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2018-2019年高考数学(理)热点题型解析几何及答案

解析几何 热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型, 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点, 求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型. x2 y2 【例 1】(1)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线 a b 的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 相切,则双曲线的方程为( A. - =1 9 13 C. -y2=1 3 (2)若点 M(2,1),点 C 是椭圆 +|AC|的最小值为________. ) x2 x2 y2 B. x2 13 - =1 9 y2 D.x2- =1 3 y2 x2 16 + =1 的右焦点,点 A 是椭圆的动点,则|AM| 7 y2 x2 y2 (3)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与抛物线 y2=2px(p>0)有相同的焦点 F,P,Q a b x2 y2 是椭圆与抛物线的交点,若直线 PQ 经过焦点 F,则椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离 a b 心率为________. 答案 (1)D (2)8- 26 (3) 2-1 x2 y2 解析 (1)双曲线 2- 2=1 的一个焦点为 F(2,0), a b 则 a2+b2=4,① 双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2b = 3,② a2+b2 b a 由题意得 联立①②解得 b= 3,a=1, 1 所求双曲线的方程为 x - =1,选 D. 3 (2)设点 B 为椭圆的左焦点,点 M(2,1)在椭圆内,那么|BM|+|AM|+|AC|≥|AB| +|AC|=2a, 所以|AM|+|AC|≥2a-|BM|, 而 a=4, |BM|= (2+3)2+1= 26, 所以(|AM|+|AC|)最小=8- 26. 2 y2 ?p ? (3)因为抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 为? ,0?, 设椭圆另一焦点为 E.如图所示, ?2 ? p ?p ? 将 x= 代入抛物线方程得 y=±p, 又因为 PQ 经过焦点 F, 所以 P? ,p?且 PF⊥OF. 2 ?2 ? 所以|PE|= ?p p?2 ? + ? +p2= 2p, ?2 2? |PF|=p,|EF|=p. 故 2a= 2p+p,2c=p,e= 2c = 2-1. 2a 【类题通法】 (1)在椭圆和双曲线中,椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦 点的距离联系在一起,可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点 的距离, 也可以结合三角形的知识, 求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线 中,利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离,再利用数 形结合的思想去解决有关的最值问题. (2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数 之间的关系,或者求出圆锥曲线方程中的各个系数,再根据圆锥曲线的几何性质 2 通过代数方法进行计算得出结果. 【对点训练】 已知椭圆 + =1 的左、 右焦点分别为 F1, F2, 过 F1 且倾斜角为 45° 4 2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,以下结论:①△ABF2 的周长为 8;②原点到 l 的距 8 离为 1;③|AB|= .其中正确结论的个数为( 3 A.3 答案 A 解析 ①由椭圆的定义,得|AF1|+|AF2| =4, |BF1|+|BF2|=4 ,又|AF1|+|BF1| B.2 C.1 ) D.0 x2 y2 =|AB|,所以△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,故①正确;②由条件,得 F1(- 2,0),因为过 F1 且倾斜角为 45°的直线 l 的斜率为 1,所以直线 l 的方 程为 y=x+ 2, 则原点到 l 的距离 d= | 2| =1, 故②正确; ③设 A(x1, y1), B(x2, 2 4 2 ,所以 |AB| = 3 ?y=x+ 2, y ) ,由?x y 得 + =1, ?4 2 2 2 2 3x2 + 4 2 x = 0 ,解得 x1 = 0 , x2 =- 8 1+1·|x1-x2|= ,故③正确.故选 A. 3 热点二 圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆 锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题. x2 y2 2 【例 2】已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,点(2, 2)在 C 上. a b 2 (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中 点为 M,证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. a2-b2 2 4 2 (1)解 由题意有 = , 2+ 2=1, a 2 a b 3 解得 a2=8,b2=4. 所以 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)证明 设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0), x2 y2 A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将 y=kx+b 代入 + =1 得 8 4 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故 xM= x2 y2 x1+x2 2 = -2kb b ,yM=k·xM+b= 2 . 2 2k +1 2k +1 于是直线 OM 的斜率 kOM= =- 1 即 kOM·k=- . 2 yM xM 1 , 2k 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 【类题通法】解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤 第一步:研究特殊情形,从问题的特殊情形出发,得到目标关系所要探求的定点、 定值. 第二步:探究一般情况.探究一般情形下的目标结论. 第三步:下结论,综合上面两种情况定结论. 【对点训练】已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点 F(1,0),O 为坐标原点,A,B 是抛物线 C 上异于 O 的

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