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2014年北京市海淀区高三一模数学【文科】试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (文科) 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1. 5 ? 2?i A. 2 ? i B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i 2. 已知集合 A ? ??1,0,1 ?, B ? y y ? sin πx, x ? A ,则A A. {- 1} B. {0} C. ? ? B? D. ? {1} 3. 抛物线 y 2 ? 8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点有 A.0 个 B.1 个 C. 2 个 D. 4 个 4. 平面向量 a , b 满足 | a |? 2 , | b |? 1 ,且 a , b 的夹角为 60? ,则 a ? (a ? b) = A.1 B. 3 C.5 5. 函数 f ( x ) ? 2 x ? sin x 的部分图象可能是 y D. 7 y y y O x O x O x O x A B C D 6. 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 ? a2 , S3 成等差数列,则数列 ?an ? 的 公比为 A.1 B.2 C. 1 2 D.3 7. 已知 f ( x) = a x 和 g ( x) = b x 是指数函数,则“ f (2) > g (2) ”是“ a > b ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 1 相交且交点恰为线 x 段 AB 的中点, 则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点.那么曲线 G 关于曲线 M 的关联 点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4 8. 已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G : y ? ln x 上,若线段 AB 与曲线 M : y ? 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.双曲线 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,则 m ? __________. m 3 10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案,则所用时间最少的方案是 _______ 方案一: 方案二: 方案三: 11. 在 ?ABC 中, a = 3 , b = 5 , C = 120 ,则 sin A = ______, c = _______ . sin B 12. 某商场 2013 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模 型: ① f ( x) ? p ? q x , (q ? 0, q ? 1) ;② f ( x) ? log p ? q( p ? 0, p ? 1) ;③ f ( x) ? x2 ? px ? q . x 能较准确反映商场月销售额 f ( x ) 与月份 x 关系的函数模型为 3 3 _________ ( 填 写 相 应 函 数 的 序 号 ) ,若所选函数满足 f (1) ? 10, f (3) ? 2 ,则 f ( x) =_____________. 13.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 主视图 侧视图 4 6 8 __________. ? x ? y ? 2 ? 0, 14. 设 不 等 式 组 ? 表 示 的 区 域 为 ?1 , 不 等 式 ? x ? ay ? 2 ? 0 俯视图 x2 ? y 2 ? 1表示的平面区域为 ?2 . (1) 若 ?1 与 ? 2 有且只有一个公共点,则 a = ; . (2) 记 S (a ) 为 ?1 与 ? 2 公共部分的面积,则函数 S (a ) 的取值范围是 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过 程. 15.(本小题满分 13 分) π 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ) . 3 π (Ⅰ)求 f ( ) ; 6 π π (Ⅱ)求 f ( x) 在 [? , ] 上的取值范围. 2 2 16. (本小题满分 13 分) 某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况, 随机对 100 名出租车司机 进行调查.调查问卷共 10 道题,答题情况如下表: 答对题目数 女 男 ?0,8? 2 3 8 13 37 9 12 16 10 8 9 (Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于 9,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试 估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率; (Ⅱ)从答对题目数少于 8 的出租车司机中任选出两人做进一步的调查,求选出的两人中至 少有一名女出租车司机的概率. 17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90° ,D 为 AC 中点, AE ? BD 于 E (不同于点 D ) , 延长 AE 交 BC 于 F,将△ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥 A 1 ? BCD ,如图 2 所示. (Ⅰ)若 M 是 FC 的中点,求证:直线 DM //平面 A 1EF ; (Ⅱ)求证:BD⊥ A1F ; (Ⅲ)若平面 A 1 B 与直线 CD 能否垂直?并说明理由. 1 BD ? 平面 BCD ,试判断直线 A A D E B F C A1 E B F D M C 图 1 图 2 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? 1 时,求证: f ( x) ? kx ? 1 恒成立. 19. (本小题满分 14 分) 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2

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