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2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高二上学期期中数学试卷与解析(理科)

2017-2018 学年黑龙江省哈师大附中高二 (上) 期中数学试卷 (理 科) 一.选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是正确的) 1. (5 分)已知椭圆 一焦点距离为( A.9 B.7 ) D.3 ) 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另 C.5 2. (5 分)抛物线 x2=20y 的焦点坐标为( A. (﹣5,0) B. (5,0) C. (0,5) D. (0,﹣5) 3. (5 分)双曲线 x2﹣4y2=4 的渐近线方程为( A. B.y=±2x C. D. (a>0)的离心率为 D. 上一点, F 1, F2 是其左、 右焦点, 若∠F1PF2=60°, ) D. ) ,则 a 的值为( ) ) 4. (5 分)已知双曲线 A. B. C. 5. (5 分) 已知 P 是椭圆 则△PF1F2 的面积为( A. B. C. 6. (5 分)设直线 l 过点(﹣2,0) ,且与圆 x2+y2=1 相切,则 l 的斜率是( A.±1 B. C. D. 7. (5 分)已知抛物线 C:x2=2y,过点 M(0,2)的直线交抛物线 C 于 A,B, 若 O 为坐标原点,则直线 OA,OB 的斜率之积为( A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣2 ) 第 1 页(共 20 页) 8. (5 分)如果 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最大值是( ) A.﹣5 B. C. D.5 9. (5 分)过双曲线的一个焦点 F2 作垂直干实轴的弦 PQ,F1 是另一焦点,若∠ PF1Q= A. ,则双曲线的离心率 e 等于( ﹣1 B. C. +2 D. +1 ) 10. (5 分)过抛物线 y2=4x(p>0)的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD,则 =( A.2 B.4 C. ) D. 11. (5 分)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点,若 A. B. C.3 D.2 =3 ,则|QF|=( ) 12. (5 分)已知抛物线 C:y2=10x,点 P 为抛物线 C 上任意一点,过点 P 向圆 D: x2+y2﹣12x+35=0 作切线, 切点分别为 A, B, 则四边形 PADB 面积的最小值为 ( A. B. C. D. ) 二.填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)双曲线 的实轴长为 . 14. (5 分)已知双曲线: ,若直线 l 交该双曲线于 P,Q 两点,且线 . 段 PQ 的中点为点 A(1,1) ,则直线 l 的斜率为 15. (5 分)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 ∠F1PF2= ,椭圆的离心率为 e1,双曲线的离心率 e2,则 = . 16. (5 分)已知椭圆 C: ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的 第 2 页(共 20 页) 两焦点的对称点分别为 P,Q,线段 MN 的中点在 C 上,则|PN|+|QN|= . 三.解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明证明过程或演 算步骤) 17. (10 分)已知圆 C 经过点 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 的直线 l 截圆 C 所得弦长为 ,求直线 l 的方程. 且圆心 C 在直线 y=x 上. 18 . ( 12 分)如图,三棱柱 ABC ﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,∠ ACB=90°, AC=BC= ,D 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (Ⅱ)求异面直线 DC 与 BC1 所成角的余弦值. 19. (12 分)已知椭圆 C: =1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆的短轴端 点与双曲线 =1 的焦点重合,过 P(4,0)且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 的取值范围. 20. (12 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA⊥底面 ABCD, E、F 分别为 AB、PC 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=2,试问在线段 EF 上是否存在点 Q,使得二面角 Q﹣AP﹣D 的余弦 第 3 页(共 20 页) 值为 ?若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,请说明理由. 21. (12 分)已知椭圆 =1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,短轴两 个端点为 A,B,且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若 C,D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM, 交椭圆于点 P.求证: 为定值. + =1 在第一象限的交点 . 22. (12 分)如图,抛物线 C1:y2=2px 与椭圆 C2: 为 B,O 为坐标原点,A 为椭圆的右顶点,△OAB 的面积为 (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)过 A 点作直线 l 交 C1 于 C、D 两点,射线 OC、OD 分别交 C2 于 E、F 两点, 记△OEF 和△OCD 的面积分别为 S1 和 S2, 问是否存在直线 l, 使得 S1: S2=3: 77? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 第 4 页(共 20 页) 2017-2018 学年黑龙江省哈师大附中高二(上)期中数学 试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是正确的) 1. (5 分)已知椭圆 一焦点距离为( A.9 B.7 ) D.3 ,得 a=5, 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另

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