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高一数学必修1课件 单调性与最大(小)值+第1课时+函数的单调性+精讲优练课型


1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性

【知识提炼】 1.增函数与减函数的相关概念

f(x1)<f(x2)

f(x1)>f(x2)

2.函数的单调性及单调区间

增函数或减函数

单调性

区间D

【即时小测】 1.思考下列问题:

(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗?
提示:并不是所有函数在定义域上都是单调的 ,如函数f(x)=1,x∈R在

定义域上就不是单调的.

(2)增、减函数定义中的“任意x1,x2∈D”可否改为“存在x1,x2∈D”?
提示:不能改,如函数f(x)= x2中,虽然f(-1)<f(2),但该函数在定义域

上不是单调函数.
(3)函数f(x)在实数集R上是增函数,则f(1)<f(4)成立吗? 提示:成立.由于函数在R上是增函数,且1<4,故f(1)<f(4).

2.函数y=-x2的单调递减区间为

(

)

A.(-∞,0]
C.(-∞,+∞)

B.(0,+∞)
D.不存在

【解析】选B.画出函数y=-x2的图象,由图象
可知函数y=-x2的单调递减区间为(0,+≦).

3.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则有(

)

A.k> 1
C.k< 2

B.k>- 1
D.k<- 2

1 1 【解析】选 C.若y=(2k-1)x+b 是R上的减函数,则必有2k-1<0,所以k< 2 2

1 . 2

4.若函数f(x)在R上是增函数,且f(a)>f(b),则a与b的大小关系 是 .

【解析】因为f(x)在R上是增函数,所以当f(a)>f(b)时,有a>b.

答案:a>b

5.如图所示为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,则函数f(x)的单调递增 区间是 .

【解析】结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知 ,此函数的 单调递增区间是[-4,-2],[4,7].

答案:[-4,-2],[4,7]

【知识探究】 知识点 函数的单调性与单调区间

观察图形,回答下列问题:

问题1:上面四个图象从左到右的变化趋势分别是什么?它们的变化趋
势是否相同? 问题2:能否说f(x)=

1 在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数? x

【总结提升】 1.对增函数、减函数概念的三点说明 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域不同区间 内可以有不同的单调性,即单调性是函数的一个“局部”性质.

(2)定义中的x1和x2有如下三个特征: ①任意性:即“任意取x1和x2”中“任意”二字不能去掉,证明时不能 以特殊代替一般; ②有大小之分; ③属于同一个单调区间. (3)函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系:比如f(x)在定 义域I上是减函数,若x1,x2∈I,则f(x1)>f(x2)?x1<x2.

2.对函数单调区间的三点说明 (1)单调区间必须是函数定义域的子集. (2)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,一 般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.如f(x)= 在(-∞,0)

1 上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说它在定义域 (-∞,0) x
∪(0,+∞)上是减函数. (3)函数的单调区间,在书写时,只要在端点处有定义,用开区间或闭区

间都可以,但若在端点处无定义,必须用开区间表示.

3.常见函数的单调区间 (1)y=ax+b,a>0时,单调增区间为(-∞,+∞);a<0时,单调减区间为 (-∞,+∞).

a (2)y= ,a>0时,单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞);a<0时,单调增区间 x
为(-∞,0)和(0,+∞). (3)y=a(x-m)2+n,a>0时,单调减区间为(-∞,m],单调增区间为 [m,+∞);a<0时,单调增区间为(-∞,m],单调减区间为[m,+∞).

【题型探究】 类型一 求函数的单调区间问题 .

1 【典例】1.函数f(x)= +2的单调递减区间是 x

2.画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出函数的单调区间.

【解题探究】1.典例1中f(x)的定义域是什么? 提示:f(x)的定义域是(-≦,0)∪(0,+≦). 2.典例2中如何处理|x|? 提示:按照绝对值的定义去掉绝对值符号,化简函数解析式.

【解析】1.函数f(x)= +2的图象可由反比 例函数y= 1 的图象向上平移2个单位得到,

1 x

x ,结合图象可知单调递减区间 作出图象如图
是(-≦,0),(0,+≦).
答案:(-≦,0),(0,+≦)

2 ? ? ? x ? 1? ? 4,x ? 0, ? 2 2.y=-x +2|x|+3 ? ? 2 ? x ? 1 ? ? 4,x ? 0. ? ? ?

函数图象如图所示.

函数在(-≦,-1],[0,1]上是增函数,
函数在[-1,0],[1,+≦)上是减函数.

所以函数的单调增区间是(-≦,-1]和[0,1],
单调减区间是[-1,0]和[1,+≦).

【延伸探究】(变换条件)将典例2函数变为“y=|x2-2x-3|”,则其单 调区间是什么?

【解析】y=|x2-2x-3|的图象如图所示,

由图象可得其单调递增区间是[-1,1],[3,+≦);递减区间是 (-≦,-1],[1,3].

【方法技巧】求函数单调区间的两种方法 (1)图象法: ①作出函数的图象; ②把函数图象向x轴作正投影; ③上升图象对应增区间,下降图象对应减区间.

(2)单调性定义法:

①作差,因式分解;
②判断各因式符号;

③如果各因式符号确定,则函数在整个定义域上具有单调性,如果有一
个因式符号不确定,则需确定分界点以确定单调区间.

【补偿训练】求函数f(x)=|x+1|-|2x-4|的单调递减区间.

x ? 5,x ? ?1, ?3x ? 3, ?1 ? x ? 2, ? 画出函数f(x)的图象如图所示, 函数 f(x) 的 5 ? x,x ? 2. ?
【解析】f(x)=|x+1|-|2x-4|= ? ? 单调递减区间是[2,+≦).

类型二

函数单调性的判断与证明

【典例】(2015·郑州高一检测)判断函数f(x)=x+ 调性,并证明.

4 在(2,+∞)上的单 x

【解题探究】典例中若设x1,x2∈(2,+≦),则x1x2与4的关系如何?

提示:因为x1,x2∈(2,+≦),所以x1x2>4.

【解析】函数f(x)在(2,+≦)上是增函数,证明如下: 任取x1,x2∈(2,+≦),且x1<x2,

4 4 则f(x1)-f(x2)= x1+ ? x 2 ? x1 x2 x1x 2 ? 4 4 x ? x ? ? 2 1 =(x1-x2)+ =(x1-x2) . x1x 2 x1 x 2
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)=x+

因为2<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0,

4 在(2,+≦)上是增函数. x

【延伸探究】
1.(变换条件、改变问法)将本例中区间“(2,+∞)”改为“(0,2)”, 判断函数f(x)的单调性,并证明.

【解析】函数f(x)在(0,2)上是减函数,证明如下: 任取x1,x2∈(0,2),且x1<x2,

4 4 则f(x1)-f(x2)= x1+ ? x 2 ? x1 x2 4 x ?x =(x1-x2)+ ? 2 1 ? =(x1-x2)x1x 2 ? 4 . x1 x 2 x1x 2
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=x+

因为0<x1<x2<2,所以x1-x2<0,0<x1x2<4,x1x2-4<0,

4 在(0,2)上是减函数. x

2.(变换条件、改变问法)将本例中的函数“f(x)=x+ 4 ”变为 “f(x)= 2 ? x ”,求证函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数.

x

x ?1

【证明】任取x1,x2∈(-1,+≦),且x1<x2.

3 ? x 2 ? x1 ? 2 ? x2 ? ? . 因为x2>x1>-1, x1 ? 1 x 2 ? 1 ? x1 ? 1?? x 2 ? 1?
则f(x1)-f(x2)= 2 ? x1
所以x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0, 因此f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在(-1,+≦)上为减函数.

【方法技巧】利用定义证明函数单调性的步骤

(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2.
(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理

化等手段,转化为易判断正负的式子.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号. (4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.

【补偿训练】定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b, 总有 f ? a ? ? f ? b ? >0,则必有 ( )

a ? b先增后减 A.函数f(x)
B.函数f(x)先减后增 C.函数f(x)是R上的增函数 D.函数f(x)是R上的减函数

【解析】选C.由 f ? a ? ? f ? b ? >0知,当a>b时,f(a)>f(b);当a<b 时,f(a)<f(b),所以函数f(x)是R上的增函数.

a?b

【延伸探究】(改变条件)本题若将“ f ? a ? ? f ? b ? >0”变为 “(a-b)[f(a)-f(b)]<0”,则函数f(x)的增减性如何? 【解析】当a>b时,f(a)<f(b);当a<b时,f(a)>f(b), 所以函数f(x)是R上的减函数.

a?b

类型三

函数单调性的应用

【典例】1.(2015·张家界高一检测)已知函数f(x)= 是R上的增函数,则a的取值范围是 .

?? x 2 ? ax ? 5,x ? 1, ? ?a ? ,x ? 1 ?x

2.(2015·广州高一检测)已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, 对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足f(2)=1. (1)求f(1),f(4)的值. (2)求满足f(2)+f(x-3)≤2的x的取值范围.

【解题探究】1. 典例 1 中 x>1 时对应的函数值 f(x) 与 f(1) 的大小关系
如何? 提示:f(x)是R上的增函数,所以x>1时f(x)>f(1). 2.典例2中f(2)=1,则2与f(2)什么关系? 提示:2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).

【解析】1.因为f(x)在R上是单调递增的函数,所以f(x)需满足在
区间(-≦,1]和(1,+≦)上都是单调递增的,并且端点处x=1的函数值 -12-a-5≤

a a 1 2 (-≦,1]上单调递增 ,所以- ≥1,即a≤-2;f(x)= 在(1,+≦)上单调 a a 递增,所以a<0.综上所述,a的取值范围是[-3,-2]. x 2
答案:[-3,-2]

,即a≥-3;f(x)=-x2-ax-5的对称轴为直线x=- ,且在

2.(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0, 令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,所以f(4)=2. (2)由f(2)=1及f(xy)=f(x)+f(y)可得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4). 因为f(2)+f(x-3)≤2,

所以f(2(x-3))≤f(4).
又函数f(x)在定义域(0,+≦)上是单调增函数,

所以

解得3<x≤5.

? ?2 ? x ? 3?>0, ? ? ?2 ? x ? 3? ? 4,

【方法技巧】利用函数单调性求参数范围的类型及相应的技巧 (1)已知函数解析式求参数:

(2)抽象函数求参数: 只需利用单调增函数f(x)中f(a)>f(b)?a>b,单调减函数f(x)中 f(a)>f(b)?a<b,去掉符号“f”,此时特别注意a,b要在给定的单调 区间内.

【变式训练】(2015·张掖高一检测)已知函数y=f(x)在R上是增函数, 且f(2m+1)>f(3m-4),求m的取值范围. 【解题指南】由y=f(x)在R上是增函数可知f(2m+1)>f(3m-4)?

2m+1>3m-4,解此不等式即可.
【解析】由y=f(x)在R上是增函数且f(2m+1)>f(3m-4)知,2m+1>3m-4,

解得m<5,所以m的取值范围是(-≦,5).

【补偿训练】(2015·杭州高一检测)f(x)=
是定义在R上的减函数,则a的取值范围是

?(3a ? 1)x ? 4a,x ? 1, ? ??ax,x ? 1
.

【解题指南】一次函数在定义域上单调递减,则一次项系数要小于0.

【解析】因为f(x)= ?? 3a ? 1? x ? 4a,x ? 1, 是R上的减函数,

? ??ax,x ? 1

答案:

?3a ? 1 ? 0, 1 1 ? 所以 ??a ? 0, 解得 ? a ? . 3 ? 3a ? 1 ? 4a ? ?a, 8 ? ??
1 1 [ ,) 8 3

规范解答

利用函数单调性求解参数取值范围

【典例】(12分)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a) <f(2a-1),求a的取值范围. 【审题指导】不等式f(1-a)<f(2a-1)为抽象不等式,不能直接解.考 虑到函数的单调性,可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等 关系,即转化为具体不等式来求解.

【规范解答】由题意可知 ??1 ? 1 ? a ? 1,

………………………………………………3分 解得0<a<1. ①???????????5分

? ??1 ? 2a ? 1 ? 1.

因为f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1), 所以1-a>2a-1, ???????????????????8分 即a<

2 3 由①②可知 ,0<a< , ????????????????11分 2 即所求a的取值范围是 3 2 (0, ). ?????????????????????????? 12分 3

.

② ????????????????????9分

【题后悟道】 1.树立定义域优先的原则 研究函数问题,特别是研究函数的单调性时,要先看函数定义域,树立 定义域优先的原则,如本例,若忽视定义域则将所求参数范围扩大.

2.准确理解增、减函数的意义
增函数、减函数的定义中蕴含了在定义区间内自变量的不等关系与相 应函数值不等关系的相互转化,这一点要紧紧依赖函数的增减性,如本 例若不注意函数是减函数则易将不等式转化错误.


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