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4.3 空间直角坐标系


必修二

第四章 圆与方程
4.3

空间直角坐标系

一、引入
在初中,我们学过数轴, 在初中,我们学过数轴,那么什么是 数轴?决定数轴的因素有哪些? 数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的 点怎么表示? 点怎么表示?
A x -1

0

1

2

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示。 数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示。

一、引入
在初中,我们学过平面直角坐标系, 在初中,我们学过平面直角坐标系,那 么如何建立平面直角坐标系? 么如何建立平面直角坐标系?决定的因素有 哪些?平面直角坐标系上的点怎么表示? 哪些?平面直角坐标系上的点怎么表示?
y

N

P

平面直角坐标系是由两条 原点重合、互相垂直的数轴 组成的。
x

0

M

平面直角坐标系上的点用 它对应的横纵坐标, 它对应的横纵坐标,即一 对有序实数对(x,y)表示。 对有序实数对(x,y)表示。

在空间,我们是否可以建立一个坐标系, 在空间,我们是否可以建立一个坐标系, 使空间中的任意一点都可用对应的有序实数 组表示出来呢? 组表示出来呢?

1. 空间直角坐标系
1.建立了一个空间直角坐标系 1.建立了一个空间直角坐标系 Oxyz.其中 Oxyz.其中 (1)点O叫做坐标原点; 坐标原点; 1 点 叫做坐标原点 z (2)x轴、y轴、z轴叫做坐标轴; 轴叫做坐标轴 坐标轴; 2x D` (3)以线段OA的长为单位长度. 以线段OA的长为单位长度 以线段OA的长为单位长度. 2.通过每两个坐标轴的平面 2.通过每两个坐标轴的平面 A` 坐标平面, 叫做坐标平面 分别称为: 叫做坐标平面,分别称为: xOy平面 yOz平面 zOx平面 平面、 平面、 平面. xOy平面、yOz平面、zOx平面. O 称这个坐标系为右手直角坐标 称这个坐标系为右手直角坐标 如无特别说明, 系.如无特别说明,本书建立 A 的坐标系都是右手直角坐标系. 的坐标系都是右手直角坐标系. (图1) ) x

C` B`

C B

y

2、空间直角坐标系的划分


z

zx 面


yz 面


xy 面
Ⅶ Ⅷ

?

O

y

Ⅰ Ⅵ

x


空间直角坐标系共有八个卦限

3.建立了空间直角坐标系以后, 3.建立了空间直角坐标系以后, 建立了空间直角坐标系以后 空间中任意一点M如何用坐标表示呢? 空间中任意一点M如何用坐标表示呢?
设B`为空间的一个定点,过B`分别作垂直于x轴、 B`为空间的一个定点, B`分别作垂直于x 为空间的一个定点 分别作垂直于 轴的平面,依次交x y轴、z轴的平面,依次交x轴、y轴、z轴于点

A,C,D`.
z ? 设点A,C,D`在x轴、 设点A,C,D`在 A,C,D` y轴、z轴上的坐标 分别为x 分别为x、y、z, B`就对应惟 ? 那么点B`就对应惟 那么点B` 一确定的有序实数 组(x,y,z). x
Z A` O X A B D` B` C Y C`

y

(图2 )

对于空间任意一点P, 对于空间任意一点 ,要求它的坐标

方法一:过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z 点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴,平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3,在其 平面与三个坐标轴的交点分别为P 相应轴上的坐标依次为x,y,z 那么(x,y,z)就叫做点P x,y,z, (x,y,z)就叫做点 相应轴上的坐标依次为x,y,z,那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标,简称为坐标,记作P(x,y,z) P(x,y,z), 空间直角坐标,简称为坐标,记作P(x,y,z),三个数值

z 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。 坐标、 坐标、 坐标。
z

?
1

P3

? P
1

x? 1 x P1

? o

y ?P 2

y

方法二:过P点作xOy面的垂线,垂足为 P0点。 点作xOy面的垂线, xOy面的垂线
在坐标系xOy中的坐标x xOy中的坐标 依次是P点的横坐标、 点 P0 在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、 纵坐标。再过P点作z轴的垂线, 纵坐标。再过P点作z轴的垂线,垂足 P1 在z轴上的坐 就是P点的竖坐标。 标z就是P点的竖坐标。

z

z P1 1

P

?
y 1 N

P点坐标为 (x,y,z)
y

x

1 M

? o

x

?P

0

4、特殊位置的点的坐标
z

一、坐标平面内的点

?
F

C

?
x

1
O

?
1

E

xoy平面上的点竖坐标为 平面上的点竖坐标为0 平面上的点竖坐标为 yoz平面上的点横坐标为 平面上的点横坐标为0 平面上的点横坐标为 xoz平面上的点纵坐标为 平面上的点纵坐标为0 平面上的点纵坐标为

?

?
D

B y

? A1

?

二、坐标轴上的点
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为 轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 轴上的点纵坐标和竖坐标都为 y轴上的点横坐标和竖坐标都为 轴上的点横坐标和竖坐标都为0 轴上的点横坐标和竖坐标都为 z轴上的点横坐标和纵坐标都为 轴上的点横坐标和纵坐标都为0 轴上的点横坐标和纵坐标都为

例1:如图

A C O 在 长 方 体 OABC - D ⅱ B ⅱ 中 , A =

3, C = 4, D ⅱ 2 , 写 出 D , C , A ⅱ B O O = , 四 点 的 坐 标.
D' z C' B' O C y x A B A'

D’ (0,0,2) C (0,4,0) A’ (3,0,2) B’ (3,4,2)

例2:结晶体的基本单位称为晶胞,如
图是食盐晶胞示意图(可看成是八个 棱长为1/2的小正方体堆积成的正方 体),其中红色点代表钠原子,黑点 代表氯原子,如图:建立空间直角坐 标系 O ? xyz 后, z 试写出全部钠原子 所在位置的坐标。

y x

1、在空间直角坐标系中描出下列 、

各点, 各点,并说明这些点的位置
A(0,1,1) B(0,0,2) C(0,2,0) ( ) ( ) ( ) D(1,0,3) E(2,2,0) F(1,0,0) ( ) ( ) ( )
z

D

? ?
1
O

B

?
?

A C

F

?1

1

?

y

?E
x

练习: 练习:在空间直角坐标系中作出下列各点
(1)、A(1,4,1); 、 ( ); (-1,-3,3) C ?
z

(2)、B(2,-2,-1); 、 ( ); (3)、C(-1,-3,3); 、 ( );

(-1,-3,0) C1 ? (2,-2,0) B1

1
O

?

1

? B?
x

1

? A(1,4,1) y ?
A1(1,4,0)

(2,-2,-1)

练习: 练习:
点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点,写出 M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点, 是空间直角坐标系Oxyz中的一点 满足下列条件的点的坐标. 满足下列条件的点的坐标. (1)与点 关于 轴对称的点 与点M关于 与点 关于x轴对称的点 (2)与点 关于 轴对称的点 与点M关于 与点 关于y轴对称的点 (3)与点 关于 轴对称的点 与点M关于 与点 关于z轴对称的点 (4)与点 关于原点对称的点 与点M关于原点对称的点 与点 (x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z) (-x,-y,-z)

(5)与点 关于 与点M关于 与点 关于xOy平面对称的点 (x,y,-z) 平面对称的点 (6)与点 关于 与点M关于 与点 关于xOz平面对称的点 (x,-y,z) 平面对称的点 (7)与点 关于 与点M关于 与点 关于yOz平面对称的点 (-x,y,z) 平面对称的点

小结

作业

P138.A1,2. P136.练习 1,2,3 练习 , ,

谢谢观赏



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