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高考数学题型全归纳:数列的概念知识总结及例题讲解含答案

§1.1.1 一、 基本概念 1. 数列的概念 1 按一定次序排列的一列数叫数列。 ○ 数列的概念 本小节重点:了解数列概念、分类、通项公式;及通项公式的求法。 注:数列的另一定义:数列也可以看做是一个定义域为正整数集 函数值。 ,当自变量从小到大依次取值时对应的一列 ○ 2 数列中的每一个数按顺序 1,2,3,…,都有一个序号,叫作项数,每一个序号也对应着一个数,这个数叫 作数列中的项,例如第 4 个数,叫作第 4 项,第 n 个数,叫作第 n 项,记作 ○ 3 数列的一般形式为 , , ,…, ,…简单记为 ,其中 ; 的通项. 表示时,我们称这 表示数列 ○ 4 通项公式:如果一个数列的第 n 项 个公式为这个数列的通项公式。 与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式 特别提示: a) 数列的通项公式不是唯一的, 例如: -1, 1, -1, 1, …通项公式可表示为 或 ; b) 不是所有的数列都有通项公式,例如:3,3.1,3.14,3.141,3.1415,…就没有通项公式. ○ 5 递推公式:如果已知数列 项 的第 1 项(或前几项) ,且从第二项(或某一项)开始的任一项 与它的前一 (或前几项)间的关系式可以用一个公式来表示,则这个公式就叫作递推公式。 2. 数列的表示方法 ○ 1 列表法,指列出表格来表示数列 ○ 2 图像法,指在坐标平面中用点 的第 n 项与序号 n 之间的关系. 表示. ○ 3 解析法,指用一数学式子表示来。例如:常用的通项公式. 3. 数列的分类 ○ 1 按数列中项数的多少来分:有穷数列和无穷数列. ○ 2 按数列中相邻两项间的大小关系来分:递增数列、递减数列、常数列和摆动数列. ○ 3 按照任何一项的绝对值是否都大于某一正数来分:有界数列和无界数列. 二、 例题讲解 例 1. 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1) , , , ,… (2) 1,3,6,10,15,… (3) , , , ,… (4) 6,66,666,… (5) , , , ,… (6) , , , , , ,… 或 特别提示:在此种题型当中一些常用的数列为: 1) 1,0,1,0,…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1,11,111,1111,… 例 2. 已知数列 (1) 求数列的第 10 项 (2) , 是否为该数列的项,为什么? (3) 求证:数列中各项都在区间 内; (4) 在区间 例 3. 内有无数列中的项? 利用递推公式写出下列各题通项公式 (1) (可用两种方法) (2)已知数列 满足 求 (3) (插项法和叠加法组合) (4)在数列 中,已知 , (5)设 是首项为 1 的正数数列, 且 ,求它的通项公式 . (累乘法) (6)已知数列 中, ,数列 中, ,当 时, ,求 例 4. 求下列数列中某一项 (1) 已知数列 满足 ,求 (2) 已知数列 对任意 ,有 ,若 ,求 (3) 在数列 中, ,求 (4) 已知数列 例 5. 满足 ,求 利用数列的单调性解答 (1)若数列 则 x+y= (2)设数列 围. (3)设 ,又知数列 的通项 满足 的通项公式为 ,若数列 是单调递增数列,求实数 k 的取值范 的通项公式 ,数列 的最大项为第 x 项,最小项为第 y 项, , 1)试求数列 2)判断数列 (4)设 的通项公式; 的增减性. ,如果 是定义在正整数集上的函数,且满足 ,则 = 例 6. 和 之间的关系 与前 n 项和 的相互关系是: ; 注:数列的通项 (1) 已知数列 (2) 已知 的前 n 项和 求 ,求数列 的通项公式. (3) 已知 ,又数列 中, , 这个数列的前 n 项和的公式 , 对所有大于 1 的自然数 n 都有 1) 求数列 的通项公式. . 2) 若 , 求 的值 特别提示:请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.

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