x2 ) ? f ( x1 ) < (3)当 x∈[0,1]时,不等式 1-ax≤

1 | x1 ? x2 | ; 2

1 ≤1-bx 恒成立,求实数 a,b 的取值范围. 1+ x

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南京金陵中学 2011 年高考数学预测卷 1 参考答案
1.1.解析 z 2 = (1 ? mi) 2 =1+ m 2i 2 -2mi=1- m 2 -2mi=-2i,所以 m=1. 解析: 解析 2. ? 3 .解析 解析:由 a1 + a11 = a2 + a10 =…= a5 + a7 = 2a6 ,可得 S11 = 11a6 ,所以 a6 = 解析

2π , tan a6 = ? 3 . 3
3.

4 8π ? ? π 2π .解析 解析:A= ?0, , , L ? ,倾斜角 α 的可取值共 9 个,斜率小于零的只能为 解析 9 9 ? ? 9 9

钝角,共 4 个. 4.(2, +∞ ).解析 f / ( x) =1- 解析: 解析 间是(2, +∞ ).

2 x?2 = ,解 f / ( x) >0,得 x>2,所以 f ( x) 的增区 x x

1 5.1.解析 解析:由 10+x+10+8=36,得 x=8,则这组数据的方差为 (1 + 1 + 1 + 1) =1. 解析 4
6.- e1 +3 e2 .解析 解析:设向量 a 的起始点为 A,终点为 B,向量 b 的起始点 C,则 a-b 解析

uuur = AC =- e1 +3 e2 .
7.16.解析 解析:a=1,b= 21 ;a=2,b= 22 =4;a=3,b= 24 =16. 解析 8. (4) 解析 (1) .解析 解析:因为 D1C ∥ A1 B ,且 A1 B 在平面 A1 ABB1 内,所以 D1C ∥平面 A1 ABB1 , 故(1)正确;因为 A1 D1 在平面 BCD1 内,故(2)错误;AD 与平面 D1 DB 所成角∠ADB= 45° , 故(3)错误;BC⊥平面 A1 ABB1 ,且 BC 在平面 BCD1 内,故平面 BCD1 ⊥平面 A1 ABB1 ,故(4) 正确.

uuu uuu r r uuu uuu r r uuu uuu r r uuu uuu r r 5. 解析: 所以 BC ? CA =0, 于是 AB ? BC + CA ? AB =-25, AB ? ( BC 则 9. 解析 因为∠C 直角,

uuu r uuu uuu r r + CA) =-25,即 AB ? BA =-25,故 AB 2 =25,AB=5.
10. (?∞ , 2] .解析 解析:由题意 f ( x) = x | x ? a | 在[2, +∞ ) 上单调递增. 解析 (1) a≤2 时,那么 x∈[2,+∞ ) 时, f ( x) =x(x-a)= x 2 - 当 解法 1 首先可以分类讨论: ax, 此时

a <2, f ( x) 在[2,+∞ ) 上递增是明显的; (2) a>2 时, 当 那么 x∈[a,+∞ ) 时, f ( x) 2

=x(x-a)= x 2 -ax,也是递增的,而在(2,a)内 f ( x) 必定有递减的区间,综上可知 a≤2. 解法 2 当 x∈[2, +∞ ) 时, f ( x) =|x(x-a)|,画出 f ( x) 的函数图象可知, f ( x) 的图象 与 x 轴的交点为(0,0),(a,0),于是只有当 a≤2 时, f ( x) 在[2, +∞ ) 上单调递增. 11.

3 3?4 π? 4 π? 3 ? ? .解析 解析:由题意知 cos ? α + ? = ? , sin ? α + ? = ,所以 cos α = 解析 10 3? 5 3? 5 ? ?

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π π? π? π π? π 3 3?4 ? ? ? cos ? α + ? ? = cos ? α + ? cos + sin ? α + ? sin = . 3 3? 3? 3 3? 3 10 ? ? ?
1 ,结合可行域可知当 m 直线 x+my=0 与直线 AC 平行时,线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小 值,而直线 AC 的斜率为-1,所以 m=-1.
12.1.解析 解析:依题意,令 z=0,可得直线 x+my=0 的斜率为 ? 解析

?1 2? 13. ? , ? .解析 解析:如图,设椭圆的半长轴长,半焦距分别为 a1 ,c,双曲线的半实轴 解析 ?3 5?
长,半焦距分别为 a2 ,c, PF1 =m, PF2 =n,则

? m + n = 2a1, ? ? m ? n = 2a2, ? ? m = 10, ? n = 2c, ?
问题转化为 1<

?a1 = 5 + c, 得? ?a2 = 5 ? c,

c c <2,求 的取值范围. 5?c 5+c c 5x c x 1 1 设 =x,则 c= ,所以 = = - . 5?c 1+ x 5+c 2x + 1 2 4x + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 因为 1<x<2,所以 - < - < - ,即 < - < . 2 6 2 4 x + 2 2 10 3 2 4x + 2 5
14.6.解析 解析:第 i 行第 j 列的数记为 Aij .那么每一组 i 与 j 的解就是表中一个数. 解析 因为第一行数组成的数列 { A1 j } (j=1,2,…)是以 2 为首项,公差为 1 的等差数列,所以

A1 j =2+(j-1)×1=j+1, 所以第 j 列数组成的数列 { A1 j } (i=1,2,…)是以 j+1 为首项,公
差为 j 的等差数列, 所以 Aij =j+1+(i-1)×j=ij+1. Aij =ij+1=2010, ij=2009=1×2009 令 即 =7×287=41×49=49×41=287×7=2009×1,故表中 2010 共出现 6 次.

π? ? 15. (1) f ( x) =m·n= 4 cos 2 x + 2 3 sin 2x = 4sin ? 2 x + ? +2,所以 f ( x) 的最大值 6? ?
是 6,最小正周期 T= π .

3 又因为 b+c=3,b>c,所以 b=2,c=1. 16. (1)连结 AC,在△CPA 中,因为 E,F 分别为 PC,BD 的中点,所以 EF∥PA. 而 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,所以直线 EF∥平面 PAD. (2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD I 平面 ABCD=AD,CD ? 平面 ABCD,且 CD⊥ AD,所以 CD⊥PA.又因为 PA⊥PD,且 CD,PD ? 平面 PDC,所以 PA⊥平面 PDC. 而 EF∥PA,所以 EF⊥平面 PDC.

(2)由 f ( A) =4,得 A=

π

,有余弦定理 cos A =

b2 + c 2 ? a 2 ,a= 3 ,可得 bc=2. 2bc

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17. (1)由题意,得 10(1000-x)(1+0.2x %)≥10×1000,即 x 2 -500x≤0,又 x>0,所以 0<x≤500.即最多调整 500 名员工从事第三产业.

3x ? ? (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10 ? a ? ? x 万元,从事原来产业的员工的 500 ? ? 1 ? 3x ? 1 ? ? ? ? 年总利润为 10(1000 ? x) ?1 + x ? 万元,则 10 ? a ? x ? ,所以 ? x ≤ 10(1000 ? x) ?1 + 500 ? ? 500 ? ? ? 500 ?
ax-

3x 2 1 2 2x2 2x 1000 ≤1000+2x-x- x ,所以 ax≤ +1000+x,即 a≤ + +1 恒成立. 500 500 500 500 x
因为

2x 1000 2 x 1000 2x 1000 + ≥2 ? =4,当且仅当 = ,即 x=500 时等号成立, 500 x 500 x 500 x

所以 a≤5,又 a>0,所以 0<a≤5. 所以 a 的取值范围为(0, 5] . 18. (1)圆 C1 : ( x + 4) 2 + y 2 =16-F.

? ?8 2 + 3 + 8 2 ? 由题意, 可得 ( 3) + ? 所以 F=12, 所以圆 C1 的方程为 ( x + 4) 2 ? =16-F, ? ? 3 ? ?
2

2

+ y 2 =4.
2 (2)设 P( x0 , y0 )( y0 ≠0),则 ( x0 + 4)2 + y0 =4.又 A(-6,0),B(-2,0),所以 lPA :y



y0 6 y0 y0 2 y0 (x+6),M(0, ), lPB :y= (x+1),N(0, ). x0 + 6 x0 + 6 x0 + 2 x0 + 2
6 y0 2 y0 ? 2 y0 ? ? ? 6 y0 + ? ? ? x +6 ? x +2 ? x + 6 x0 + 2 6 y0 0 ? =? 0 ? . 圆 C2 的方程为 x 2 + ? y ? 0 化简得 x 2 + y 2 -( 2 2 x0 + 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 y0 )y-12=0,令 y=0,得 x= ±2 3 . x0 + 2
又点( ?2 3 ,0)在圆 C1 内,所以当点 P 变化时,以 MN 为直径的圆 C2 经过圆 C1 内一定点
2 2



( ?2 3 ,0). (3)设 R(-1,t),作 C1 H ⊥RT 于 H,设 C1 H =d,由于∠ C1 RH = 30° ,所以 RC1 =2d. 由题意 d≤2,所以 RC1 ≤4,即 9 + t 2 ≤4,所以 ? 7 ≤t≤ 7 . 所以点 A 的纵坐标的范围为[ ? 7 , 7 ].
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19. (1)因为 S1 =

a (a1 ? 1) ,所以 a1 =a. a ?1 a a a an - an ?1 ,所以 n =a,即 {an } 是等比数列. a ?1 a ?1 an ?1

当 n≥2 时, an = Sn - S n ?1 = 所以 an = a ? a n ?1 = a n .

2?
(2)由(1)知,bn = = b1b3 ,而 b1 =3, b2 =

a (a n ? 1) (3a ? 1)a n ? 2a 2 a ?1 +1= ,若 {bn } 为等比数列,则有 b2 an a n (a ? 1)

3a + 2 3a 2 + 2a + 2 3a + 2 2 3a 2 + 2a + 2 , b3 = ,故 ( ) = 3? , a a2 a a2 1 1 1 解得 a= ,再将 a= 代入,得 bn = 3n 成立,所以 a= . 3 3 3 1 1 1 3n 3n +1 (3)由(2)知, an = ( ) n ,所以 cn =2- - =1- n +1- n +1 1 1 3 3 +1 3 ?1 1 + ( ) n 1 ? ( )n+1 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - n+1 , n 由 < n , n+1 > n+1 得 n - n+1 < n - n+1 , 所以 cn < 3 +1 3 ?1 3 +1 3 3 ?1 3 3 +1 3 ?1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - n+1 ,从而 Tn = c1 + c2 +…+ cn < - 2 +( 2 - 3 )+…+( n - n+1 )= - n+1 n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 < . 3 20. (1)显然 f ( x) 在区间上为增函数 (0 , 1] ,因为

n

1 1 1 1 1 + x ?1 1 1 + x ?1 1 x f ( x) = (1 ? ) = = = = ? x x 1+ x x 1+ x x 1 + x ( 1 + x + 1) x 1+ x
1 1 ,所以 f ( x) 在区间 (0 , 1] 上为减函数. x 1+ x + 1+ x 所以 f ( x) 在区间 (0 , 1] 上为“弱减函数” . 1 1 (2) 要证 f ( x2 ) ? f ( x1 ) < | x1 ? x2 | , 不妨设 0≤ x1 < x2 , f ( x) =1- 由 证法 1: 2 1+ x 1 在[0,+∞ ) 单调递增,得 f ( x2 ) > f ( x1 ) ,那么只要证 f ( x2 ) - f ( x1 ) < ( x2 ? x1 ) ,即证 f ( x2 ) 2 1 1 - x2 < f ( x1 ) - x1 . 2 2 1 1 令 g ( x) = f ( x) - x ,则问题转化为只要证明 g ( x) = f ( x) - x 在[0, +∞ ) 单调递减即 2 2 可. 1 1 1 事实上, g ( x) = f ( x) - x =1- - x, 2 2 1+ x 1 1 当 x∈[0, +∞ ) 时, g / ( x) = - ≤0, 2 2 1+ x

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所以 g ( x) = f ( x) -

1 x 在[0, +∞) 单调递减,故命题成立. 2
| 1 + x1 ? 1 + x2 | 1 1 ? |= 1 + x2 1 + x1 1 + x2 1 + x1

证法 2: f ( x2 ) ? f ( x1 ) = |

| x1 ? x2 |


1 + x2 1 + x1 ( 1 + x1 + 1 + x2 )



因为 x1 , x2 ∈[0, +∞ ) ,且 x1 ≠ x2 , 1 + x2 1 + x1 ( 1 + x1 + 1 + x2 ) >2, 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) <

1 | x1 ? x2 | . 2

(3)当 x∈[0,1]时,不等式 1-ax≤ 当 x=0 时,不等式显然成立.

1 ≤1-bx 恒成立. 1+ x

1 ? ?a ≥ x f ( x) ? 当 x∈ (0 ,1]时,等价于 ? 恒成立. 1 ?b ≤ f ( x) ? x ?
由(1)知

1 2 1 1 1 2 f ( x) 为减函数,1- ≤ f ( x) < ,所以 a≥ 且 b≤1- . x 2 x 2 2 2

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