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2015-2016学年高中数学 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用课件 新人教A版选修1-2


1.2
独立 性检 验的 基本 思想 及其 初步 应用

1 理解教 材新知

知识点一

知识点二 题型一 题型二

第 一 章

2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验

随堂即时演练 课时达标检测

1.2

独立性检验的有关概念 [导入新知]

1.分类变量
不同类别 变量的不同“值”表示个体所属的 样的变量称为分类变量. ,像这

2.2×2 列联表 假设有两个分类变量 X 和 Y, 它们的取值分别为{x1, x2} 和{y1,y2},其样本频数列联表(也称 2×2 列联表)为:
y1 x1 x2 a c y2 b d
b+d a+b c+d a+b+c+d

总计

总计 a+c

3.等高条形图 将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来, 其中两列的数据分别对应不同的颜色,这就是等高条形 图.
4.K2 统计量 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,我们构造一 n?ad-bc?2 个随机变量 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? , 其中 n= a+b+c+d为 样本容量. 5.独立性检验 利用随机变量 K2 来确定是否能以给定把握认为“两个分类 变量有关系” 的方法,称为两个分类变量独立性检验.

[化解疑难] 反证法原理与独立性检验原理的比较 反证法原理——在假设 H0 下,如果推出一个矛盾,就证明 了 H0 不成立. 独立性检验原理——在假设 H0 下,如果出现一个与 H0 相 矛盾的小概率事件,就推断 H0 不成立,且该推断犯错误的概率 不超过小概率.

独立性检验的步骤
[导入新知] 独立性检验的具体做法 (1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有 关系”犯错误概率的上界 α,然后查下表确定临界值 k0.
P(K2≥k0) k0 P(K2≥k0) k0 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 0.15 0.10 2.706 1.323 2.072

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 0.005

0.001

6.635 7.879 10.828

2 n ? ad - bc ? (2)利用公式 K2= , 计算随机变量 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

K2 的观测值 k. (3)如果 k≥k0,就推断“X 与 Y 有关系”,这种推断犯错 误的概率不超过 α;否则,就认为在犯错误的概率不超过 α 的 前提下不能推断“X 与 Y 有关系 ”,或者在样本数据中没有 发现足够证据支持结论“X 与 Y 有关系 ”.

[化解疑难]
详析独立性检验 (1)通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间有 关系,属于直观判断,不足之处是不能给出推断“两个分类变 量有关系”犯错误的概率,而独立性检验可以弥补这个不足.

(2)列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,具有
随机性,因此,需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大 程度上适用于总体.

列联表和等高条形图的应用 [例1] 某学校对高三学生作了一项调查,发现:在平

时的模拟考试中,性格内向的学生426人中有332人在考前 心情紧张,性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧

张.作出等高条形图,利用图形判断考前心情紧张与性格
类别是否有关系.

[解 ]

作列联表如下: 性格内向 332 94 426 性格外向 213 381 594 总计 545 475 1 020

考前心情紧张 考前心情不紧张 总计

相应的等高条形图如图所示:

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性 格内向的比例.从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向 占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高,可 以认为考前紧张与性格类型有关.

[类题通法] 细解等高条形图 (1)绘制等高条形图时,列联表的行对应的是高度,两行的数 据不相等,但对应的条形图的高度是相同的;两列的数据对应不 同的颜色. (2)等高条形图中有两个高度相同的矩形,每一个矩形中都有 两种颜色,观察下方颜色区域的高度,如果两个高度相差比较明
? ? a c ? ? 显?即a+b和c+d相差很大?,就判断两个分类变量之间有关系. ? ?

[活学活用]
为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系,调查了一千多名青 少年及其家长,数据如下: 父母吸烟 子女吸烟 子女不吸烟 237 678 父母不吸烟 83 522 总计 320 1 200

总计

915

605

1 520

利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响?

解:等高条形图如下:

由图形观察可以看出子女吸烟者中父母吸烟的比例要比子女 不吸烟者中父母吸烟的比例高,因此可以在某种程度上认为 “子女吸烟与父母吸烟有关系”.

独立性检验的原理 [例2] 打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患某种疾病

有关.下表是一次调查所得的数据: 患心脏病 30 24 54 未患心脏病 224 1 355 1 579 总计 254 1 379 1 633

每晚都打鼾 不打鼾 总计

根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超 过0.001的前提下认为每晚都打鼾与患心脏病有关系?

[解]

由列联表中的数据,得 K2 的观测值为

1 633×?30×1 355-224×24?2 k= 254×1 379×54×1 579 ≈68.033>10.828. 因此,在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为每 晚都打鼾与患心脏病有关系.

[类题通法] 解决独立性检验问题的思路 解决一般的独立性检验问题, 首先由题目所给的 2×2 列联表确定 a,b,c,d,n 的值,然后代入随机变量 K2 的计算公式求出观测值 k,将 k 与临界值 k0 进行对比,确 定有多大的把握认为“两个分类变量有关系”.

[活学活用]

某生产线上,质量监督员甲在生产现场时,990件产品中有合
格品982件,次品8件;不在生产现场时,510件产品中有合格 品493件,次品17件.能否在犯错误的概率不超过0.001的前提 下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系? 解:根据题目所给数据得如下2×2列联表: 合格品 982 次品 8 总计 990

甲在生产现场

甲不在生产现场 总计

493 1 475

17 25

510 1 500

由列联表中的数据,得 K2 的观测值为 1 500×?982×17-8×493?2 k= ≈13.097>10.828. 990×510×1 475×25 因此,在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为 质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系.

1.独立性检验与统计的综合应用

[典例]

(12分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参

加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培

训(称为B类工人).现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)
从该工厂的工人中抽取100名工人,调查他们的生产能力(此 处生产能力指一天加工的零件数),结果如下表.

表1:A类工人生产能力的频数分布表 生产能力

分组
人数

[110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 8 x 3 2

表2:B类工人生产能力的频数分布表 生产能力 分组 人数 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 6 y 27 18

(1)确定x,y的值;
(2)完成下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不 超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系?

生产能力分组
[110,130) 工人类别 A类工人 B类工人 总计 [130,150) 总计

2 n ? ad - bc ? 附:K2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(K2≥k0) 0.050 0.010 k0

0.001

3.841 6.635 10.828

[解题流程]

[规范解答] (1)∵从该工厂的工人中抽取100名工

[名师批注] 要确定x,y的值, 应先确定A类工人 及B类工人中应各 抽取多少人,此处

人,且该工厂中有250名A类工人,750名
B类工人, ∴要从A类工人中抽取25名,从B类 工人中抽取75名,(2分) ∴x=25-8-3-2=12,y=75-6-

易误认为x=25,y
=75,从而导致解 题错误

27-18=24.(4分)

(2)根据所给的数据可以完成列联表,如下表所示: 生产能力 分组 工人类别 A类工人 B类工人 总计

[110,130) 20 30 50

[130,150) 5 45 50

总计 25 75 100 (6分)

由列联表中的数据,得 K2 的观测 值为 100×?20×45-5×30?2 k= = 12 > 25×75×50×50 10.828.(10 分) 因此,在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为工人的生产能力 与工人的类别有关系.(12 分)
此处易犯错误有两 点:①计算失误; ②将公式中的数据

搞错.

[活学活用]
电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根 据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布 直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”, 已知“体育迷”中有10名女性.

根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为
“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 总计 体育迷 总计

附:
P(K2≥k0) k0 0.05 3.841 0.01 6.635

解:由频率分布直方图可知,在抽取的100名观众中,“体

育迷”有25名,“非体育迷”有75名,又已知100名观众
中女性有55名,女“体育迷”有10名,所以男性有45名, 男“体育迷”有15名,从而可完成2×2列联表,如下表:

男 女 总计

非体育迷 30 45 75

体育迷 15 10 25

总计 45 55 100

由 2×2 列联表中的数据,得 K2 的观测值为 100×?30×10-15×45?2 k= ≈3.030. 45×55×75×25 因为 3.030<3.841,所以没有充分的证据表明“体育迷” 与性别有关.

[随堂即时演练]

1.观察下列各图,其中两个分类变量x,y之间关系最强的是

(

)

解析:在四幅图中,D图中两个深色条的高相差最明显,说明 两个分类变量之间关系最强,故选D. 答案:D

2.下面是一个2×2列联表:
x1 x2 总计 y1 a 2 b y2 21 25 46 总计 73 27

则表中a,b处的值分别为( ) A.94,96 B.52,50 C.52,54 D.54,52
? ?a+21=73, 解析: 由? ? ?a+2=b, ? ?a=52, 得? ? ?b=54.

答案:C

3.独立性检验所采用的思路是:要研究A,B两类型变量

彼此相关,首先假设这两类变量彼此________.在此假
设下构造随机变量K2,如果K2的观测值较大,那么在

一定程度上说明假设________.
答案:无关 不成立

4.在吸烟与患肺病是否相关的判断中,有下面的说法: ①若K2的观测值k>6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的 前提下,认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人 中必有99人患有肺病; ②从独立性检验可知,在犯错误的概率不超过0.01的前提

下,认为吸烟与患肺病有关系时,若某人吸烟,则他有
99%的可能患有肺病; ③从独立性检验可知,在犯错误的概率不超过0.05的前提

下,认为吸烟与患肺病有关系时,是指有5%的可能性使得
推断错误. 其中说法正确的是________.

解析:K2 是检验吸烟与患肺病相关程度的量,是相关关 系,而不是确定关系,是反映有关和无关的概率,故说 法①不正确;说法②中对“确定容许推断犯错误概率的 上界”理解错误;说法③正确.
答案:③

5.在一次天气恶劣的飞机航程中,调查了男女乘客在飞机 上晕机的情况:男乘客晕机的有24人,不晕机的有31人; 女乘客晕机的有8人,不晕机的有26人.能否在犯错误的 概率不超过0.10的前提下推断:在天气恶劣的飞机航程 中,男乘客比女乘客更容易晕机? 解:由已知条件得出下列2×2列联表: 晕机 24 不晕机 31 总计 55

男乘客

女乘客 总计

8 32

26 57

34 89

由公式可得 K2 的观测值 n?ad-bc?2 k= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 89?24×26-31×8?2 = ≈3.689>2.706. 55×34×32×57 故在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下, 认为“在天 气恶劣的飞机航程中,男乘客比女乘客更容易晕机”.



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