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2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何热点探究课5平面解析几何中的高考热点问题教师用书文北师大版


热点探究课(五)

平面解析几何中的高考热点问题

[命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容, 每年高考必考一道解答题, 常以求 圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的 命制有一个共同的特点, 就是起点低, 但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算, 对考生解决问题的能力要求较高,通常作为压轴题的形式出现. 热点 1 圆锥曲线的标准方程与性质 圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位.一般地,求圆锥曲线的标准方程 是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题,最常用的方法是定义法与待定系数 法.离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点,涉及 a,b,c 三者之间的关系.另外抛物线 的准线,双曲线的渐近线也是命题的热点.

图1 (2017·石家庄质检)如图 1, 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1, F2, 过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ⊥PF1. (1)若|PF1|=2+ 2,|PF2|=2- 2,求椭圆的标准方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e. [解] (1)由椭圆的定义, 2a=|PF1|+|PF2|=(2+ 2)+(2- 2)=4,故 a=2. 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1⊥PF2, 因此 2c=|F1F2|= |PF1| +|PF2|
2 2 2 2

x2 y2 a b

= ?2+ 2? +?2- 2? =2 3. 即 c= 3,从而 b= a -c =1, 故所求椭圆的标准方程为 +y =1. 4
2 2

3分

x2

2

5分

(2)连接 F1Q,如图,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a, |QF1|+|QF2|=2a,

1

又|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|=(2a-|PF1|)+(2a-|QF1|), 可得|QF1|=4a-2|PF1|. ① 又因为 PF1⊥PQ 且|PF1|=|PQ|, 所以|QF1|= 2|PF1|. ②8 分 由①②可得|PF1|=(4-2 2)a, 从而|PF2|=2a-|PF1|=(2 2-2)a. 由 PF1⊥PF2,知|PF1| +|PF2| =|F1F2| , 即(4-2 2) a +(2 2-2) a =4c ,10 分
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 可得(9-6 2)a =c ,即 2=9-6 2, a
2 2

因此 e= = 9-6 2= 6- 3.

c a

12 分

[规律方法] 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法, 同时应注意数形结合思 想的应用. 2.圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度,只需明确 a,b,c 中任意两量的关系都可 求出离心率,但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制. [对点训练 1] 已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 为抛物线 x =4y 的焦点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 y=x-1 与抛物线相切于点 A,求以 A 为圆心且与抛物线的准线相切的圆的 方程. [解] (1)椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上. 设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 因为抛物线 x =4y 的焦点为(0,1), 所以 b=1. 2分
2 2

2 ,它的一个顶点 2

x2 y2 a b

由离心率 e= =

c a

2 2 2 2 2 ,a =b +c =1+c , 2

从而得 a= 2,所以椭圆的标准方程为 +y =1. 2

x2

2

5分

2

?x =4y, ? (2)由? ?y=x-1, ?

2

解得?

?x=2, ? ?y=1, ?

所以点 A(2,1).

8分

因为抛物线的准线方程为 y=-1, 所以圆的半径 r=1-(-1)=2, 所以圆的方程为(x-2) +(y-1) =4.
2 2

12 分

热点 2 圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲 线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题. ?角度 1 圆锥曲线的定值问题

x2 y2 (2016·北京高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1 过 A(2,0),B(0,1)两 a b
点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交 于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. [解] (1)由题意得 a=2,b=1, 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4
2 2

x2

2

3分

又 c= a -b = 3,所以离心率 e= =

c a

3 . 2
2

5分
2

(2)证明:设 P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则 x0+4y0=4. 又 A(2,0),B(0,1), 所以直线 PA 的方程为 y= 令 x=0,得 yM=-

y0

x0-2

(x-2).

7分

2y0 2y0 ,从而|BM|=1-yM=1+ . x0-2 x0-2

直线 PB 的方程为 y= 令 y=0,得 xN=-

y0-1 x+1. x0

9分

x0 x0 ,从而|AN|=2-xN=2+ . y0-1 y0-1

1 所以四边形 ABNM 的面积 S= |AN|·|BM| 2

x0 ?? 2y0 ? 1? 1+ = ? 2+ ? ? ? y - 1 x 2? 0 0-2? ??

2 x2 0+4y0+4x0y0-4x0-8y0+4 2?x0y0-x0-2y0+2?

3



2x0y0-2x0-4y0+4 =2. x0y0-x0-2y0+2 12 分

从而四边形 ABNM 的面积为定值.

[规律方法] 1.求定值问题的常用方法: (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思路是使用参数表示要解决的 问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中选择消元的方向是非常关键的. ?角度 2 圆锥曲线中的定点问题 设椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= (1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的左顶点是 A, 若直线 l: x-my-t=0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M, N(M,

x2 y2 a b

2 6? ? ,且过点?-1,- ?. 2 2? ?

N 与 A 均不重合),若以 MN 为直径的圆过点 A,试判定直线 l 是否过定点,若过定点,求出
该定点的坐标. 【导学号:66482412】 [解] (1)由 e = 2=
2

c2 a2-b2 1 2 2 = ,可得 a =2b ,2 分 a a2 2

椭圆方程为 2+ 2=1, 2b b 代入点?-1,-

x2

y2

? ?

6? 2 2 ?可得 b =2,a =4, 2 ?

故椭圆 E 的方程为 + =1. 4 2

x2 y2

5分

(2)由 x-my-t=0 得 x=my+t, 把它代入 E 的方程得(m +2)y +2mty+t -4=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 2mt t2-4 y1+y2=- 2 ,y1y2= 2 , m +2 m +2
2 2 2

x1+x2=m(y1+y2)+2t= x1x2=(my1+t)(my2+t)

4t , m +2
2

2t -4m 2 2 =m y1y2+tm(y1+y2)+t = 2 . m +2 因为以 MN 为直径的圆过点 A, 所以 AM⊥AN,

2

2

8分

4

→ → 所以AM·AN=(x1+2,y1)·(x2+2,y2) =x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2 = = 2t -4m 4t t -4 +2× 2 +4+ 2 2 m +2 m +2 m +2 3t +8t+4 ?t+2??3t+2? = =0. m2+2 m2+2
2 2 2 2

10 分

因为 M,N 与 A 均不重合,所以 t≠-2, 2 2 ? 2 ? 所以 t=- ,直线 l 的方程是 x=my- ,直线 l 过定点 T?- ,0?, 3 3 ? 3 ? 由于点 T 在椭圆内部,故满足判别式大于 0,

? 2 ? 所以直线 l 过定点 T?- ,0?. ? 3 ?

12 分

[规律方法] 1.假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而 该方程与参数无关, 故得到一个关于定点坐标的方程组, 以这个方程组的解为坐标的点即所 求定点. 2.从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意. 热点 3 圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的 一些问题; 二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关 的一些问题.

图2

x 1 2 已知椭圆 +y =1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2
(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 【导学号:66482413】 [解] (1)由题意知 m≠0, 1 可设直线 AB 的方程为 y=- x+b.

2

m

5

x ? ? 2 +y =1, 由? 1 y=- x+b, ? ? m
2

2

消去 y,得

?1+ 12?x2-2bx+b2-1=0. ?2 m ? m ? ?
2

2分

1 x 4 2 2 因为直线 y=- x+b 与椭圆 +y =1 有两个不同的交点,所以 Δ =-2b +2+ 2>0. m 2 m ① 将线段 AB 中点 M? 由①②得 m<-

mb mb 1 m +2 ?2 , 2 ? 2 ?代入直线方程 y=mx+2,解得 b=- 2m2 .② m + 2 m + 2 ? ?

2

2

6 6 或 m> . 3 3

故 m 的取值范围是?-∞,-

? ?

6? ? 6 ? ?∪? ,+∞?. 3? ?3 ?

5分

1 ? 6 ? ? 6? (2)令 t= ∈?- ,0?∪?0, ?, m ? 2 2? ? ? 3 4 2 -2t +2t + 2 , 1 t2+ 2

则|AB|= t +1·

2

t2+
且 O 到直线 AB 的距离为 d= 设△AOB 的面积为 S(t), 1 1 所以 S(t)= |AB|·d= 2 2

1 2

t2+1

.

7分

2 ? 2 1?2 -2?t - ? +2≤ , 2? 2 ?

1 2 当且仅当 t = ,即 m=± 2时,等号成立. 2 故△AOB 面积的最大值为 2 . 2 12 分

[规律方法] 范围(最值)问题的主要求解方法: (1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来 解决. (2)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数 或等量关系,利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解. [对点训练 2] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,且过点( 2,-2).

y2 x2 a b

6

(1)求椭圆 C 的方程; → → (2)过椭圆焦点的直线 l 与椭圆 C 分别交于点 E,F,求OE·OF的取值范围. [解] 由椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4. 得曲线 C 的焦点 F1(0,-2),F2(0,2). 又点( 2,-2)在椭圆 C 上, 2a= 2+0+ 2+?2+2? =4 2, 所以 a=2 2,b=2, 即椭圆 C 的方程是 + =1. 8 4 (2)若直线 l 垂直于 x 轴, → → ①则点 E(0,2 2),F(0,-2 2),OE·OF=-8. ②若直线 l 不垂直于 x 轴, 设 l 的方程为 y=kx+2,点 E(x1,y1),F(x2,y2),将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程 得到: (2+k )x +4kx-4=0, -4k -4 则 x1+x2= 2,x1x2= 2,8 分 2+k 2+k → → 所以OE·OF=x1x2+y1y2 =(1+k )x1x2+2k(x1+x2)+4 = -4-4k -8k 20 2 + 2+4= 2-8. 2+k 2+k 2+k
2 2 2 2 2 2

y2 x2 a b

2分

y2 x2

5分

10 分

→ → 20 因为 0< 2≤10,所以-8<OE·OF≤2. 2+k → → 综上可知,OE·OF的取值范围是(-8,2]. 12 分

热点 4 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板) 圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面:(1)探索点是否存在;(2)探索曲 线是否存在;(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位 置关系问题. (本小题满分 12 分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与 4 直线 l:y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点. (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;
7

x2

(2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. [规范解答] (1)由题设可得 M(2 a,a),N(-2 a,a),或 M(-2 a,a),N(2 a,

a).

1分 又 y′= ,故 y= 在 x=2 a处的导数值为 a,C 在点(2 a,a)处的切线方程为 y-a 2 4

x

x2

= a(x-2 a), 即 ax-y-a=0.
2

3分

x y= 在 x=-2 a处的导数值为- a,C 在点(-2 a,a)处的切线方程为 y-a=- a
4 (x+2 a), 即 ax+y+a=0. 5分 6分

故所求切线方程为 ax-y-a=0 或 ax+y+a=0. (2)存在符合题意的点.证明如下:

设 P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 7分 将 y=kx+a 代入 C 的方程,得 x -4kx-4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而 k1+k2= = 8分
2

y1-b y2-b + x1 x2 x1x2 a
10 分

2kx1x2+?a-b??x1+x2? k?a+b? = .

当 b=-a 时,有 k1+k2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以点 P(0,-a)符合题意. 12 分

[答题模板] 第一步:分别求出曲线 y= 在 M 点,N 点处的导数. 4 第二步:利用点斜式分别写出在 M 点、N 点的切线方程. 第三步:联立直线 y=kx+a 与抛物线 y= ,并写出根与系数的关系式. 4 第四步:由 kPM+kPN=0,结合根与系数的关系式,探索点 P 的坐标. 第五步:检验反思,查关键点,规范步骤. [温馨提示] 1.(1)在第(2)问中,不能把条件∠OPM=∠OPN 适当转化为 k1+k2=0,找 不到解题的思路和方法,而不能得分. (2)运算能力差或运算不细心,导致运算结果错误而扣分或者不得分. 2.数学阅卷时,主要看关键步骤、关键点,有则得分,无则扣分,所以解题时要写全 关键步骤.

x

2

x2

8

(1)本题的关键点一是利用导数的几何意义求切线方程,二是把条件中转化为只需直线

PM,PN 的斜率之和为 0.
(2)解析几何对运算能力要求较高,解题时一定要细心准确, 否则可能是思路正确,但是运算结果错误,而不得分. [对点训练 3] → → 如图 3,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是

x2 y2 a b

2 ,点 P(0,1)在短轴 2

CD 上,且PC·PD=-1.

图3 (1)求椭圆 E 的方程; → → (2)设 O 为坐标原点, 过点 P 的动直线与椭圆交于 A, B 两点. 是否存在常数 λ , 使得OA·OB → → +λ PA·PB为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由. [解] (1)由已知,点 C,D 的坐标分别为(0,-b),(0,b). → → 又点 P 的坐标为(0,1),且PC·PD=-1,

? ?c 2 于是? = , a 2 ? ?a -b =c ,
2 2 2

1-b =-1, 解得 a=2,b= 2. 4分

2

所以椭圆 E 的方程为 + =1. 4 2

x2 y2

5分

(2)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x1,

y1),(x2,y2). x y ? ? + =1, 联立? 4 2 ? ?y=kx+1,
2 2 2

得(2k +1)x +4kx-2=0.

2

2

8分

其判别式 Δ =(4k) +8(2k +1)>0, 所以 x1+x2=- 4k 2 ,x1x2=- 2 . 2 2k +1 2k +1

2

→ → → → 从而,OA·OB+λ PA·PB
9

=x1x2+y1y2+λ [x1x2+(y1-1)(y2-1)] =(1+λ )(1+k )x1x2+k(x1+x2)+1 = ?-2λ -4?k +?-2λ -1? λ -1 =- 2 -λ -2. 2 2k +1 2k +1 10 分
2 2

λ -1 所以,当 λ =1 时,- 2 -λ -2=-3. 2k +1 → → → → 此时,OA·OB+λ PA·PB=-3 为定值. 当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD.

→ → → → → → → → 此时,OA·OB+λ PA·PB=OC·OD+PC·PD=-2-1=-3. → → → → 故存在常数 λ =1,使得OA·OB+λ PA·PB为定值-3. 12 分

10


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