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7.导数与函数的单调性、极值、最值


年级 高三 审批:张晓冬 班级

学科 数学 类型: (理 B) 姓名

编制:蒋福庆 使用时间: 小组

审核: 高三数学组 编号: 7(1 张)

导数与函数的单调性、极值、最值
【使用说明及学法指导】 1.先仔细阅读教材必修一: P55-P108,再思考知识梳理所提问题, 有针对性的二次阅读教材, 构建知识体系,画出知识树; 2.独立、规范完成探究部分,并总结规律方法. 【学习目标】 1.从导数的定义和“以直代曲”的思想理解导数的意义,体会导数的工具作用; 2.理解导数和单调性的关系,掌握利用导数求单调性、极值、最值的方法步骤. 3.自主学习,合作交流,探究解决用导数求单调性、极值、最值问题的规律和方法。

课前预习
一.基础知识 1. 函数的单调性与导数

思考:f ′ (x)>0 在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上是增函数的什么条件?

2. 函数的极值与导数 (1)判断 f(x0)是极值的方法

思考:f ′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的什么条件? (2)求可导函数极值的步骤?

3.求可导函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:

二.预习自测 x2+a 1. 若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1
1

2. 函数 f(x)=x3+ax-2 在(1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是_______. 3. (高考)设函数 f(x)= A.x=

2 +lnx 则 x

( B.x=



1 为 f(x)的极大值点 2

1 为 f(x)的极小值点 2

C.x=2 为 f(x)的极大值点 4. (高考)函数 y= (A) ( ? 1,1]

D.x=2 为 f(x)的极小值点 )

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为( 2
(B) (0,1]

(C.)[1,+∞) (D) (0,+∞)

5 .函数 f(x) 的定义域为 R , f( - 1) = 2 ,对任意 x∈R , f′(x)>2 ,则 f(x)>2x + 4 的解集为 ( A.(-1,1) ) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)

课内探究
题型一 利用导数研究函数的单调性 例 1. 已知函数 f(x)=ex-ax-1. (1)求 f(x)的递增区间;(2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取 值范围,若不存在,说`明理由.

' 变式 1 (1) 【2015 高考 ,理 12】设函数 f ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 , ' 当 x ? 0 时, xf ( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是(



A. (??, ?1) ? (0,1)

B. (?1,0) ? (1, ??)
2

C. (??, ?1) ? (?1,0)

D. (0,1) ? (1, ??)

(2) 【2015 高考福建】已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间;

( x ? 1) 2 . 2

(Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1;

题型二

利用导数研究函数的极值

x2 ? k ln x ,k ? 0 . 例 2 【2015 高考北京】设函数 f ? x ? ? (I)求 f ? x ? 的单调区间和极值; 2
(II)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点.

?

?

ex 变式 2 设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点;(2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 3

3

题型三

利用导数求函数的最值

例 3 已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间;(2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值.

变式 3

【2015 高考重庆,理 20】 设函数 f ? x ? ?

3x 2 ? ax ?a ? R? ex

(1)若 f ? x ? 在 x ? 0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处 的切线方程; (2)若 f ? x ? 在 ?3, ?? ? 上为减函数,求 a 的取值范围。

?

?

课后训练
活页作业 导数与函数的单调性、极值、最值
4


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