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【新课标】2010高二下学期期末考试(数学理)


2010 学年度下学期

高二数学理期末测试
[新课标版 新课标版] 新课标版
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.复数

(1 + 3i ) 2 3i ? 1

的值是





A.2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ? 2 ( )

2. f ' ( x0 ) =0 是可导函数 f (x ) 在点 x = x 0 处取极值的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知(

2 x 20 ? ) 的展开式中,不含 x 的项是 ,那么正数 p 的值是 2 p 27 x
B.2 C.3 D.4





A. 1

5.如果 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a 6 的方差为 3,那么 2 (a1 ? 3) .2 (a 2 ? 3) . 2 ( a3 ? 3) .2 (a 4 ? 3) .2 ( a5 ? 3) .2 ( a 6 ? 3) 的方差是( A.0 B.3 C.6 D.12 ( C.星期四 D.星期日 ( D ) ) )

6.今天为星期四,则今天后的第 22006 天是 A.星期一 7.函数 y = B.星期二

2( x + a ) 的图象如右图所示,则 ( x + a)2 + b A. a ∈ (0,1), b ∈ (0,1) B. a ∈ (0,1), b ∈ (1, +∞)
C. a ∈ ( ?1, 0), b ∈ (1, +∞) D. a ∈ ( ?1, 0), b ∈ (0,1)

8.有一排 7 只发光二级管,每只二级管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有 3 只二级管点 亮,但相邻的两只二级管不能同时点亮,根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜 色来表示不同的信息,则这排二级管能表示的信息种数共有 ( )

A.10

B.48

C.60

D.80 ( )

9.设随机变量 ξ ~ N (0,1) ,记 Φ ( x ) = P (ξ < x ) ,则 P ( ?1 < ξ < 1) 等于 A. 2Φ (1) ? 1 C. B. 2Φ ( ?1) ? 1 D. Φ (1) + Φ ( ?1)

Φ (1) + Φ (?1) 2

10.把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里,如果数学必须比 历史先上,则不同的排法有 ( ) A.48 B.24 C.60 D.120 11. 口袋里放有大小相同的 2 个红球和 1 个白球, 放回的每次模取一个球, 有 定义数列 {a n }:

?? 1 第n次摸取红球 an = ? 如果 S n 为数列 {a n }的前 n 项之和,那么 S 7 = 3 的概率为 ? 1 第n次摸取白球
( A. )

224 729

B.

28 729

C.

35 2387

D.

28 75

12.有 A.B.C.D.E.F6 个集装箱,准备用甲.乙.丙三辆卡车运送,每台卡车一次运两 个.若卡车甲不能运 A 箱,卡车乙不能运 B 箱,此外无其它任何限制;要把这 6 个集装箱 分配给这 3 台卡车运送,则不同的分配方案的种数为 ( ) A.168 B.84 C.56 D.42

第Ⅱ卷(非选择题满分 90)
二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. (2x+ x )4 的展开式中 x3 的系数是 14.曲线 y = x 2 , x = 0, y = 1 ,所围成的图形的面积可用定积分表示为__________. 15.从 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第 n 个等式为_________. 16.已知函数 f ( x) = kx 3 ? 3( k + 1) x 2 ? k 2 + 1( k > 0) ,若 f (x) 的单调减区间是 (0,4) , 则在曲线 y = f (x) 的切线中,斜率最小的切线方程是_________________.

三、解答题 17. (12 分)求证: (1) a 2 + b 2 + 3 ≥ ab + 3(a + b) ;

(2) 6 + 7 >2 2 + 5 .

18. (12 分)已知(
3

4 1 3 n + x2) 展开式中的倒数第三项的系数为 45,求: x

(1)含 x 的项; (2)系数最大的项.

19. (本小题满分 12 分) 某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选 修甲的概率为 0.08,只选修甲和乙的概率是 0.12,至少选修一门的概率是 0.88,用 ξ 表示 该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (Ⅰ)记“函数 f ( x) = x 2 + ξx 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率; (Ⅱ)求 ξ 的分布列和数学期望.

20. (12 分)已知函数 f ( x) = x3 ? 3 x

(1)求函数 f ( x ) 在 [ ?3, ] 上的最大值和最小值 (2)过点 P (2, ?6) 作曲线 y = f ( x) 的切线,求此切线的方程

3 2

21. (12分)函数数列 { f n (x)} 满足: f 1 ( x) = (1)求 f 2 ( x), f 3 ( x) ;

x 1+ x2

( x > 0) , f n +1 ( x) = f1 [ f n ( x)]

(2)猜想 f n (x) 的表达式,并证明你的结论.

3 22. (14 分)已知 a 为实数,函数 f ( x) = ( x 2 + )( x + a) . 2

(I)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围; (II)若 f ′(?1) = 0 , (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (ⅱ) 证明对任意的 x1 , x2 ∈ ( ?1, 0) ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <
5 恒成立 16

参考答案

一、选择题 ABDCD A D DAC BD 二、填空题 13.24 14.

2 3
16. 12 x + y ? 8 = 0

15. 1 ? 4 + 9 ? 16 + L + ( ?1) n +1 ? n 2 = ( ?1) n +1 (1 + 2 + 3 + L + n) 三、解答题 17.证明: (1) Ⅰ a 2 + b 2 ≥ 2ab , a 2 + 3 ≥ 2 3a , b2 + 3 ≥ 2 3b 将此三式相加得:2 (a 2 + b 2 + 3) ≥ 2ab + 2 3a + 2 3b , ∴ a 2 + b 2 + 3 ≥ ab + 3(a + b) . ;

(2)要证原不等式成立,只需证( 6 + 7 ) >(2 2 + 5 ) , 即证 2 42 > 2 40 .Ⅰ上式显然成立, ∴原不等式成立.
n 2 18.解: (1)由题设知 Cn ? 2 = 45, 即Cn = 45,∴ n = 10.

2

2

r r Tr +1 = C10 ( x 4 )10 ? r ? ( x 3 ) r = C10 x 4 = C10 x3 = 210 x 3 .

?

1

2

11r ? 30 12

,令

11r ? 30 6 = 3, 得r = 6, 含x3的项为T7 = C10 x3 12
55 ?30 12 25

(2)系数最大的项为中间项,即 T6 = C10 x
5

= 252 x 12 .

19.解:设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x、y、z

? x(1 ? y )(1 ? z ) = 0.08, ? x = 0.4 ? ? 依题意得 ? xy (1 ? z ) = 0.12, 解得? y = 0.6 ?1 ? (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z ) = 0.88, ? z = 0.5 ? ?
(I)若函数 f ( x ) = x 2 + ξx 为 R 上的偶函数,则 ξ =0 当 ξ =0 时,表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.

∴ P ( A) = P (ξ = 0) = xyz + (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z )
=0.4×0.5×0.6+(1-0.4) (1-0.5) (1-0.6)=0.24 ∴事件 A 的概率为 0.24 (II)依题意知 ξ =0.2 则 ξ 的分布列为

ξ

0

2

P

0.24

0.76

∴ ξ 的数学期望为 E ξ =0×0.24+2×0.76=1.52 20.解: (1) f '( x ) = 3( x + 1)( x ? 1) 当 x ∈ [ ?3, ?1) 或 x ∈ (1, ] 时, f '( x ) > 0 ,∴[ ?3, ?1],[1, ] 为函数 f ( x ) 的单调增区间 当 x ∈ ( ?1,1) 时, f '( x ) < 0 ,∴[ ?1,1] 为函数 f ( x ) 的单调减区间 又 f ( ?3) = ?18, f (?1) = 2, f (1) = ?2, f ( ) = ? 当 x = ?1 时, f ( x) max = 2 (2)设切点为 Q ( xo , xo ? 3 xo ) ,则所求切线方程为 y ? ( xo ? 3 xo ) = 3( xo ? 1)( x ? xo )
3 3 2

3 2

3 2

3 2

9 ,∴ 当 x = ?3 时, f ( x) min = ?18 8

由于切线过点 P (2, ?6) ,∴?6 ? ( xo ? 3 xo ) = 3( xo ? 1)(2 ? xo ) ,解得 xo = 0 或 xo = 3
3 2

所以切线方程为 3 x + y = 0 或 24 x ? y ? 54 = 0 21.解: (1) f 2 ( x ) = f 1 ( f 1 ( x )) =

f1 ( x) 1 + f ( x)
2 1

=

x 1 + 2x 2 x 1 + 3x 2

f 3 ( x) = f 1 ( f 2 ( x)) =

f 2 ( x) 1 + f ( x)
2 2

=

(2)猜想: f n ( x) =

x 1 + nx
2

(n ∈ N ? )

下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, f 1 ( x) =

x 1+ x2

,已知,显然成立

①假设当 n = K ( K ∈ N ? ) 时 ,猜想成立,即 f k ( x) = 则当 n = K + 1 时,

x 1 + kx 2

x f k +1 ( x) = f1 ( f k ( x)) = f k ( x) 1 + f k2 ( x) = x 1 + kx 2 = x 1 + (k + 1) x 2 1+ ( )2 1 + kx 2

即对 n = K + 1 时,猜想也成立.

由①①可得 f n ( x) =

x 1 + nx
2

(n ∈ N ? ) 成立

22.解: 解:(Ⅰ) Ⅰ f ( x) = x3 + ax 2 +

3 3 3 x + a ,∴ f ′( x) = 3 x 2 + 2ax + . 2 2 2 ′( x) = 0 有实数解. Ⅰ函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴ f

∴ D = 4a 2 ? 4 × 3 ×

3 ≥ 0 ,…………………4 分 2

∴ a2 ≥

9 . 2

因此,所求实数 a 的取值范围是 (?∞, ?

3 2 3 2 )U( , + ∞) . 2 2 3 9 (Ⅱ) (Ⅱ)Ⅰ f ′(?1) = 0 ,∴ 3 ? 2a + = 0 ,即 a = . 2 4

∴ f ′( x) = 3x 2 + 2ax +

3 1 = 3( x + )( x + 1) . 2 2
1 由 f ′( x) < 0 ,得 ?1 < x < ? . 2

1 由 f ′( x) > 0 ,得 x < ?1 或 x > ? ; 2

1 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (?∞, ? 1] , [? , + ∞) ; 2 1 单调减区间为 [?1, ? ] . 2 (ⅱ)由(Ⅱ)的结论可知, 1 25 1 49 f ( x) 在 [?1, ? ] 上的最大值为 f (?1) = ,最小值为 f (? ) = ; 2 8 2 16 1 27 1 49 f ( x) 在 [? , 0] 上的的最大值为 f (0) = ,最小值为 f (? ) = . 2 8 2 16

∴ f ( x) 在 [?1, 0] 上的的最大值为 f (0) =

27 1 49 ,最小值为 f (? ) = . 8 2 16

因此,任意的 x1 , x2 ∈ ( ?1, 0) ,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <

27 49 5 ? = . 8 16 16


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