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四川省成都石室中学2015届高考模拟(二)数学(文)试题 Word版含答案


成都石室中学高 2015 届考前模拟数学试题(文科答案) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题) 1 、 已 知 集 合 A ? {x | x 2 ? 4, x ? R}, B ? {x | A. (0 , 2) B. [0 , 2]
3

x ? 4, x ? Z} , 则 A ? B ? (
D. {0 , 2}

C



C.

{0 , 1 , 2}

f (i ) 的虚部为( B) i A.-1 B.1 C.i D.0 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 3.在等腰 ?ABC 中, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2, BC ? 2 BD, AC ? 3 AE , ???? ??? ? 则 AD ? BE 的值为( A ) 4 1 1 4 A. ? B. ? C. D. 3 3 3 3
2.已知 f(x)=x -1,设 i 是虚数单位,则复数 4.已知等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 (A)2015 (B) ?2015
S S4 S2 ? ,则 2015 等于( a4 a2 S1

C



(C)1

(D) ?1 则

5. 某几何体的三视图如右图所示,且该几何体的体积是 正视图中的 x 的值是( C. C ) A.2

3 , 2 9 B. 2

3 2

D.3

6.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“ AB ? 2 ”的(A ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s , k 的值依次为 ( D ) (B)64,63 (C)63,32 (D)63,64

(A)32,63

8.如右图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E , F 分别是棱 BC, CC1 的中点, P 是侧面 BCC1 B1 内一点,若 A1P / / 平面 AEF , 则线段 A1 P 长度的取值范围是( A. [1, C )

5 ] 2

B. [

5 , 2] 2

C. [

3 2 5 , ] 4 2

D. [ 2, 3]

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 9.过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A, B ,记 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
?APB ? ? ,则当 ? 最小时 cos? 的值为( C
)

-1-

A.

95 10

B.

19 20

C.

9 10

D.

1 2

x 10.设 x ? R ,若函数 f ( x) 为单调递增函数,且对任意实数 x ,都有 f ? ? f ( x) ? 2 ? ? ? 3,

则 f (3) ? ( D )

A.1

B.3

C.6

D.9

二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题) 11. 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,若在平行四边形 ABCD 内部随机取一 个点 Q ,则点 Q 取自 ?ABE 内部的概率是 0.5 .

D
A

E

C
B

12. 已知角α 的顶点在坐原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,
?? ? 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 A? x , 4 ? , 则 s i n 2? ? = ? ? ? 0 ?
? 5?

?

2?

7 25

(用数值表示)

13.如图,为测量坡高 MN,选择 A 和另一个山坡的坡顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的 仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知坡高 BC=50 米,则坡高 MN= 75 米.

14.设 F 1 、 F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点, P 是双曲线右支上一点,满 a 2 b2
5 .

??? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? 足 OP ? OF2 ? PF2 ? 0( O 为坐标原点) ,且 3 PF1 ? 4 PF2 ,则双曲线的离心率为

?

?

15. 如果 y ? f ( x) 的定义域为 R , 对于定义域内的任意 x , 存在实数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函数具有“ P ( a ) 性质”. 给出下列命题: ①函数 y

? sin x 具有“ P(a) 性质” ;②若奇函数 y ? f ( x) 具有“ P (2) 性质” ,且 f (1) ? 1 ,

, 0) 成中心对称,且在 则 f (2015) ? 1 ;③若函数 y ? f ( x) 具有“ P (4) 性质” , 图象关于点 (1 (?1, 0) 上单调递减,则 y ? f ( x) 在 (?2, ?1) 上单调递减,在 (1, 2) 上单调递增;
④若不恒为零的函数 y ? f ( x) 同时具有“ P (0) 性质”和 “ P(3) 性质” ,且函数 y ? g ( x) 对

? 1 5? ?x1 ,x 2 ? ?? , ? , 都 有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 成 立 , 则 ?x1,x 2 ? R , 都 有 ? 2 2? (写出所有正确命题的编号). | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 成立。其中正确的是 ①③④

-2-

三、解答题 16.已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表,若抽取学生 n 人, 成绩分为 A (优秀) 、B(良好) 、 C(及格)三个等级, 设 x, y 分别表示语文成绩与数学成绩. 例 如:表中语文成绩为 B 等级的共有 20+18+4=42 人.已知 x 与 y 均为 B 等级的概率是 0.18.

(Ⅰ)求抽取的学生人数; (Ⅱ)设该样本中,语文成绩优秀率是 30%,求 a,b 值; (Ⅲ)已知 a ? 10, b ? 8 ,求语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少的概 率.

Ⅰ 【答案】 ? ? 100. ?Ⅱ? a=14,b=17. (Ⅲ) P( A)=
【解析】 试题分析: (Ⅰ)由题意可知

3 . 14

18 =0.18,得抽取的学生人数是 100 . n

7?9?a =0.3 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 n ? 100 , 100 ,得到 a=14 ,
由 7+9+a+20+18+4+5+6+b=100 ,得到 b=17 . (Ⅲ)设“语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少”为事件 A , (a,b) 由(Ⅱ)易知 a+b=31 ,且 a ? 10,b ? 8, 利用“列举法”知,满足条件的 共有 14 组, 其中满足 b ? 11 ? a ? 16 的有 3 组,故可得 P ( A)=

3 . 14
2

试题解析: (Ⅰ)由题意可知 分

18 =0.18,得 n ? 100 .故抽取的学生人数是 100 . n

7?9?a =0.3 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 n ? 100 , 100 ,故 a=14 ,

4分

而 7+9+a+20+18+4+5+6+b=100 ,故 b=17 . 6分 (Ⅲ)设“语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少”为事件 A ,

-3-

由(Ⅱ)易知 a+b=31 ,且 a ? 10,b ? 8, (a,b) 满足条件的 有
(10, 21),(11, 20),( 12,19),( 13,18) ( , 14,17) ( , 15,16) ( , 16,15) , (17,14) ( , 18,13) ( , 19,12),(20,11) ( , 21,10) ( , 22,9) ( , 23,8),

共有 14 组, 其中 b ? 11 ? a ? 16 的有 3 组, 则所求概率为 P ( A)=

10 分 12 分 13 分

3 . 14

考点:1.由个体估计总体;2.古典概型. 17.如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点,N 为 AC 中点. (Ⅰ) 求证: PC ? AD ; (Ⅱ) 在棱 PB 上是否存在一点 Q ,使得面 MNQ 平行面 PAD,若存在,指出点 Q 的位置并证明;P 若不存在,请说明理由; (Ⅲ) 求点 D 到平面 PAM 的距离. 解(Ⅰ)方法一:取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知 △ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD , 又 OC ? OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , 所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC , 所以 PC ? AD . ???4 分
P B A C M

D

方法二:连结 AC 、 AM ,依题意可知△ PAC ,△ PCD 均为边长为 2 正三角形, 又 M 为 PC 的中点,所以 AM ? PC , DM ? PC , 又 AM ? DM ? M , AM ? 平面 AMD , DM ? 平面 AMD , 所以 PC ? 平面 AMD , 又 AD ? 平面 AMD ,所以 PC ? AD . (Ⅱ)略 ???9 分
B Q

M A O C

D

???4 分

(Ⅲ)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD ,
即 PO 为三棱锥 P ? ACD 的体高. 在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? 6 , 在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ? 6 , 边 PC 上的高 AM ?

PA2 ? PM 2 ?

10 , 2
-4-

所以 ?PAC 的面积 S?PAC ?

1 1 10 15 , PC ? AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD? PAC ? VP? ACD 得

1 1 3 S ?PAC ? h ? S ?ACD ? PO ,又 S?ACD ? ? 22 ? 3 , 3 3 4
所以 ?

1 3

15 1 ?h ? ? 3? 3 , 2 3
2 15 2 15 , 所以点 D 到平面 PAM 的距离为 . 5 5
?
3
???13 分

解得 h ?

b、 c,B? B、 C 的对边分别为 a、 18、在 ?ABC 中,内角 A、



(1)若 b ? 3 , 2 sin A ? sin(A ? ) ,求 A 和 a, c ;
3

?

(2)若 sin A sin C ? ,且 ?ABC 的面积为 2 3 ,求 b 的大小.
18、 (1)∵ B ? ∵

1 2

?
3

, 2 sin A ? sin(A ?

?
3

) ∴ 2 sin A ? sin(A ? B) ? sin(? ? ( A ? B)) ? sin C

a c ? sin A sin C

∴ 2a ? c ????????????????????3 分

∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ∴ 9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 ∴ a ? 3 ??????5 分 ∴ c ? 2 3 ????????????????????????????6 分 或:∵ 2 sin A ? sin(A ? ∴

?
3

) ∴ 2 sin A ?

1 3 sin A ? cos A 2 2

?????????1 分

3 3 3 ? sin A ? cos A ? 0 ∴ sin(A ? ) ? 0 ????????????2 分 2 2 2 6

∵ 0? A?? ∵ B?

∴A?

?
6

? 0∴ A?

?
6

????????????????3 分

?
3

∴C ?

?
2

???????????????????????4 分

∵ b ? 3 ∴ 在直角 ?ABC 中, a ? 3 , c ? 2 3 ???????????6 分 (2)由正弦定理: ∴

a b c ? ? sin A sin B sin C

ac b 2 3 ? ∴ b 2 ? ac 1 3 2 2 4

ac b2 ? sin A sin C sin 2 B

??????????8 分

∵ S ?ABC ? 2 3 ∴

1 ac sin B ? 2 3 ∴ ac ? 8 ???????????11 分 2

-5-

∴ b2 =

3 ×8=12 2

∴ b =2 3

??????????????????13 分

19、 (本题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, 且a2 、a7 ? 3 、a8 成等比数列, 数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? an ? 1 (其中 a 为正常数) . (1)求 ?an ? 的前项和 Sn ; (2)已知 a2 ? N * , I n ? a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ,求 I n 19、解: (1)设 ?an ? 的公差是 d,则

? a2 a8 ? ? a7 ? 3?
? d ? 1或 d ?

2

? ?1 ? d ??1 ? 7 d ? ? ?1 ? 6d ? 3?
???????4 分

2

3 29

1 1 n ? n ? 1? ?1 ? n ? n ? 1? 2 2 3 1 3 3 55 ? n2 ? n 当d ? 时, S n ? n ? 1 ? n ? n ? 1? ? 29 2 29 58 58
当 d=1 时, S n ? n ?1 ? (2)? a2 ? N

?????6 分

? an ? n

当 n ? 1 时, b1 ? a ? 1 当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? a
n?1

? a ?1?
????8 分

?b1 ? a ?1 ? a1?1 ? a ?1?

?bn ? an?1 ? a ?1?? n ? N *?
?????9 分

当 a ? 1 时, bn ? 0 ? I n ? 0 当 a ? 1时

In ? 1? ? a ?1? ? 2a ? a ?1? ? 3a2 ? a ?1? ????? nan?1 ? a ?1? ?aIn ? a ? a ?1? ? 2a2 ? a ?1? ????? ? n ?1? an?1 ? a ?1? ? nan ? a ?1?

??1? a ? In ? ? a ?1? ? a ? a ?1? ????? an?1 ? a ?1? ? nan ? a ?1? ? an ?1? nan ? a ?1?
? I n ? na n ? an ?1 a ?1
???????11 分

-6-

?0 ? a ? 1? ? ? In ? ? an ?1 n na ? ? a ?1 ?

? a ? ? 0,1? ? ?1, ?? ??

???????12 分

20.已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴上,且抛物线上横坐标为 1 的点到 F 的距离为 2 ,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率; (Ⅲ)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的 对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小值. 解:(1)设抛物线方程为 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) , 由其定义知 AF ? 1 ?

y
A C M O B F

??? ?

??? ?

x

p ,又 AF ? 2 ,所以 p ? 2 , y 2 ? 4 x . 2
???3 分

(2)依题意 F (1, 0) ,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1 . 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 所以 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 因为 AF ? 2 FB ,所以 y1 ? ?2 y2 联立①、②,消去 y1 , y2 得 m ? ? 所以直线 AB 的斜率是 ?2 2 . (3)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点, 从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等,所以四边形 OACB 的面积等于 2S△AOB , ??????①???5 分 ??????②

??? ?

??? ?

2 . 4
???8 分

1 ? 2S△AOB ? 2 ? ? | OF | ? | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 4 1 ? m 2 . 2
所以 m ? 0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4 . ???13 分

-7-

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ?

1 2 , g ( x) ? ln x . (注: ?ln( x ? a)?? ? ) x?a x (1) a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值;
(2)已知 f ? x ? 在 ?e, ?? ? 上是单调函数,求 a 的取值范围; (3)已知 m, n, ? 满足 n ? ? ? m ? 0 ,且 g ' ?? ? ?
g ?n? ? g ?m? n?m

,试比较 ? 与 mn 的大小;

(1)略?????????4 分

(2)? f ? x ? ? ln ? x ? a ? ?

2 x

? f '? x? ?

1 2 x2 ? 2 x ? 2a ? 2? 2 x?a x x ? x ? a?

? f ? x ? 在 ?e, ?? ? 上单调

?x ? a ? 0 ?x ? a ? 0 或? 2 ?? 2 ? x ? 2 x ? 2a ? 0 ? x ? 2 x ? 2a ? 0
? a ? ?e ? a ? ?e ? ? ?? 或? 1 2 1 a ? x ? x ?a ? x 2 ? x ? ? 2 ? 2
1 1 ? 当 x ? e 时, x 2 ? x ? e 2 ? e 2 2 1 ??e ? a ? e 2 ? e 2
(2)? g ' ?? ? ?

?????????8 分

g ? n? ? g ? m? 1 ln n ? ln m ? ? n?m ? n?m
2

? x ?1? ? 0 1 2 1 设 h ? x ? ? 2 ln x ? x ? ? x ? 1? ,则 h ' ? x ? ? ? 1 ? 2 ? ? x x x x2
?h ? x ? ? h ?1? ? 0 , ? 当 x ? 1 时, 2 ln x ? x ?
令x?

1 x

n n n m ? ? ,得 2ln m m m n
n?m ? mn
即? ?

? ln n ? ln m ? 1 1 mn

ln n ? ln m 1 ? n?m mn

?

?

?

mn

???????14 分

-8-


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