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2016年12月淄博市高三摸底考试理科数学

淄博市 2016—2017 学年度高三摸底考试理科数学 2016.12
2 ? ?(lnx) -[lnx]-2,x>0 10.设[x]表示不大于实数x的最大整数,函数f(x)= ? x ,若f(x)有且仅有4个 2 +x-a,x ? 0 ? ? 零点,则实数a的取值范围为( ) A.a>1 B.a<1 C.a ? 1 D.a ? 1

解析:当x>0时,令f(x)=(lnx)2 -[lnx]-2=0,则(lnx)2 -2=[lnx]. 令t=lnx ? R,则t2 -2=[t]. 函数y=t2 -2与y=[t]在同一坐标系下的图象如图所示: 两函数图象有3个不同的交点,? t有3解; 相应地,x有3解,? f(x)在(0,+?)上有3个不同的零点,? f(x)在(-?,0]上有且仅有1个零点. 当x ? 0时,令f(x)=2x +x-a=0,则2x +x=a. 直线y=a与曲线y=2x +x有且仅有一个交点,则a ? 1. ? 选C.
1 1 2 1 2 3 1 2 3 n-2 n-1 n 14.已知数组( ),( , ),( , , ), ?,( , , , ?, , , ), ?,分别记为(a1 ), 1 2 1 3 2 1 n n-1 n-2 3 2 1 (a2 ,a3 ),(a 4 ,a5 ,a 6 ), ?,则a2016 =__________.

解析:第n组有n个数,前n组共有元素个数:Sn =1+2+3+? +n= 令 n(n+1) ? 2016,则n(n+1)? 4032. 2

n(n+1) . 2

? n(n+1)随n的增大而增大,且63 ? 64=4032, ? a2016为第63组的最后一个数,? a2016 =

63 =63. 1

? 2 15.设f(x)=ex -e-x ,当? ?[0, ]时,f(t)+f(t2 -1)<0恒成立,则实数t的取值范围 2 sin? +cos? 是________.
解析:f(x)为奇函数,且是增函数. ? f(t2 2 2 )+f(t2 -1)<0,? f(t)<-f(t2 -1),? f(t)<f(-t2 +1), sin? +cos? sin? +cos? sin? +cos? 2 2 ? t<-t2 +1,?t2 +t-1< . sin? +cos? sin? +cos? P=

2 2 1 = = . ? ? sin? +cos? 2sin(? + ) sin(? + ) 4 4 ? ? ? 3? 2 ? ? 0 ? ? ? ,? ? ? + ? ,? ? sin(? + )? 1,? Pmin =1. 2 4 4 4 2 4 2 2 ? t +t-1<1,?t +t-2<0,? -2<t<1,即所求实数t的取值范围为(-2,1).

20.已知数列?a n ? 是公差大于0的等差数列,其前n项和为Sn ,且满足:a 3a 4 =70,a 2 +a5 =17. (I )求数列?a n ?的通项公式; Sn (c为非零常数),若数列?bn ? 是等差数列,求c的值; n+c 1 1 1 7 (III )求证:( )2 +( )2 + ? +( )2 < (n ? N * ). a1 a2 an 6 (II )设bn =

解析:(I )??a n ? 为等差数列,且a 2 +a 5 =17,? a 3 +a 4 =17. ?a3 =7 ?a1 +2d=7 ?a =1 又 ? a3a 4 =70,且d>0,? ? ?? ? ? 1 ,? a n =1+(n-1)? 3=3n-2. ?a 4 =10 ?a1 +3d=10 ?d=3 n(a1 +a n ) n(1+3n-2) n(3n-1) S n(3n-1) (II )Sn = = = ,? bn = n = . 2 2 2 n+c 2(n+c) 1 5 12 b1 = ,b2 = ,b3 = . c+1 c+2 c+3 1 12 10 1 ? ?bn ? 为等差数列,? b1 +b3 =2b2 ,即 + = ,整理得:3c2 +c=0,? c=0(舍)或c=- . c+1 c+3 c+2 3 n(3n-1) 3 3 3 3 3 此时bn = = n,? bn+1 -bn = (n+1)- n= (常数),??bn ? 为等差数列,且公差d= . 1 2 2 2 2 2(n- ) 2 3 1 3 综上:?bn ? 为等差数列时,c=- ,公差= . 3 2

(III )(

1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ) =( )= = 2 < 2 = = ( )(n ? 2). 2 an 3n-2 (3n-2) 9n -12n+4 9n -12n+3 (3n-3)?(3n-1) 2 3n-3 3n-1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 左边<1+ ?[( - )+( - )+( - )+ ? +( )+( )] 2 3 5 6 8 9 11 3n-6 3n-4 3n-3 3n-1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 7 = + ?[(- + )+(- + )+ ? +(+ )]< , 6 2 5 6 8 9 3n-4 3n-3 3n-1 6 1 2 1 2 1 2 7 即( ) +( ) + ? +( ) < (n ? N * ). a1 a2 an 6

x ,f(x)=g(x)-ax. lnx (I )求函数g(x)的单调区间; 21.已知函数g(x)= (II )若函数f(x)在(1,+?)上是减函数,求实数a的最小值;
' (III )若存在x1 ,x2 ?[e,e2 ],使f(x1 )? f(x 2 )+a成立,求实数a的取值范围.

解析:(I )函数有意义,lnx ? 0,? x>0且x ? 1,? g(x)的定义域为(0,1)?(1,+?). 1 1 ? lnx-x ? x ' x = lnx-1 . ? g(x)= ,? g(x)= 2 lnx (lnx) (lnx)2 ' 令g(x)>0, 则lnx-1>0,?lnx>1,?lnx>lne,? x>e,? g(x)的单调递增区间为(e,+?);
' 令g(x)<0, 则lnx-1<0,?lnx<1,?lnx<lne,? 0<x<e,? g(x)的单调递减区间为(0,1)和(1,e).

(II )f(x)=g(x)-ax=

x lnx-1 ' -ax,? f(x)= -a. lnx (lnx)2

lnx-1 lnx-1 ' ? f(x)在(1,+?)上是减函数,? f(x) ? 0对x ?(1,+?)恒成立,? -a ? 0,? a ? . 2 (lnx) (lnx)2 lnx-1 t-1 令t=lnx,则 = ,t ?(0,+?). (lnx)2 t2 t-1 1 ? t2 -(t-1)? 2t 2-t 令?(t)= 2 ,t ?(0,+?),则? '(t)= = 3 . t t4 t ' 令? (t)>0,则2-t>0,? 0<t<2,??(t)在(0,2)上为增函数; 令? '(t)<0,则2-t<0,? t>2,??(t)在(2,+?)上为减函数. 1 1 1 ?? max =?(2)= ,? a ? ,? 实数a的最小值为 . 4 4 4
' ' (III )存在x1 ,x2 ?[e,e2 ],使f(x1 ) ? f(x 2 )+a成立,必须且只需:a ? [f(x1 )] min -[f(x2 )] max . ????????? min

当e ? x ? e 时,lne ? lnx ? lne ,?1 ? t ? 2.
2 2

由(II )可知,?(t)在[1,2]上为增函数,?? max =?(2)= 1 ' ?[f(x)] -a. max = 4 lnx-1 lnx-1 1 ' 已知f(x)= -a, ?[0, ]. 2 2 (lnx) (lnx) 4

2-1 1 1-1 = ,? min =?(1)= 2 =0. 2 2 4 1

' ①当a ? 0时,f(x) ? 0,? f(x)在[e,e2 ]上为增函数,? y min =f(e)=

e -ae=e-ae. lne

1 1 ? a ?(e-ae)-( -a),? a ? 1- >0,矛盾. 4 4e 2 1 e2 ' 2 e ②当a ? 时,f(x) ? 0,? f(x)在[e,e2 ]上为减函数,? y min =f(e2 )= -a e = -ae2 . 2 4 lne 2 2 e 1 1 1 ? a ?( -ae2 )-( -a),? a ? - 2 . 2 4 2 4e lnx0 -1 1 ③当0<a< 时,存在x0 ?(e,e2 ),使得f '(x0 )=0,即 =a,而当: 4 (lnx0 )2
' x ?(e,x0 )时,f(x) <0,? f(x)在(e,x0 )上为增函数; ' x ?(x0 ,e2 )时,f(x )>0,? f(x)在(x0 ,e2 )上为减函数.

? y min =f(x0 )= ?a ?

x0 -ax0 . lnx0

x0 x x lnx0 -1 1 1 1 1 -ax0 -( -a),? 0 -ax0 - ? 0,? 0 ? x0 - ? 0,? x0 - (lnx0 )2 ? 0. 2 lnx0 4 lnx0 4 lnx0 (lnx0 ) 4 4

1 1 1 2x -lnx0 令?(x0 )=x0 - (lnx0 )2 ,x0 ?(e,e2 ),则? '(x0 )=1- ? 2lnx0 ? = 0 . 4 4 x0 2x0 ? e<x0 <e2 ,? 2e<2x0 <2e2 ,1<lnx0 <2,?? '(x0 )>0,??(x0 )在(e,e2 )上为增函数, 1 1 1 ??(x0 )>?(e)=e- (lne)2 =e- ? 12 =e- >0,矛盾. 4 4 4

1 1 1 1 综上:a ? - 2 ,即所求实数a的取值范围为[ - 2 ,+?). 2 4e 2 4e


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