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2014-2015学年杭州市重点中学联考高二(上)期末数学试卷(理科)


2014-2015 学年浙江省杭州市重点中学联考高二(上)期末数学 试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)直线 x=﹣1 的倾斜角和斜率分别是( ) A.45°,1 B.90°,不存在 C.135°,﹣1 D.180°,不存在

2. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)椭圆 A. (﹣3,0) , (3,0) ﹣3) , (0,3)

+

=1 的焦点坐标为(

) D. (0,

B. (﹣4,0) , (4,0)

C. (0,﹣4) , (0,4)

3. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)命题“若 α= A.若 α≠ ,则 tanα≠1 B.若 α=

,则 tanα=1”的逆否命题是(



,则 tanα≠1

C.若 tanα≠1,则 α=

D.若 tanα≠1,则 α≠

4. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题 正确的是( ) A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B.若 l∥α,α∥β,则 l?β C.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β D.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β 5. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)已知两条直线(a+1)x﹣y+1=0 与(2a﹣1)x+2y﹣1=0 互相垂直,则 a 的值为( ) A.a=1 B.a=1 或 a=﹣ C.a=﹣1 或 a=﹣ D.a=﹣1 或 a=

6. (4 分) (2013?山东)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是 边长为 A. 的正三角形, 若 P 为底面 A1B1C1 的中心, 则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( B. C. D. )

7. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)双曲线 的离心率互为倒数,则( )



=1 与椭圆

+

=1(a>0,m>b>0)

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A.a +b =m B.a+b=m

2

2

2

C.a =b +m D.a=b+m

2

2

2

8. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)如图所示,正三棱锥 V﹣ABC 中,D,E,F 分别是 VC, VA,AC 的中点,P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是( )

A.30° B.60° C.90° D.随 P 点的变化而变化

9. (4 分) (2015?江西一模)设 F1,F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦

点,若在双曲线的右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且原点 O 到直线 PF1 的距离等于双曲 线的实半轴长,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.4x±3y=0 B.3x±5y=0 C.3x±4y=0 D.5x±3y=0 10. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面上的射影是底 面中心)S﹣ABCD 的底面边长为 4,高为 4,点 E、F、G 分别为 SD,CD,BC 的中点,动 点 P 在正四棱锥的表面上运动, 并且总保持 PG∥平面 AEF, 动点 P 的轨迹的周长为 ( )

A.

+

B.2

+2

C.

+

D.2

+

二.填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)在空间直角坐标系中,若 A(3,﹣4,0) ,B(﹣3, 4,z)两点间的距离为 10,则 z= . 12. (4 分) (2006?广东)棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积 为 . 13. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)下列命题: ①一条直线在平面上的射影一定是直线;
第 2 页(共 19 页)

②在平面上的射影是直线的图形一定是直线; ③两直线与同一个平面所成角相等,则这两条直线互相平行; ④两条平行直线与同一个平面所成角一定相等. 其中所有真命题的序号是 . 14. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为

15. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)已知点 M(a,b)在直线 4x+3y=10 上,则 最小值为 .
2 2 2



16. (4 分) (2014?瓯海区校级模拟)如图,抛物线 C1:y =4x 和圆 C2: (x﹣1) +y =1,直 线 l 经过 C1 的焦点 F,依次交 C1,C2 于 A,B,C,D 四点,则 ? 的值是 .

17. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)设 t∈R,过定点 A 的动直线 x﹣my=0 和过定点 B 的动 直线 mx+y+2m﹣2=0 交于点 P(x,y) ,则|PA|?|PB|的最大值是 .

三、解答题: (共 4 小题,共 52 分,解题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18. (12 分) (2014 秋?杭州校级期末)已知方程 + =1(m∈R)表示双曲线.

(Ⅰ)求实数 m 的取值集合 A; 2 2 (Ⅱ)设不等式 x ﹣(2a+1)x+a +a<0 的解集为 B,若 x∈B 是 x∈A 的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围.

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19. (12 分) (2014 秋?杭州校级期末)已知坐标平面上一点 M(x,y)与两个定点 M1(26, 1) ,M2(2,1) ,且 =5.

(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为 C,过点 M(﹣2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8,求 直线 l 的方程. 20. (14 分) (2015?岳阳模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为平行四边形,AB=1,BC= ,∠ABC=45°,点 E 在 PC 上,AE⊥PC. (Ⅰ)证明:平面 AEB⊥平面 PCD; (Ⅱ)若二面角 B﹣AE﹣D 的大小为 150°,求∠PDC 的大小.

21. (14 分) (2014 秋?杭州校级期末)如图,已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,

过椭圆右焦点 F2 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD,当直线 AB 的斜率为 0 时,|AB|+|CD|=7. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求|AB|+|CD|的取值范围.

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2014-2015 学年浙江省杭州市重点中学联考高二(上)期 末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)直线 x=﹣1 的倾斜角和斜率分别是( ) A.45°,1 B.90°,不存在 C.135°,﹣1 D.180°,不存在 【考点】直线的倾斜角;直线的斜率. 【专题】直线与圆. 【分析】垂直于 x 轴的直线倾斜角为 90°,斜率不存在,即可得出. 【解答】解:直线 x=﹣1 的倾斜角为 90°,斜率不存在. 故选:B. 【点评】本题考查了垂直于 x 轴的直线倾斜角及其斜率,属于基础题.
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2. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)椭圆

+

=1 的焦点坐标为(

) D. (0,

A. (﹣3,0) , (3,0) B. (﹣4,0) , (4,0) ﹣3) , (0,3) 【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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C. (0,﹣4) , (0,4)

【分析】求出椭圆的 a,b,由 a ﹣b =c ,计算即可得到焦点坐标. 【解答】解:椭圆 c= =4, + =1 的 a=5,b=3,

2

2

2

则焦点为(0,﹣4) , (0,4) . 故选:C. 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查椭圆的 a,b,c 的关系,考查运算能力,属于基 础题.

3. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)命题“若 α= A.若 α≠ ,则 tanα≠1 B.若 α=

,则 tanα=1”的逆否命题是(



,则 tanα≠1

C.若 tanα≠1,则 α= 【考点】四种命题. 【专题】简易逻辑.
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D.若 tanα≠1,则 α≠

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【分析】根据逆否命题的定义,从而得到答案. 【解答】解:命题“若 α= 若 tanα≠1,则 α≠ , ,则 tanα=1”的逆否命题是:

故选:D. 【点评】本题考查了命题的逆否命题,若 p,则 q 的逆否命题是:若¬q,则¬p,本题属于 基础题. 4. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题 正确的是( ) A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B.若 l∥α,α∥β,则 l?β C.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β D.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β 【考点】平面与平面之间的位置关系. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系,逐一分析四个答案中的结论,发 现 A,B,C 中由条件均可能得到 l∥β,即 A,B,C 三个答案均错误,只有 D 满足平面平 行的性质,分析后不难得出答案. 【解答】解:若 l⊥α,α⊥β,则 l?β 或 l∥β,故 A 错误; 若 l∥α,α∥β,则 l?β 或 l∥β,故 B 错误; 若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 或 l∥β,故 C 错误; 若 l⊥α,α∥β,由平面平行的性质,我们可得 l⊥β,故 D 正确; 故选:D 【点评】判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点) ;②利 用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α) ;③利用面面平行的性质定理(α∥β, a?α?a∥β) ;④利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?,a∥α??a∥β) .线线垂直可由线 面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂 直的重要依据.垂直问题的证明, 其一般规律是“由已知想性质, 由求证想判定”,也就是说, 根据已知条件去思考有关的性质定理; 根据要求证的结论去思考有关的判定定理, 往往需要 将分析与综合的思路结合起来.
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5. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)已知两条直线(a+1)x﹣y+1=0 与(2a﹣1)x+2y﹣1=0 互相垂直,则 a 的值为( ) A.a=1 B.a=1 或 a=﹣ C.a=﹣1 或 a=﹣
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D.a=﹣1 或 a=

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由垂直关系可得(a+1) (2a﹣1)+(﹣1)×2=0,解方程可得. 【解答】解:∵两条直线(a+1)x﹣y+1=0 与(2a﹣1)x+2y﹣1=0 互相垂直, ∴(a+1) (2a﹣1)+(﹣1)×2=0, 解得 a=1 或 a= 故选:B. 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题.
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6. (4 分) (2013?山东)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是 边长为 A. 的正三角形, 若 P 为底面 A1B1C1 的中心, 则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( B. C. D.
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【考点】直线与平面所成的角. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】利用三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角,即为∠APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角.利用三棱锥的体积计算公 式可得 AA1,再利用正三角形的性质可得 A1P,在 Rt△ AA1P 中,利用 tan∠APA1= 可得出. 【解答】解:如图所示, ∵AA1⊥底面 A1B1C1,∴∠APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角, ∵平面 ABC∥平面 A1B1C1,∴∠APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角. ∵ = = . = = ,解得 . =1, 即

∴V 三棱柱 ABC﹣A1B1C1=

又 P 为底面正三角形 A1B1C1 的中心,∴ 在 Rt△ AA1P 中,



∴ 故选 B.



【点评】熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的 关键.

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7. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)双曲线



=1 与椭圆

+

=1(a>0,m>b>0)

的离心率互为倒数,则( ) 2 2 2 2 2 2 A.a +b =m B.a+b=m C.a =b +m D.a=b+m 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】利用双曲线



=1 与椭圆

+

=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,

可得 化简可得结论. 【解答】解:由题意,
2 2 2





化简可得 a +b =m , 故选:A. 【点评】本题考查椭圆、双曲线的离心率的计算,考查学生的计算能力,比较基础. 8. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)如图所示,正三棱锥 V﹣ABC 中,D,E,F 分别是 VC, VA,AC 的中点,P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是( )

A.30° B.60° C.90° D.随 P 点的变化而变化 【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间角. 【分析】连结 VF,BF,则 VF⊥AC,BF⊥AC,从而 AC⊥平面 VBF,由此能求出直线 DE 与 PF 所成的角的大小是 90°. 【解答】解:连结 VF,BF, ∵正三棱锥 V﹣ABC 中,D,E,F 分别是 VC,VA,AC 的中点, ∴VF⊥AC,BF⊥AC, 又 VF∩BF=F, ∴AC⊥平面 VBF, 又 PF?平面 VBF,∴AC⊥PF, ∴直线 DE 与 PF 所成的角的大小是 90°. 故选:C.
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【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要注意线线、线面、面面间的 位置关系和性质的合理运用,注意空间思维能力的培养.

9. (4 分) (2015?江西一模)设 F1,F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦

点,若在双曲线的右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且原点 O 到直线 PF1 的距离等于双曲 线的实半轴长,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.4x±3y=0 B.3x±5y=0 C.3x±4y=0 D.5x±3y=0 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系, 得出 a 与 b 之间的等量关系, 进而求出双曲线的渐近线方程. 【解答】解:依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形 PF2F1 是一个等腰三角形,F2 在直线 PF1 的投 影是其中点, 由勾股定理可知|PF1|=4b 根据双曲定义可知 4b﹣2c=2a,整理得 c=2b﹣a,
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代入 c =a +b 整理得 3b ﹣4ab=0,求得 = , ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 4x±3y=0. 故选:A. 【点评】 本题主要考查三角与双曲线的相关知识点, 突出了对计算能力和综合运用知识能力 的考查,属中档题. 10. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面上的射影是底 面中心)S﹣ABCD 的底面边长为 4,高为 4,点 E、F、G 分别为 SD,CD,BC 的中点,动 点 P 在正四棱锥的表面上运动, 并且总保持 PG∥平面 AEF, 动点 P 的轨迹的周长为 ( )

2

2

2

2

A.

+

B.2

+2

C.

+

D.2

+

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【考点】轨迹方程. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】先想着找到 P 点的轨迹:取 SB 的中点 M,并连接 GM,作 GN∥AF,与 AB 交于 N,再连接 MN,从而可说明平面 MNG∥平面 AEF,从而便找到 P 点的轨迹为 MG,NG, MN 三条线段,把这三线段的长度求出即可.连接 AC,BD,并交于 O 点,连接 SO,这样 即可分别以 OB,OC,OS 三直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,根据条件求出 M, N,G 三点的坐标,然后利用空间中两点间的距离公式求三线段 MG,NG,MN 即可. 【解答】解:取 SB 中点 M,连接 GM,则 GM∥SC,又 EF∥SC; ∴GM∥EF,EF?平面 AEF,GM?平面 AEF; ∴GM∥平面 AEF; 过 G 作 GN∥AF,交 AB 于 N,并连接 GN,同理可得 GN∥平面 AEF,GM∩GN=G; ∴平面 GMN∥平面 AEF; ∴动点 P 的轨迹便是线段 MN,MG,NG,轨迹的周长便是 MN+MG+NG; 连接 AC,BD,并交于 O,则分别以 OB,OC,OS 三直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空 间直角坐标系,则:
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B(

,0,0) ,C(0, ,0) ,N( ,

,0) ,G( ,0) ; ,|NG|= .

) ,S(0,0,4) ,M



A(0,﹣ ∴



∴P 点轨迹的周长为 故选:D.

【点评】考查三角形中位线的性质,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理,面面平行 的性质,以及通过建立空间直角坐标系,利用空间两点间距离公式求空间线段长度的方法, 理解轨迹的概念. 二.填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)在空间直角坐标系中,若 A(3,﹣4,0) ,B(﹣3, 4,z)两点间的距离为 10,则 z= 0 .
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【考点】空间两点间的距离公式. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可. 【解答】解:∵空间直角坐标系中,点 A(3,﹣4,0) ,B(﹣3,4,z)两点间的距离为 10,
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2

=10,

∴z =0.解得 z=0. 故答案为:0. 【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用,基本知识的考查. 12. (4 分) (2006?广东)棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 27π . 【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;综合题. 【分析】正方体的对角线就是球的直径,求出后,即可求出球的表面积. 【解答】解:正方体的对角线就是球的直径,设其体对角线的长为 l,
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则 l=

=3



故答案为:27π. 【点评】本题考查球的表面积,考查学生空间想象能力,球的内接体问题,是基础题. 13. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)下列命题: ①一条直线在平面上的射影一定是直线; ②在平面上的射影是直线的图形一定是直线; ③两直线与同一个平面所成角相等,则这两条直线互相平行; ④两条平行直线与同一个平面所成角一定相等. 其中所有真命题的序号是 ④ . 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】对四个命题分别分析解答;注意特殊情况. 【解答】解:对于①,当直线与平面垂直是,此直线在平面上的射影是一个点;故①错误; 对于②,如果两个平面垂直,其中一个平面在另一个平面上的射影是一条直线,故在平面 上的射影是直线的图形一定是直线是错误的; 对于③,两直线与同一个平面所成角相等,则这两条直线相交、异面或者平行;故③错误; 对于④,两条平行直线,根据线面所成角的定义可以判断它们与同一个平面所成角一定相 等;故④正确; 故答案为:④. 【点评】本题考查了图形 的射影;考查了学生的空间想象能力.
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14. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末) 某几何体三视图如图所示, 则该几何体的体积为
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【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由已知中的三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,求出底面面积和 高,代入柱体体积公式,可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,
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柱体的底面面积 S=2×2﹣1×1﹣ π=3﹣ 由柱体的高为 h=2, 故该几何体的体积 V=Sh= 故答案为: . .



【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中分析出几何体的形状,是解答的关键.

15. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)已知点 M(a,b)在直线 4x+3y=10 上,则 最小值为 2 . 【考点】点到直线的距离公式. 【专题】直线与圆. 【分析】由于



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表示直线 4x+3y=10 上的点与原点的距离,因此其最小值为原点到直

线的距离,求出即可. 【解答】解:由于 表示直线 4x+3y=10 上的点与原点的距离, =2.

因此其最小值为原点到直线的距离 d=

故答案为:2. 【点评】本题考查了点到直线的距离公式和转化思想,考查了计算能力,属于基础题. 16. (4 分) (2014?瓯海区校级模拟)如图,抛物线 C1:y =4x 和圆 C2: (x﹣1) +y =1,直 线 l 经过 C1 的焦点 F,依次交 C1,C2 于 A,B,C,D 四点,则
第 12 页(共 19 页)
2 2 2

?

的值是 1 .

【考点】直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意可知直线 l 的斜率存在且不等于 0,设出直线方程,分别和抛物线与题意方
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程联立后求出 A,B,C,D 的坐标,求出向量
2



的坐标,代入数量积公式得答案.

【解答】解:由题意可知直线 l 的斜率存在且不等于 0, 由抛物线 C1:y =4x,得 F(1,0) , 则直线 l 的方程为 y﹣0=k(x﹣1) ,即 y=kx﹣k. 联立 ,得 k x ﹣2k x﹣4x+k =0,
2 2 2 2

解得:





联立

,得 B(

) ,C(

) ,







=1.

故答案为:1. 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了平面向量的数量积运算,考查了学生的 计算能力,是中档题. 17. (4 分) (2014 秋?杭州校级期末)设 t∈R,过定点 A 的动直线 x﹣my=0 和过定点 B 的动 直线 mx+y+2m﹣2=0 交于点 P(x,y) ,则|PA|?|PB|的最大值是 4 . 【考点】两点间距离公式的应用. 【专题】直线与圆. 【分析】 动直线 x﹣my=0 过定点 A (0, 0) , 动直线 mx+y+2m﹣2=0 化为 m (x+2) +y﹣2=0,
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,可得定点 B(﹣2,2) .由于此两条直线互相垂直,可得|PA| +|PB| =|AB| =8,

2

2

2

再利用基本不等式的性质即可得出.
第 13 页(共 19 页)

【解答】解:动直线 x﹣my=0 过定点 A(0,0) , 动直线 mx+y+2m﹣2=0 化为 m(x+2)+y﹣2=0,令 (﹣2,2) . ∵此两条直线互相垂直, ∴|PA| +|PB| =|AB| =8, ∴8≥2|PA|?|PB|, ∴|PA|?|PB≤4, 当且仅当|PA|=|PB|时取等号. 故答案为:4. 【点评】本题考查了直线系、相互垂直的直线直角的关系、两点之间的距离公式,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题: (共 4 小题,共 52 分,解题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18. (12 分) (2014 秋?杭州校级期末)已知方程 + =1(m∈R)表示双曲线.
2 2 2

,解得 x=﹣2,y=2.过定点 B

(Ⅰ)求实数 m 的取值集合 A; 2 2 (Ⅱ)设不等式 x ﹣(2a+1)x+a +a<0 的解集为 B,若 x∈B 是 x∈A 的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围. 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)由双曲线的方程可得 m(4﹣m)<0,运用二次不等式的解法即可得到 A; (Ⅱ)运用二次不等式的解法可得 B,再由条件可得 B 真包含于 A,即可得到 m 的范围.
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【解答】解: (Ⅰ)由方程

+

=1(m∈R)表示双曲线,

可得:m(4﹣m)<0, 可得集合 A={m|m<0 或 m>4}; (Ⅱ) 由题意:B={x|x ﹣(2a+1)x+a +a<0}={x|(x﹣a) (x﹣a﹣1)<0} ={x|a<x<a+1}, ∵x∈B 是 x∈A 的充分不必要条件,即有 B?A, ∴a≥4 或 a+1≤0 ∴实数 a 的取值范围:a≥4 或 a≤﹣1. 【点评】本题考查方程表示双曲线求参数的范围,考查二次不等式的解法,考查集合的包含 关系,考查运算能力,属于基础题和易错题. 19. (12 分) (2014 秋?杭州校级期末)已知坐标平面上一点 M(x,y)与两个定点 M1(26, 1) ,M2(2,1) ,且 =5.
2 2

(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;

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(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为 C,过点 M(﹣2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8,求 直线 l 的方程. 【考点】轨迹方程. 【专题】综合题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)直接利用距离的比,列出方程即可求点 M 的轨迹方程,然后说明轨迹是什么 图形; (Ⅱ)设出直线方程,利用圆心到直线的距离,半径与半弦长满足的勾股定理,求出直线 l 的方程.
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【解答】解: (Ⅰ)由题意,得
2 2

=5.



化简,得 x +y ﹣2x﹣2y﹣23=0…(3 分) 2 2 即(x﹣1) +(y﹣1) =25. 2 2 ∴点 M 的轨迹方程是(x﹣1) +(y﹣1) =25, 轨迹是以(1,1)为圆心,以 5 为半径的圆.…(6 分) (Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,l:x=﹣2,此时所截得的线段的长为 2 ∴l:x=﹣2 符合题意.…(8 分) 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y﹣3=k(x+2) ,即 kx﹣y+2k+3=0, 圆心到 l 的距离 d= ,由题意,得( ) +4 =5 ,解得 k=
2 2 2

=8,



∴直线 l 的方程为

x﹣y+

=0,即 5x﹣12y+46=0.

综上,直线 l 的方程为 x=﹣2,或 5x﹣12y+46=0…(12 分) 【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力. 20. (14 分) (2015?岳阳模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为平行四边形,AB=1,BC= ,∠ABC=45°,点 E 在 PC 上,AE⊥PC. (Ⅰ)证明:平面 AEB⊥平面 PCD; (Ⅱ)若二面角 B﹣AE﹣D 的大小为 150°,求∠PDC 的大小.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定. 【专题】空间角. 【分析】 (I)由已知条件推导出 AB⊥AC,PA⊥AB,从而得到 AB⊥平面 PAC,进而得到 CD⊥平面 PAC,由此能证明平面 AEB⊥平面 PCD.
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(II)法一:由已知条件推导出二面角 C﹣AE﹣D 的大小为 60°,∠CED 为二面角 C﹣AE ﹣D 的平面角,由此能求出∠PDC 的大小. (Ⅱ)法二:以 A 为原点,AB,AC,AP 所在射线为 x,y,z 轴的正半轴,建立空间直角 坐标系利用向量法能求出∠PDC 的大小. 【解答】 (本小题 14 分) (I)证明:∵AB=1, ,∠ABC=45°, ∴AB⊥AC…(2 分) ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AB,又∵AC∩AP=A ∴AB⊥平面 PAC,又∵AB∥CD ∴CD⊥平面 PAC,∴CD⊥AE…(4 分) 又∵AE⊥PC,又∵PC∩CD=C ∴AE⊥平面 PCD…(6 分) 又∵AE?平面 AEB ∴平面 AEB⊥平面 PCD…(7 分) (II)解法一:∵AB⊥平面 PAC,AB?平面 AEB, ∴平面 AEB⊥平面 PAC,又∵二面角 B﹣AE﹣D 的大小为 150°. ∴二面角 C﹣AE﹣D 的大小等于 150°﹣90°=60°.…(10 分) 又∵AE⊥平面 PCD,∴CE⊥AE,DE⊥AE, ∴∠CED 为二面角 C﹣AE﹣D 的平面角,即∠CED=60°.…(12 分) ∵CD=1,∠ECD=90°,∴ ∴ ∴ ,即 , ,∴∠PDC=60°.…(14 分) . ,∵△AEC∽△PAC,

(Ⅱ)解法二:如图,以 A 为原点,AB,AC,AP 所在射线为 x,y,z 轴的正半轴,建立 空间直角坐标系 A﹣xyz,设 AP=t,A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,1,0) ,D(﹣1,1,0) ,P(0,0, t) . ∵AB⊥PC,AE⊥PC,∴PC⊥平面 ABE, ∴平面 ABE 的一个法向量为 ∵AE⊥PC,∴ .设∠EAC=∠APC=θ, .…(9 分)







.…(10 分)

设平面 AED 的一个法向量为



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,得

.…(12 分)

∵二面角 B﹣AE﹣D 的大小为 150°, ∴ 解得 ∴ .…(13 分) ,CD=1,∴∠PDC=60°.…(14 分) ,

【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查角的大小的求法,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养.

21. (14 分) (2014 秋?杭州校级期末)如图,已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,

过椭圆右焦点 F2 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD,当直线 AB 的斜率为 0 时,|AB|+|CD|=7. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求|AB|+|CD|的取值范围.

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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (Ⅰ)通过当直线 AB 的斜率为 0 时可知|AB|=2a,

,结合

,计

算即得结论; (Ⅱ)分别对两条弦的斜率进行讨论,当两条弦中一条斜率为 0 时、另一条弦的斜率不存在 时易得结论;当两条弦斜率均存在且不为 0 时,通过设直线 AB、CD 的方程并分别与椭圆 方程联立,利用韦达定理及两点间距离公式,可得|AB|+|CD|的表达式,利用换元法及二次 函数的性质计算即得结论. 【解答】解: (Ⅰ)当直线 AB 的斜率为 0 时,直线 CD 垂直于 x 轴, ∴|AB|=2a, ∵
2 2 2

,即 ,



,且 a =b +c ,解得:

所以椭圆方程为



(Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意可知,|AB|+|CD|=7; ②当两条弦斜率均存在且不为 0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,则直线 CD 的方程为 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得: 2 2 2 2 (3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0, ∴ , ,





同理,



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∴ 令 t=k +1,则 t>1, ∴
2





∵t>1,∴ ∴

, ,∴ ,



,∴



综合①②可知,|AB|+|CD|的取值范围为:[

,7].

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累, 属于中档题.

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