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太原十二中高二月考理科数学试题 2013


17. (本小题满分 8 分)把一个长为 8 米、宽为 5 米的长方形铁皮的四角截去四个边长为 x 米的正 方形,然后折叠焊接做成一个无盖的长方体容器。 (1) 求容器的容积 V 关于 x 的函数解析式,并求出定义域; (2)当

x 的值是多少时,容积 V 最大?最大是多少?
定义域是(0,

? x?0 ? 17.解: (1) V=(8-2 x )(5-2 x ) x ,且 ?8 ? 2 x ? 0 ?5 ? 2 x ? 0 ?
(2)V= 4 x ? 26x ? 40x
3 2

5 )---- 2 分 2

V ? ? 12x 2 ? 52x ? 40 ------10 3
又 0<x<

4分

5 2 5 所以 V 在(0,1)上单调递增,在(1, )上单调递减,-------6 分 2
令 V’>0,得 x ? 1, 或x ? 所以 x=1 时,V 最大,=18m
3 3

答:当 x=1 米时,容积最大,最大为 18m

-----------8 分

18. (本小题满分 10 分)已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,长轴长为 4,离心率 e ? (1)求椭圆 E 的标准方程。

3 。 2

(2)已知点 A(0,1)和直线 l : y ? x ? m ,线段 AB 是椭圆 E 的一条弦,且被直线 l 垂直平分, 求 m 的值。. 18 解: (1)设椭圆方程为:

x2 y2 ? ? 1 ,则 2a=4, a2 b2
2 2

c 3 ? a 2

-------2 分

解得:a=2,c= 3 , b ? a ? c ? 1
2

所以 椭圆 E 的标准方程是

x2 ? y 2 ? 1 --- --4 分 4

(2) 由已知: AB⊥ l ,且 AB 中点 M 在 l 上。所以 AB:y=-x+1
2 代入椭圆方程化简得: 5 x ? 8 x ? 0 , x1 ? x2 ?

-----

5分

8 5

---- 7 分

又AB中点 M在 上, 所以 xM ?
代入 l 方程得: m ? ? 19.

4 1 , yM ? , ------9 分 5 5

3 5

---10 分

20(本题满分 10 分)设函数 f ( x) ? ( x ? 2)e
2

2x

(1)求 f(x)的单调区间。

(2)证明:f(x)≥-e

2

1

解: (1) f ' ( x) ? 2xe2 x ? ( x2 ? 2)e2 x ? 2 = (2 x 2 ? 2 x ? 4)e 2 x

-----2 分

令f ?( x) ? 0得:x ? -2 或x ? 1 令f ?(x) ? 0得: 2 ? x ? 1 所以 f(x) 的增区间是(- ?,2)和( , ?); 1? 减区间是(- 2,1 ? ? ? ?5分 )
(2)由(1) X>1 时,f(x)>f(1)=-e
2

?? ? ( ?) 21. 解.(1)设直线 l 的方程为 y kx 1 k 0 . ?
? y ? k ? x ? 1? , ? 由? 2 ? y ? 4 x, ?
22 x? 2 ? 2 0 2?xk . 可得 k ?k 4 ? ?

2 2? k 4 xy xy 设 A, 1,B , 2 ,则 x? 2 ? 2 ,xx ? . x ?1 ? ?2 ? 1 12 1 k ∴ y y2 ?? 4 1 1 ? 又 N?? , 0 ,|FN|=2
1 SA= M 2 y= 2 y=( 2 y 2= 4 1 x + N- 1 y 1 y y 1 - ) ( +2 8 x ) ?B N 2 1 = 1 2= 4+ 42 k

得 k=±1
y y 4 y 4 y 直线 NA , NB 的斜率 k? ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 N k A N B 2 2 (2)由(1)及 x 1x 1y 4y 4 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1

? y 4 2y ? ( 4? ? y1 4 4y4 4 4 y 2 ? 2 ? ????) 1 ? 2 ? ? ? ?4 y y y 0 ? 2 1 1 2 ? ? . 2 2 2 2 y 42 4 ?y ? ? y 42 4 ?y ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1

又当 l 垂直于 x 轴时,点 A , B 关于 x 轴对称,显然 k? ? N ? . k?N N k 0A k A N B , B 综上, k? ? N ? . k?N N k 0A k A N B , B

2

3


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