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江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(七) Word版含答案


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南昌市 10 所省重点中学命制 2013 届高三第二次模拟突破冲刺 (七) 数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式
1 锥体体积公式 V ? Sh , 其中 S 为底面积, h 为高. 3

第I卷 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 复平面内,复数 z ? A.第一象限

2?i ,则复数 z 的共轭复数 z 对应的点所在象限为( i 2013
B.第二象限 C.第三象限

)

D.第四象限

1 ? 0} ,则 A ? CR B ? ( 2. 设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2? , B ? {x | ) x ?1 A. ? ?2,1? B. ? ?2,1? C. ? ?2, 2? D. [?2 , ??)
2 ? x 3 ? sin x, ? 1 ? x ? 1 3. 若 f ? x ? ? ? ,则 ? f ? x ?dx ? ( ?1 1? x ? 2 ?2,

) D.3

A.0

B.1

C.2

? 1 4. 若 ? ? (0, ) ,且 sin 2 ? ? cos 2? ? ,则 tan? ? ( ) 2 4 3 2 A. B. C. 2 D. 3 3 2 5. 有以下命题:① 命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 ”;
② 已知随机变量 X 服从正态分布 N (1, ? 2 ) , P( X ? 4) ? 0.79, 则 P( X ? ?2) ? 0.21 ;
x ③ 函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内;其中正确的命题的个数为( 1 3

1 2

1 1 3 2

)

A.0 个 6. 观 察 下 列 各 式 :

B.1 个

C.2 个

D.3 个

2?

2 2 3 3 4 4 , 3? , 4? ,….若 ?2 ?3 ?4 5 5 10 10 17 17

9?
A.43

m m ,则 n ? m ? () ?9 n n
B.57 C.73 D.91

2 7. 已 知 一 组 正 数 x1 , x2 , x3 , x的 方 差 为 S ? 4

1 2 ( x ? x 2 ? x 2 ? x 21 6 , 则 数 据 1 2 3 4 ? ) 4
D.不确定

x1 ? 2, x2 ? 2, x3 ? 2, x4 ? 2 的平均数为(
A.2 B.4

) C.-2

8. 已知函数 f ( x ) 是 R 上的单调增函数且为奇函数,数列 ?a n ? 是等差 数列, a3 >0,则 f (a1 ) ? f (a3 ) ? f (a5 ) 的值 ( A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 0 )

D.可正可负

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9. 已知

3? x , x ? ?0,3? ,已知数列 ?an ? 满足 0 ? an ? 3, n ? N ? ,且 1 ? x2 ) a1 ? a2 ? ? ? a2010 ? 670 ,则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a2010 ) ( f ? x? ?

A . 有最大值 6030 B . 有最小值 6030 C.有最大值 6027 D . 有最小值 6027 10.如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,动点 P 在此

第Ⅱ 卷 二 、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为等边三角形, 则其外接球的表面积是______; 12. 已知 a ? 常数项为

4

?

1

?1

? 1 (1 ? 1 ? x 2 )dx, 则 ?(a ? ) x ? ? 展开式中的 ? 2 x? ? ?
6

2 3
主视图

左视图



13. 设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , ?an ? 是公差为

?
4

的等差数列 ,
; 俯视图

f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) = 3? ,则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ...... f (a10 ) ?
14. 已 知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 上 一点 A 关于 原点的对 称点为 B, F 为 其右 焦点, 若 a 2 b2 ?? ? ? . AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则该椭圆离心率的取值范围为 ?12 4 ? 三.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按做的第一题评阅计分。 本题共 5 分。 15 . 1 ) 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 ( ? ,? ) (0 ? ? ? 2?) 中 , 曲 线 ( (

? (cos ? ? sin ? ) ? 2 与 ? (sin ? ? cos ? ) ? 2 的交点的极坐标为________
(2) (不等式选讲选做题)对于任意 ? ? R, sin ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? a ? a 的取值范围______ 四、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

2 恒成立,则实数 a

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16.(本小题满分 12 分) 某人上楼梯,每步上一阶的概率为 该人从台阶下的平台开始出发,到达第 n 阶的概率为 P . n (1)求 P ;; 2

2 1 ,每步上二阶的概率为 ,设 3 3

(2)该人共走了 5 步,求该人这 5 步共上的阶数 ξ 的数学期望.

17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m ? n , 其中 m ? (sin ?x ? cos?x, 3 cos?x)

n ? (cos?x ? sin ?x,2 sin ?x) ,其中 ? ? 0, 若 f (x) 相邻两对称轴间的距离不小于

? . 2

(1)求 ? 的取值范围; (2)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 3, b ? c ? 3 ,当 ? 最

大时, f ( A) ? 1, 求 ?ABC 的面积.

18. (本题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 , 2an ?1 ? (1 ? ) an .
2

1 n

(1)求 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? an ?1 ?

1 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 2

19. (本题满分 12 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视 图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(1)证明: BN ⊥ 平面 C1 NB1(2)求平面 CNB1 与 平面 C1 NB1 所成角的余弦值;

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20. (本小题满分 13 分)过点 B(0,1) 的直线 l1 交直线 x ? 2 于 P(2, y0 ) , 过点 B ?(0,?1) 的直线

l 2 交 x 轴于 P?( x0 ,0) 点,

x0 ? y 0 ? 1 , l1 ? l 2 ? M . 2

(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; T 已知点 S 的坐标为(-2,0), Q(0, )在线段 ST (2)设直线 l 与 C 相交于不同的两点 S 、 , 点 m 的垂直平分线上且 QS ? QT ≤4,求实数 m 的取值范围.

2 3? x 21. (本题满分 14 分)设 x ? 3 是函数 f ? x ? ? x ? ax ? b e , ? x ? R ? 的一个极值点。

?

?

(1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ? x ? 的单调区间; (2) a ? 0, g ? x ? ? ? a ? 设
2

? ?

25 25 ? x 若存在 使得 f ??1 ? ? g ?? 2 ? ? 成 ? e , ..?1 , ?2 ??0, 4? , 4 4 ?

立,求实数 a 的取值范围。

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2013 届高三模拟试卷(07)数学(理)参考答案
四、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. 解:(1) 从平台到达第二阶有二种走法:走两步,或一步到达,………………2 分 故概率为 P2=
2 2 1 7 × + ? 3 3 3 9

………………6 分

(2)该人走了五步,共上的阶数 ξ 取值为 5,6,7,8,9,10……………………….8 分 ξ 的分布列为: ξ P
0 5

5

6
5
1 1?2? C5 ? ? 3? 3? 4

7
2? 1 ? ? 2 ? C5 ? ? ? ? ?3? ? 3? 2 3

8
3? 1 ? ? 2 ? C5 ? ? ? ? ?3? ? 3? 3 2

9
4? 1 ? ? 2 ? C5 ? ? ? ? ?3? ? 3? 4

10
5? 1 ? C5 ? ? ?3? 5

?2? C ? ? ?3?

……………………………………………………10 分 2 5 ?16 10? 8 10? 4 10 1 1620 20 E (? ) =5×( )5+6× 5 ? 7 ? 5 ? 8 ? 5 ? 9 ? 5 ? 10? 5 ? ? 3 243 3 3 3 3 3 3 17. 解: (1) f ( x) ? m ? n ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 cos?x ? sin ?x

…………12 分

? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?
6

).

? ? 0 ,? 函数 f (x) 的周期 T ?

2? ? T ? ? ? ? , ? , 由题意可知 ? , 即 2? ? 2 2 2? 2

? 解得 0 ? ? ? 1 ,即 ? 的取值范围是 ? | 0 ? ? ? 1?.……………………6 分
? (2)由(1)可知 ? 的最大值为 1,? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6
? 1 ? f ( A) ? 1,? sin(2 A ? ) ? 6 2


?
6

? 2A ?

?
6

?

13 ? 5 ? ? ,? 2 A ? ? ? ? A ? ……………8 分 6 6 6 3

2 2 2 由余弦定理知 a ? b ? c ? 2bc cos A ,? b2 ? c 2 ? bc ? 3 ,又 b ? c ? 3 .

联立解得 bc ? 2 ,? S?ABC ? bc sin A ? 18. 解: (1)由条件得

1 2

3 . 2

………………12 分

a an ?1 1 a ? ? n ,又 n ? 1 时, n ? 1 , 2 2 n2 (n ? 1) 2 n a a 1 1 n2 故数列 { n } 构成首项为 1,公式为 的等比数列.从而 n ? n ?1 ,即 an ? n ?1 .………6 n2 2 n2 2 2


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3 5 2n ? 1 (n ? 1)2 n2 2n ? 1 ? n ? n 得 Sn ? ? 2 ? ? ? n , n 2 2 2 2 2 2 1 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 2n ? 1 2n ? 5 两式相减得 : S n ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 , 所以 S n ? 5 ? .………12 2 2 2 2 2 2 2n
(2)由 bn ? 分



?? ? n2 ? ? x, y, z ?







NCB1













,



?? ???? ? ?n2 ? CN ? 0 ?? x, y, z ? ? ? 4, 4, ?4 ? ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ? ? ?? ?? , ? ? ??? ???? ?n2 ? NB1 ? 0 ?? x, y, z ? ? ? 4, ?4,0? ? 0 ? x ? y ? 0 ? ?
?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? n1 ? n2 4?4 1 3 ? ? ? ? 所以可取 n2 ? ?1,1,2 ? . 则 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? . 3 | n1 | ? | n2 | 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4 3

∴ 所求二面角 C-NB1-C1 的余弦值为

3 . 3

………………12 分

20. 解 (1) 由 题 意 , 直 线 l1 的 方 程 是 y ? ?

1 ? y0 x x ? 1 , ∵ 0 ? y 0 ? 1 , ∴ l1 的 方 程 是 2 2

x0 x ?1 4 若直线 l 2 与 y 轴重合,则 M (0,1) ,若直线 l 2 不与 y 重合,可求得直线 l 2 的方程是 y??

y?

x2 1 ? y 2 ? 1 ,因 l1 不经过 (0,?1) ,故动点动 M 的 x ? 1 ,与 l1 的方程联立消去 x0 得 4 x0

x2 ? y 2 ? 1 y ? ?1) …………6 分 ( 4 1 ( (2)设 T (x1,y1),直线 l 的方程为 y=k(x+2) k ? ? ) 于是 S 、 T 两点的坐标满足方程组 2
轨迹 C 的方程是

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? y ? k ( x ? 2) ? 2 ? x ? y2 ?1 ?4 ?

由方程消去 y 并整理得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0 由-2x1=

4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 8k 2 得 x1= ,从而 y1= 设线段 ST 的中点为 N,则 N( ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2k )…………8 分 1 ? 4k 2 以下分两种情况:① k=0 时,点 T 的坐标为(2,0),线段 ST 的垂直平分线为 y 轴, 当
于是 QS ? (?2,?m),QT ? (2,?m) ,由 QS ? QT ≤4 得:-2 2≤m≤2 2. ② k≠0 时,线段 ST 的垂直平分线方程为 y- 当 得 m= ?

2k 1 8k 2 =- (x+ )令 x=0, k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

6k 1 3 ∵k ? ? ,∴m ? , 2 2 2 1 ? 4k 6k 4k 6k - (2 ? 8k 2) 2 由 QS ? QT =-2x1-m(y1-m)= + ( + )= 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ≤4 (1 ? 4k 2 ) 2 6 6k 14 14 解得- ≤k≤ 且 k≠0 ∴ m= ? =? ………………11 分 2 7 7 1 1 ? 4k ? 4k k 1 14 ∴ 当- ≤k<0 时, ? 4 k ≤-4 7 k 1 14 3 3 当 0<k≤ 时, ? 4 k ≥4∴ ≤m≤ ,且 m≠0 - 7 2 2 k
3 3 综上所述,- ≤ m < ,且 m ≠0.…13 分 2 2 21. ∴f
'


'





1





f ? x ? ? ? x 2 ? ax ? b ? e3? x

? x ? ? ? 2x ? a ? e3? x ? ? x2 ? ax ? b ? e3? x ? ?1? ? ? ? x 2 ? ? a ? 2 ? x ? b ? a ? e 3? x 2分 ? ? ' 2 由题意得: f ? 3? ? 0 ,即 3 ? 3? a ? 2? ? b ? a ? 0 , b ? ?2a ? 3 2 3? x ' 3? x ∴ f ? x ? ? ? x ? ax ? 2a ? 3? e 且 f ? x ? ? ? ? x ? 3?? x ? a ?1? e ' 令 f ? x ? ? 0 得 x1 ? 3 , x2 ? ?a ? 1 2 3? x ∵x ? 3 是函数 f ? x ? ? ? x ? ax ? b ? e , ? x ? R ? 的一个极值点
∴x1 ? x2 ,即 a ? ?4 5分

3分

故 a 与 b 的关系式 b ? ?2a ? 3, ? a ? ?4? ① a ? ?4 时, x2 ? ?a ? 1 ? 3 ,由 f 当
'

? x ? ? 0 得单增区间为: ?3, ?a ?1? ; ' 由 f ? x ? ? 0 得单减区间为: ? ??,3? 、 ? ?a ?1, ??? ; ' ② a ? ?4 时, x2 ? ?a ? 1 ? 3 ,由 f ? x ? ? 0 得单增区间为: ? ?a ?1,3? ; 当 ' 由 f ? x ? ? 0 得单减区间为: ? ??, ?a ?1? 、 ?3,??? ;

8分

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3 ∴ f ? x ? 在 ? 0, 4? 上的值域为 ? ?2 ? a ? 3? e , a ? 6 ? ? ?

?

?

10 分

25 易知 g ? x ? ? ? a 2 ? ? e x 在 ? 0, 4? 上是增函数 ? ? 4 ? ? ? 25 25 ? ∴g ? x ? 在 ? 0, 4? 上的值域为 ?a 2 ? , ? a 2 ? ? e4 ? ? ? 4 ? 4? ? ?

12 分

25 1 由于 ? a 2 ? ? ? ? a ? 6? ? ? a ? ? ? 0 , ? ? ? ? 4? 2? ? ?
又∵ ..?1 , ?2 ??0, 4? ,使得 f ??1 ? ? g ?? 2 ? ? 要存在 ∴ 必须且只须 ?
? a?0

2

25 成立, 4

所以: a 的取值范围为 ? 0,3?

25 ?? 2 25 ? ?? a ? 4 ? ? ? a ? 6 ? ? 4 ? ? ?

解得: 0 ? a ? 3 14 分


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