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【最高考系列】(教师用书2016届高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形课时训练 理

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形 第 1 课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1. 角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sinα =________. 2 5 答案: 5 y 2 2 5 解析:sinα = = = . r 5 5 2. 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上 2 5 一点,且 sinθ =- ,则 y=________. 5 答案:-8 y 2 5 2 解析:因为 sinθ = 2 =- ,所以 y<0,且 y =64,所以 y=-8. 2 5 4 +y 3. 已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cosα ≤0,sinα >0,则实数 a 的取值 范围是__________. 答案:(-2,3] 解析:由 cosα ≤0,sinα >0 可知,角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上,所 ?3a-9≤0, ? 以有? 解得-2<a≤3. ?a+2>0, ? 2 4. 已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm ,则扇形的中心角的弧度数是________. 答案:1 或 4 2r+l=6, ? ? ? ?r=1, ? ?r=2, 解析:设此扇形的半径为 r,弧长是 l,则?1 解得? 或? 从而 α ?l=4 ?l=2, rl=2, ? ? ? 2 ? l 4 l 2 = = =4 或 α = = =1. r 1 r 2 4 5. 已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin30°),且 cosα =- ,则 m=________. 5 1 答案: 2 2 -8m 4 4m 1 2 解析: 因为 r= 64 m +9, 所以 cosα = =- , 所以 m>0 , 所以 = , 2 2 5 64m + 9 25 64 m +9 1 故 m= . 2 2π 6. 若点 P 在角 的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标是________. 3 答案:(-1, 3) 2 2 y 2 x 解析: π 的终边在第二象限,设 P(x,y),则 sin π = ,∴ y= 3;cos π = ,x 3 3 2 3 2 =-1. 7. 若角 α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα ·cosα = 3 ,则 a=________. 4 4 3 答案:-4 3或- 3 解析:∵ sinα ·cosα = 3 >0,∴ sinα 、cosα 同号,∴ 角 α 在第三象限,即 P(- 4 a 16+a 2 4,a)在第三象限,∴ a<0.根据三角函数的定义 4 3 - . 3 · -4 16+a 2 = 3 ,解得 a=-4 3或 4 2π 2 2 8. 点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 按逆时针方向运动 弧长到达点 Q,则点 Q 3 的坐标为________. 3? ? 1 答案:?- , ? ? 2 2? 2π 2π 解析: 由弧长公式 l=|α |r, l= , r=1 得点 P 按逆时针方向转过的角度为α = , 3 3 2π ? 3? ? 1 ? 2π 所以点 Q 的坐标为?cos ,sin ?,即?- , ?. 3 3 ? ? ? 2 2? 9. (改编题)若 α 的终边落在 x+y=0 上,求出在[-360°,360°]之间的所有角 α . 3π 解:若角 α 的终边落在第二象限,则{α |α = +2kπ ,k∈Z};若角 α 的终边落在 4 7π 3π 第四象限, 则{α |α = +2kπ , k∈Z}, ∴ α 终边落在 x+y=0 上角的集合为{α |α = 4 4 7π 3π 3π +2kπ ,k∈Z}∪{α |α = +2kπ ,k∈Z}={α |α = +kπ ,k∈Z}.令-2π ≤ + 4 4 4 5π π 3π 7π kπ ≤2π ,∴ k∈{-2,-1,0,1},∴ 所求 α ∈{- ,- , , }. 4 4 4 4 10. 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sinθ = 象限,并求 cosθ 和 tanθ 的值. 解:由题意得,r= 3+m ,∴ sinθ = 2 2 m,试判断角 θ 所在的 4 m 3+ m 2 = 2 m. 4 ∵ m≠0,∴ m=± 5.故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 y 5 15 ∴ cosθ = = =- ,tanθ = = =- ; r 2 2 4 x - 3 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角. x - 3 6 y - 5 15 ∴ cosθ = = =- ,tanθ = = = . r 2 2 4 x - 3 3 6 15 6 15 ,tanθ =- 或 cosθ =- ,tanθ = . 4 3 4 3 11. 如图, 单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点, 单位圆与 y 轴的正半轴交于点 A,与钝角 α 的终边 OB 交于点 B(xB,yB),设∠BAO=β . (1) 用 β 表示 α ; 4 (2) 如果 sinβ = ,求点 B(xB,yB)的坐标; 5 (3) 求 xB-yB 的最小值. 综上可知,cosθ =- π 3π 解:(1) ∠AOB=α - =π -2β ,所以 α = -2β . 2 2 yB ? 3π ? 2 (2) 由 sinα = , r =1,得 yB = sinα = sin? -2β ? =- cos2 β = 2sin β - 1= r ? 2 ? 2 7 24 ?4? ? 24 7 ? 2 2×? ? -1= .由 α 为钝角,知 xB=cosα =- 1-sin α =- .所以 B?- , ?. 25 25 ?5? ? 25 25? π ? ? (

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