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2014肇庆一模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】


肇庆市中小学教学质量评估 2014 届高中毕业班第一次模拟考试 数
参考公式:方差 s ?
2

学(文科)

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] ,其中 x 表示这组数据的平均数. n


一、选择题: 1.若全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 M ? {1,3,5} , N ? {3, 4,5} ,则 CU ( M ? N ) ? ( A.{2} 2.函数 f ( x) ? A. (1, 2] B.{1,2} C.{1,2,4} D.{1,3,4,5} ) D. [2, ??) )

4 ? x 2 ? log2 ( x ? 1) 的定义域是(
B. [1, 2] C. (1, ??)

3.设 i 为虚数单位,则复数 z ?

3 ? 4i 在复平面内所对应的点位于( i

A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 4.下列函数中,在区间 (??, 0) 上为减函数的是( ) A. f ( x) ? 2x B. f ( x) ?| x ? 1| C. f ( x) ? cos x

D.第一象限 D. f ( x ) ? x ? ) )
3

1 x

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值是( A. 2 B. 6 C. 24 D. 120 6.某几何体的三视图如图 2 所示(单位:cm),则该几何体的体积是( A.

50 cm 3 3

B. 50 cm

3

C.

25 cm 3 3

D. 25 cm

7.已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切,则圆 C 的方程是( A. ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

) B. ( x ? 1) ? y ? 8
2 2

C. ( x ?1) ? y ? 2
2 2

D. ( x ?1) ? y ? 8
2 2

8.在锐角 ?ABC 中,AB=3,AC=4,其面积 S?ABC ? 3 3 ,则 BC=( A. 5 B. 13 或 37 C. 37
x



D. 13 ) C. 1 是 f ( x ) 的极大值点 D. ?1是 f ( x ) 的极大值点

9.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? xe ,则( A. 1 是 f ( x ) 的极小值点 B. ?1是 f ( x ) 的极小值点

10.设向量 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,定义一种向量积: a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) .已知向量

? ? OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点),则 y ? f ( x) 在区间 [ , ] 上的最大值是( 6 3
A. 2 2 B. 2 3 C. 2
1

1 ? m ? ( ,4) , n ? ( ,0) ,点 P 在 y ? cos x 的图象上运动,点 Q 在 y ? f ( x) 的图象上运动,且满足 2 6


D. 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知 {an } 是递增的等差数列, a1 ? 2 , Sn 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a6 成等比数列,则 S5 ? . .

3 2 1 x ? x ? 的某一切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,则切线方程为 2 2 ? x ? y ? 1, ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 3 ,若 z ? kx ? y 的最大值为 5 ,则实数 k ? ?x ? y ? 1 ?
12.若曲线 y ?

.

(二)选做题(14~15 题) 14.(坐标系与参数方程选做题)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos t (其中 t 为参数,且 0 ? t ? 2? ), ? y ? 2(1 ? sin t )

则曲线 C 的极坐标方程为 . ? ABC 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,在 中, ?BAC ? 90? , AD ? BC , DE ? AE , D 、 E 为垂足,若 AE=4,BE=1,则 AC= . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且角 A、B 都是锐角, a ? 6 , b ? 5 ,

sin B ?

? 1 .(1)求 sin A 和 cos C 的值;(2)设函数 f ( x) ? sin(x ? 2 A) ,求 f ( ) 的值. 2 2

17.(本小题满分 13 分)已知某山区小学有 100 名四年级学生,将全体四年级学生随机按 00~99 编号,并且按 编号顺序平均分成 10 组.现要从中抽取 10 名学生,各组内抽取的编号按依次增加 10 进行系统抽样. (1)若抽出的一个号码为 22,则此号码所在的组数是多少?据此写出所有被抽出学生的号码; (2)分别统计这 10 名学生的数学成绩,获得成绩数据的茎叶图如图 4 所示,求该样本的方差; (3)在(2)的条件下,从这 10 名学生中随机抽取两名成绩不低于 73 分的学生,求被抽取到的两名学生的成绩 之和不小于 154 分的概率.

2

18.(本小题满分 13 分)如图 5,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,点 V 是圆 O 所在平面外一点, D 是 AC 的中点,已知 AB ? 2 , VA ? VB ? VC ? 2 . (1)求证:OD//平面 VBC;(2)求证:AC⊥ 平面 VOD;(3)求棱锥 C ? ABV 的体积.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 对一切正整数 n , 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x
2

的图象上. (3)若 bn ?

(1)求 a1 , a2 ;

(2)求数列 {an } 的通项公式;

1 a n a n ?1 a n ? 2

,求证数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?

1 . 60

3

20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两圆 C1 与 C2 的圆心的距离之和等于 4,其中 C1:

x 2 ? y 2 ? 2 3 y ? 2 ? 0 ,C2: x 2 ? y 2 ? 2 3 y ? 3 ? 0 . 设点 P 的轨迹为 C .(1)求 C 的方程;
(2)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.问 k 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是多少?

21.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) . 3 2

(1)若函数 f ( x) 在区间 ? ?2,0 ? 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在区间 ?t, t ? 3? 上的最大值.

4

肇庆市 2014 届高中毕业班第一次模拟考试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 B 5 C 6 D 7 A 8 D 9 B 10 D 15.10

二、填空题:11.70

12. y ? 4 x ? 2

13. k ? ?1 或 k ?

1 2

14. ? ? 4 sin ?

三、解答题 16.(本小题满分 12 分)] 解:(1)由正弦定理

a b a sin B 3 ? ? . ,得 sin A ? sin A sin B b 5
2

(3 分)

∵ A、B 是锐角,∴cos A ? 1 ? sin A ?

4 3 2 , (4 分) cos B ? 1 ? sin B ? , 5 2
(6 分)

(5 分)

由 C ? ? ? ( A ? B) ,得 cos C ? cos[? ? ( A ? B)] ? ?cos( A ? B) (7 分) ? ? ?

? ? cos A cos B ? sin A sin B

4 5

3 3 1 3?4 3 ? ? ? 2 5 2 10

(8 分)

(2)由(1)知 cos A ?
2

4 ?? ? ?? ? 2 ,∴ f ? ? ? sin ? ? 2 A ? ? cos 2 A ? 2cos A ? 1 5 ?2? ?2 ?
(12 分)

(11 分)

7 ?4? ? 2 ? ? ? ?1 ? 25 ?5?

17.(本小题满分 13 分) 解:(1)由题意,得抽出号码为 22 的组数为 3. (2 分) 因为 2+10× (3-1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 02,抽出的 10 名学生的号码依次分别为:02, 12, 22, 32, 42,52,62,72,82,92. (4 分) (2)这 10 名学生的平均成绩为: x ? 故样本方差为: s ?
2

1 × (81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71, 10

(6 分)

1 ? (102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52. (8 分) 10

(3)从这 10 名学生中随机抽取两名成绩不低于 73 分的学生,共有如下 10 种不同的取法:(73,76),(73, 78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81). (10 分),其中成绩之和不小于 154 分的有如下 7 种:(73,81),(76,78),(76,79),(76,8 1), (78,79),(78,81),(79,81). (12 分) 故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于 154 分的概率为: p ? 18.(本小题满分 13 分) 证明:(1)∵O、D 分别是 AB 和 AC 的中点,∴ OD//BC . 又 OD ? 面 VBC, BC ? 面 VBC,∴ OD//平面 VBC. (2)∵ VA=VB,O 为 AB 中点,∴VO ? AB . 连接 OC ,在 ?VOA 和 ?VOC 中, OA ? OC ,VO ? VO,VA ? VC , ∴?VOA ≌ ?VOC ,∴?VOA =?VOC=90?, ∴VO ? OC . (5 分) AB ? OC AB OC ? O ∵ , 平面 ABC, ? 平面 ABC, ∴VO⊥平面 ABC. (6 分) ∵ AC ? 平面 ABC,∴AC ? VO .
5

7 10

(13 分) (1 分) (3 分) (4 分)

(7 分)

又∵VA ? VC , D 是 AC 的中点,∴AC ? VD . ∵ VO?平面 VOD,VD?平面 VOD, VO VD ? V ,∴AC ? 平面 DOV.

(8 分) (9 分)

(3)由(2)知 VO 是棱锥 V ? ABC 的高,且 VO ? VA2 ? AO2 ? 3 . (10 分) 又∵ 点 C 是弧的中点,∴CO ? AB ,且 CO ? 1, AB ? 2 , ∴ 三角形 ABC 的 面积 S ?ABC ?

1 1 AB ? CO ? ? 2 ?1 ? 1 , 2 2

(11 分)

∴ 棱锥 V ? ABC 的体积为 VV ? ABC ?

1 1 3 , S?ABC ?VO ? ?1? 3 ? 3 3 3

(12 分)

故棱锥 C ? ABV 的体积为

3 . 3

(13 分)

19.(本小题满分 14 分) 解:(1)∵ 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图象上,∴Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) , ∴a1 ? S1 ? 3 , (2 分),又 a1 ? a2 ? S2 ? 22 ? 2 ? 2 ? 8 ,∴a2 ? 5 . (4 分) (6 分) (1 分)

(2)由(1)知, Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1. 由(1)知, a1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 1满足上式, (3)由(2)得 bn ?

(7 分)所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (8 分) (11 分)

1 1 1 1 ? [ ? ] (2n ? 1)(2n ? 3)(2n ? 5) 4 (2n ? 1)(2n ? 3) (2n ? 3)(2n ? 5)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ] (12 分) Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [ 4 3? 5 5? 7 5? 7 7 ? 9 (2n ? 1)(2n ? 3) (2n ? 3)(2n ? 5) 1 1 1 ? [ ? ] 4 3 ? 5 (2n ? 3)(2n ? 5)
20.(本小题满分 14 分) 解:(1)由已知得两圆的圆心坐标分别为 C1 (0, 3), C2 (0, ? 3) . (1 分) (13 分) ?

1 1 1 ? ? . 60 4(2n ? 3)(2n ? 5) 60

(14 分)

设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,长半轴长为 2 的椭圆. (2 分) 它的短半轴长 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

(3 分)故曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 4

(4 分)

? 2 y2 ? 1, ?x ? 2 2 (2)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? ,消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,(5 分) 4 ? y ? kx ? 1. ?
2 2 2 ∵k ? 4 ? 0 , ? ? 4k ? 12(k ? 4) ? 16(k ? 3) ? 0 ,∴x1,2 ?
2

?2k ? ? , 2(k 2 ? 4)

6

故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 .(6 分)又 y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 (7 分) k ?4 k ?4
2

于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

1 3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 0 ,得 k ? ? . (9 分) ? ? ? 1 ? . ( 8 分)令 2 2 2 2 2 2 k ?4 k ?4 k ?4 k ?4 k ?4 1 时,有 OA ? OB ? 0 ,即 OA ? OB . 2
(11 分 ) (12 分) (10 分)

因为 OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ,所以当 k ? ? 当k ? ?

1 4 12 时, x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? . 2 17 17

AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,
而 ( x2 ? x1 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? 4 x1 x2 ?

42 12 43 ?13 ? 4 ? ? , 17 2 17 17 2

(13 分)

所以 AB ?

4 65 . 17

(14 分)

21.(本小题满分 14 分) 解:(1)∵ f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) ∴ f ?( x) ? x 2 ? ?1 ? a ? x ? a ? ( x ? 1)( x ? a ) , (1 分) 3 2 ,

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? a ? 0 (2 分),当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)

?1

(?1, a)

a

(a, ??)

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


f ( x)

故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间为(-1,a);(4 分) 因此 f ( x) 在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数 f ( x) 在区间 (?2, 0) 内恰有两

? f ( ?2 ) ? 0 1 1 ? 个零点,当且仅当 ? f ( ?1) ? 0 ,(5 分),解得 0 ? a ? , 所以 a 的取值范围是(0, ). (6 分) 3 3 ? f ( 0) ? 0 ?
1 3 x ? x ? 1 . 由(1)可知,函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单 3 1 调递减区间为(-1,1); f ( x ) 极大值 ? f ( ?1) ? ? . (7 分) 3
(2)当 a=1 时, f ( x) ? ① 当 t+3<-1,即 t<-4 时,因为 f ( x) 在区间[t,t+3]上单调递增,所以 f ( x) 在区间[t,t+3]上的最大值为

1 1 f ( x) max ? f (t ? 3) ? (t ? 3) 3 ? (t ? 3) ? 1 ? t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 ; 3 3 ② 当 ? 1 ? t ? 3 ? 2 ,即 ? 4 ? t ? ?1 时,

(9 分)

因为 f ( x) 在区间 ?? ?,?1?上单调递增,在区 间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增, 且 f ( 2) ? f ( ?1) ? ? ,所以 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值为 f ( 2) ? f ( ?1) ? ?

1 3

1 . (10 分) 3

7

由 ? 1 ? t ? 3 ? 2 ,即 ? 4 ? t ? ?1 时,有[t,t+3]?

?? ?,2? ,-1?[t,t+3],
1 ; 3
(11 分)

所以 f ( x) 在 [t , t ? 3] 上的最大值为 f ( x) max ? f (?1) ? ?

③当 t+3>2,即 t>-1 时,由② 得 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值 为 f ( 2) ? f ( ?1) ? ? 因为 f ( x) 在区间(1,+∞)上单调递增,所以 f (t ? 3) ? f (2) , 故 f ( x) 在 ?t, t ? 3? 上的最大值为 f ( x) max ? f (t ? 3) ?

1 . 3

1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5 . 3

(13 分)

综上所述,当 a=1 时, f ( x) 在[t,t+3]上的最大值 f ( x) max

?1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5(t ? ?4或t ? ?1) ? ?3 ?? . (14 分) ?? 1 (?4 ? t ? ?1) ? ? 3

8


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