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高中数学(人教A版 选修2-1)活页规范训练:3-2第2课时空间向量与垂直关系(Word有详解答案)

第 2 课时

空间向量与垂直关系

双基达标
A.l∥α C.l?α 解析 ∴u=-2a,∴a∥u,∴l⊥α. 答案 B

?限时 20 分钟? ( ).

1. 若直线 l 的方向向量 a=(1, 0, 2), 平面 α 的法向量为 u=(-2, 0, -4), 则 B.l⊥α D.l 与 α 斜交

2. 若 a=(2, -1, 0), b=(3, -4, 7), 且(λa+b)⊥a, 则 λ 的值是 A.0 B.1 C.-2 D.2

(

).

解析 λa+b=λ(2,-1,0)+(3,-4,7)=(3+2λ,-4-λ,7) ∵(λa+b)⊥a ∴2(3+2λ)+4+λ=0,即 λ=-2. 答案 C 3.若平面 α、β 的法向量分别为 a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且 α⊥β,则 x 的值 为 A.10 B.-10 1 C. 2 1 D.- 2 ( ).

解析 因为 α⊥β,则它们的法向量也互相垂直,所以 a· b=(-1,2,4)· (x,-1,-2) =0,解得 x=-10. 答案 B 1 4.若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 α 的法向量为(1, ,2),且 l⊥α,则 m=________. 2 2 1 m 解析 由 l⊥α 得, = = ,即 m=4. 1 1 2 2 答案 4 → 5.设 A 是空间任一点,n 为空间内任一非零向量,则适合条件AM·n=0 的点 M 的轨迹是 ________. → → → 解析 ∵AM·n=0,∴AM⊥n,或AM=0,∴M 点在过 A 且与 n 垂直的平面上. 答案 过 A 且以 n 为法向量的平面 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,求证:OB1

⊥平面 PAC. 证明 如图,建立空间直角坐标系,不妨设正方体棱长为 2,则 A(2,0,0),P(0,0,1),C(0,2,0), B1(2,2,2),O(1,1,0). → 于是OB1=(1,1,2), → AC=(-2,2,0), → AP=(-2,0,1), → → 由于OB1·AC=-2+2+0=0 → → 及OB1·AP=-2+0+2=0. → → → → ∴OB1⊥AC,OB1⊥AP, ∴OB1⊥AC,OB1⊥AP. 又 AC∩AP=A,∴OB1⊥平面 PAC.

综合提高(限时 25 分钟)
7.两平面 α、β 的法向量分别为 u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若 α⊥β,则 y+z 的 值是 A.-3 B.6 C.-6 D.-12 ( ).

解析 α⊥β?u·v=0?-6+y+z=0,即 y+z=6. 答案 B 8. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 若 E 为 A1C1 的中点, 则直线 CE 垂直于 A.AC B.BD C.A1D D.A1A ( ).

解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱 长为 1.则 A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,0,0), 1 1 A1(0,1,1),C1(1,0,1),E( , ,1), 2 2 1 1 → ∴CE=(- , ,1), 2 2 → → AC=(1,-1,0),BD=(-1,-1,0), → → A1D=(0,-1,-1),A1A=(0,0,-1) 1 1 → → ∵CE·BD=(-1)×(- )+(-1)× +0×1=0, 2 2 ∴CE⊥BD 答案 B

9.向量 a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面 α 内的两个不共线的向量,直线 l 的一个 方向向量 m=(2,3,1),则 l 与 α 是否垂直?______(填“是”或“否”). 解析 m· a=(2,3,1)· (-1,2,-4) =-2+6-4=0, m·b=(2,3,1)· (2,-2,3)=4-6+3=1≠0. ∴l 与 α 不垂直. 答案 否 10.已知点 A,B,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点 P 的坐标为(x, → → → → 0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则点 P 的坐标为________. → → → 解析 因为AB=(-1,-1,1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z),
? ?x-1-z=0, → → → → 由PA·AB=0,PA·AC=0,得? ?-2x-z=0, ?

1 2 则 x= ,z=- , 3 3 1 2 所以 P( ,0,- ). 3 3 答案 1 2 ( ,0,- ) 3 3

11. 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示, 截 面为 A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面 ABC.A1A= 3,AB= AC=2A1C1=2,D 为 BC 中点. 证明:平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 证明 法一 如图,建立空间直角坐标系.则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0, 3),C1(0, 1, 3), ∵D 为 BC 的中点, ∴D 点坐标为(1,1,0), → → → ∴BC=(-2,2,0),AD=(1,1,0),AA1=(0,0, 3), → → → → ∵BC·AD=-2+2+0=0,BC·AA1=0+0+0=0, → → → → ∴BC⊥AD,BC⊥AA1,∴BC⊥AD,BC⊥AA1, 又 AD∩AA1=A,∴BC⊥平面 ADA1, 而 BC?平面 BCC1B1, ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 法二 同法一,得

→ → AA1=(0,0, 3),AD=(1,1,0), → → BC=(-2,2,0),CC1=(0,-1, 3), 设平面 A1AD 的法向量 n1=(x1,y1,z1), 平面 BCC1B1 的法向量为 n2=(x2,y2,z2). → ? AA1=0, ? 3z1=0, ?n1· 由? 得? → ? ?n1·AD=0, ?x1+y1=0. 令 y1=-1 得 x1=1,z1=0, ∴n1=(1,-1,0). → ? BC=0, ?n2· ?-2x2+2y2=0, 由? 得? → ? ?n2·CC1=0, ?-y2+ 3z2=0. 令 y2=1,得 x2=1,z2= ∴n2=(1,1, 3 ). 3 3 , 3

∴n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2. ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 12. (创新拓展)如图所示, 矩形 ABCD 的边 AB=a, BC=2, PA⊥ 平面 ABCD, PA=2, 现有数据: a= a=4. 若在 BC 边上存在点 Q,使 PQ⊥QD,则 a 可以取所给数据 中的哪些值?并说明理由. 解 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0). 设 Q(a,x,0)(BQ=x,0≤x≤2), → → 于是PQ=(a,x,-2),QD=(-a,2-x,0). 由 PQ⊥QD 得 → → PQ·QD=-a2+x(2-x)-2×0=0, 即 x2-2x+a2=0,此方程有解,Δ≥0, ∴0<a≤1. 当 a= 3 3 1 时,方程的解为 x= 或 x= ,满足 0≤x≤2. 2 2 2 3 ; a=1; a=2; a= 3; 2

当 a=1 时,方程的解为 x=1,满足 0≤x≤2.

因此满足条件的 a 的取值为 a=

3 或 a=1. 2


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