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广东省广州市执信中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案.doc


2016-2017 学年度第一学期高一级数学科期中考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 8 页,满分为 150 分。考试用时 120 分钟。 第一部分选择题(共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选 择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置。 ) 1.设集合 S ? y y ? 3x , x ? R , T ? y y ? x 2 ? 1, x ? R ,则 S ? T = A. ? B. S C. T D. ??0,1??

?

?

?

?

2.下列哪组中的函数 f ( x) 与 g ( x) 是同一函数 A. f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 4 C. f ( x) ? x , g ( x) ? 3 x 3 3.若 a ? 40.9 , b ? 80.48 , c ? 0.5?1.5 则 A. a ? b ? c 4.函数 y ? a ?
x

B. f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ?

x2 ?1 x

D. f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2) , g ( x) ?

x ?1 x ? 2

B. b ? c ? a

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

5.函数 f ( x )= A. (0,1)

1 (x ? R) 的值域是 1+x 2
B. (0,1] C. [0,1) D. [0,1]

6.函数 y ? log 0.3(?x 2 ? 4x )的单调递增区间是 A.(- ? ,2]
1

B.(0,2]

C.[ 2 ,?? )

D.[2,4)

7.若 f ( x) ? x 4 ,则不等式 f ( x) ? f (8x ? 16) 的解集是 A. ( ??,

16 ) 7

B. (0, 2]

C. [2,

16 ) 7

D. [2, ??)

? 1 (a ? 1) x ? a ,x ? 1 ? 8.已知函数 f(x ) ? ? 为 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是 2 2 ? (a ? 1) x ,x ? 1 ?
?1) A.(??, ?4) B. (??, ?4] C. (?1, ?4] D. (??,

9.已知函数 f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是 A. 0 ? m ? 4 B. 0 ? m ? 1 C. m ? 4 D. 0 ? m ? 4

10.计算:(log 6 2) ? (log 6 18) ? (log 6 3)2 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4

? 1 x 3 ?( ) ? , ( x ? 2) 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,方程 f(x ) ? k 恰有两个解,则实数 k 的取值 4 ? ?log 2 x, (0 ? x ? 2)
范围是 A. ( ,1)

3 4

B. [ ,1)

3 4

C. [ ,1]

3 4

D. (0,1)

12. 定义在 D 上的函数 f ( x ) 若同时满足:①存在 M ? 0 ,使得对任意的 x1 , x2 ? D ,都有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ;② f ( x) 的图像存在对称中心。则称 f ( x) 为“ P ? 函数”。
已知函数 f1 ( x) ? A. B. C. D.

2x ? 1 和 f 2 ( x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) ,则以下结论一定正确的是 2x ? 1

f1 ( x) 和 f 2 ( x) 都是 P ? 函数 f1 ( x) 是 P ? 函数, f 2 ( x) 不是 P ? 函数 f1 ( x) 不是 P ? 函数, f 2 ( x) 是 P ? 函数 f1 ( x) 和 f 2 ( x) 都不是 P ? 函数
第二部分非选择题(共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。答案填在答卷上。 ) 13.已知幂函数 f ( x ) 的图象经过点 (8, 2 2) ,那么 f (4) ? _____________ 14.已知函数 f ( x) ? ?

log x , x ? 0 ? 1 ? 2 ,则 f [ f ( )] 的值是 x 4 ? ?5 , x ? 0
x ?1

.

15 . 若 函 数 f(x ) ? |a 是 .

3a ? 1) 上 单 调 递 减 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 ? 1 |在 区 间 (a ,

16.设有限集合 A ? ?a1, a2 ,?, an ? ,则 a1 ? a2 ? ? ? an 叫做集合 A 的和,记作 S A .
* 若集合 P ? x x ? 2 n ?1, n ? N , n ? 4 ,集合 P 的含有 3 个元素的全体子集分别记为

?

?

P 1, P 2 ,?, P k ,则 P 1?P 2 ??? P k ?



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并 写在答题卷相应位置。 ) 17. (本题满分 10 分) 已 知 集 合 A= {x |

1 1 ? ( )x ? 1 ? 9} , 集 合 B= {x | log 2 x ? 3} , 集 合 3 3

C={x | x

2

? (2a ? 1) x ? a 2 ? a ? 0},U=R

(1)求集合 A ?

B ,(C U B ) ? A ;

(2)若 A ? C ? A ,求实数 a 的取值范围. 18. (本题满分 12 分) 定义在 R 上的函数 f ( x), f (0) ? 0, f (1) ? 2 ,当 x ? 0, f ( x) ? 1,且对任意 a, b ? R ,有

f (a ? b) ? f ( a) ? f (b)
(1)求 f (0) 的值。 (2)求证:对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 。 (3)若 f ( x) 在 R 上为增函数,解不等式 f (3 ? 2 x) ? 4 。 19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? log3 x , x ? [1,9] ,求函数 y ? [ f ( x)] ? f ( x ) 的值域.
2 2

20. (本题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? a ?1, x ? ?0, 2? , a 为常数
2

(1)用 g (a ) 表示 f ? x ? 的最小值,求 g (a ) 的解析式 (2)在(1)中,是否存在最小的整数 m ,使得 g ( a) ? m ? 0 对于任意 a ? R 均成立,若 存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由

21. (本题满分 12 分) 设 a, b ? R ,且 a ? 2 ,定义在区间 (?b, b) 内的函数 f ( x ) ? lg (1)求 a 的值; (2)求 b 的取值范围; (3)用定义讨论并证明函数 f ? x ? 的单调性.

1 ? ax 是奇函数. 1? 2x

22. (本题满分 12 分) 已知两条直线 l1 : y ? a 和 l2 : y ?

18 (其中 a ? 0 ) ,若直线 l1 与函数 y ? log4 x 的图象 2a ? 1

从左到右相交于点 A, B ,直线 l2 与函数 y ? log4 x 的图象从左到右相交于点 C , D . 记线 段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 m, n .令 f ( a ) ? log 4 (1)求 f ( a ) 的表达式; (2)当 a 变化时,求出 f ( a ) 的最小值,并指出取得最小值时对应的 a 的值.

n . m

2016-2017 学年度第一学期高一级数学科期中试题答案
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 D 5 B 6 D 7 C 8 D 9 D 10 A 11 A 12 B

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13. 2 14.

1 25

15. 0 ? a ?

2 3

16. 48

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。 ) 17. (本题满分 10 分) (1) A={x | ?1 ?

x ? 2}, B={x | 0 ? x ? 8} ,C={x | a ? x ? a ? 1}

A ? B ? {x | 0 ? x ? 2}

C U B ? A ? {x | x ? 0或x ? 8} ? {x | ?1 ? x ? 2} ? {x | x ? 2或x ? 8}
(2) ?

?a ? ?1 A ?C ? A ?C ? A ? ? ? ?1 ? a ? 1 ?a ? 1 ? 2

18. (本题满分 12 分) (1)令 a=b=0,则 f(0) ? (2)证明:当 x<0 时,

f(0)2 ,? f(0) ? 0,? f(0) ? 1

? x ? 0,? f(?x ) ? 1 ? f(0) ? f(x ? x ) ? f(x ) ? f(?x ) ? 1, ? f(x ) ? 1 ? (0, 1) f(?x )

又有 x>0,f(x)>1; 且 f(0)=1,所以对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 (3)

f(1 ? 1) ? f(1)2 ? 22 ? 4, ? f(x )在R上单增 ? f(3 ? 2x ) ? 4可化为f(3 ? 2x ) ? f(2) ? 3 ? 2x ? 2
?x ? 1 1 , 解集为( - ?, ) 2 2

19. (本题满分 12 分) 解: 首先求函数 y ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 的定义域, 有? 所以 1 ? x ? 3 函数的定义域为 [1,3] . 又 y ? [ f ( x)]2 ? f ( x2 ) ? (2 ? log3 x)2 ? 2 ? log3 x2 ? (log3 x)2 ? 6log3 x ? 6 令 t ? log3 x ,由 x ? [1,3] 知: t ?[0,1] ∴ y ? t 2 ? 6t ? 6 ? (t ? 3)2 ? 3 ,该函数在 t ?[0,1] 上递增 ∴当 t ? 0 ,即 x ? 1 时 ymin ? 6 ; 当 t ? 1 ,即 x ? 3 时 ymax ? 13 故函数的值域为 [6,13] .

?1 ? x ? 9
2 ?1 ? x ? 9

, 则?

?1 ? x ? 9 , ?1 ? x ? 3或 ? 3 ? x ? ?1

20. (本题满分 12 分) (1)对称轴 x ? ?a ①当 ?a ? 0 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上是增函数,当 x ? 0 时有最小值 f (0) ? ?a ? 1 ②当 ?a ? 2 ? a ? ?2 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上是减函数, x ? 2 时有最小值 f (2) ? 3a ? 3 ③当 0 ? ?a ? 2 ? ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上是不单调,

x ? ?a 时有最小值 f (?a) ? ?a2 ? a ?1
a?0 ??a ? 1 ? 2 ?, g (a ) ? ? ? a ? a ?1 ?2 ? a ? 0 ? 3a ? 3 a ? ?2 ?

(2)存在, 由题知 g (a ) 在 ? -?, ? ? 是增函数,在 ? ? , +? ? 是减函数 2 2

? ?

1? ?

? 1 ?

? ?

1 3 a ? ? 时, g (a ) max ? ? , 2 4
g (a) ? m ? 0 恒成立 ? g (a)max ? m ,? m ? ?

3 4

?m 为整数,?m 的最小值为 0
21. (本题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) ? lg

1 ? ax 是奇函数等价于: 1? 2x
1 ? ax 1 ? 2 x ? , 1 ? 2 x 1 ? ax

对任意的 x ? (?b, b) ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,即

2 即 (a 2 ? 4) x2 ? 0 对任意 x ? (?b, b) 恒成立,∴ a ? 4 ? 0

又 a ? 2 ,∴ a ? ?2

1 ? ax 1? 2x 1 1 ? 0 ,即 ? 0 得 ? ? x ? ,此式对任意 x ? (?b, b) 恒成立 1? 2x 1? 2x 2 2 1 1 1 1 1 则有 ( ?b, b) ? ( ? , ) ,∴ ? ? ?b ? b ? ,得 b 的取值范围是 (0, ] . 2 2 2 2 2
(2)由 (3)任取 x 1 ,x 2 ? (?b ,b ),令 ?b ? x1 ? x2 ? b , 则 f(x 1 ) ? f(x 2 ) ? lg

1 ? 2x 1 1 ? 2x 2 (1 ? 2x 1 )(1 ? 2x 2 ) ? lg ? lg 1 ? 2x 1 1 ? 2x 2 (1 ? 2x 2 )(1 ? 2x 1 )
1 2 1 1 , ) 2 2

由 ?b ? x1 ? x2 ? b , b ? (0, ] 得: x1 , x2 ? ( ?

∴ 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ? 0 , 即1 1 ? 2 x2 ? 1 ? 2 x1 ? 0 , ( 2 ?1 ( )x2 2 )?1 (x 2 1 ( ) 2 ?) x 02 ? 1 ? 所以

x1?

(1 ? 2x 1 )(1 ? 2x 2 ) ?1 (1 ? 2x 2 )(1 ? 2x 1 )

则 f(x 1 ) ? f(x 2 ) ? 0,f(x 1 ) ?

f(x 2 )

∴ f ( x ) 在 (?b, b) 内是单调减函数.

22. (本题满分 12 分) 解:(1)设 A( xA , y A ), B( xB , yB ), C( xC , yC ), D( xD, y D) ,

则 xA ? 4 , xB ? 4 , xC ? 4
a
18

?a

?

18 2 a ?1

, xD ? 4

18 2 a ?1



18 n 4a ? 4 2 a ?1 4a ? 4 2 a ?1 a ? 2 a ?1 则 ? ? ? 4 18 1 1 ? m ? 18 4? a ? 4 2 a ?1 a 4 4 2 a ?1

18

∴ f ( a ) ? log 4

n 18 ?a? m 2a ? 1
1 1 18 1 9 1 ?a? ? ? ,令 x ? a ? ,则 x ? ( , ??) 2 2 2a ? 1 2 a? 1 2 2 9 1 1 在 x ? ( , ??) 的 单 调 性 知 , 当 x ? ( ,3) 时 单 调 减 , 当 x 2 2

(2) f (a) ? a ?

考 察 函 数 u ( x) ? x ?

x ? (3, ??) 单调增
∴当 x ? 3 时, u ( x) 有最小值 6 , 此时 a ?

1 5 5 11 ? 3 ,即 a ? 时 f (a ) 有最小值为 f ( ) ? . 2 2 2 2


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