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2015届高考数学(理)一轮复习讲义: 数列求和(人教B版)


2015 届高考数学(理)一轮复习讲义: 数列求和
一、 知 识 梳 理
1.基本数列的前 n 项和

? n ( a1 ? a n ) ? 2 ? 1 ? ⑴ 等差数列 ?a n ?的前 n 项和: S n ? ?na1 ? n ( n ? 1) d 2 ? 2 a ? n ? b?n ? ? ?
⑵ 等比数列

?a n ?的前 n 项和 S n :
a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ; ? 1? q 1? q

① 当q

? 1 时, Sn ? na1 ;②当 q ? 1 时, S n ?

⑶ 基本数列

?n ?的前 n 项和: S
2

n

?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

2. 数列求和的常用方法:公式法;性质法;拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法.

二、 重 难 点 突 破
1.重点:掌握由数列通项公式求数列的前 n 项之和的方法; 2.难点:利用裂项相消法、错位相减法求数列的前 n 项之和. 3.重难点:灵活选择数列求和的方法,注意裂项相消法求和中项数及项的处理.

三、典例分析 题型 1 公式法求和
【例 1(2013 年高考重庆卷(文))设数列 (Ⅰ )求

?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N? .

?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 .

(Ⅱ )已知

【小结】利用等差(等比)数列的有关性质解题,可以简化运算.

题型 2 拆项分组法求和
【 例 2 】( 2013 年 安 徽 ( 文 )) 设 数 列

?an ?

满 足

a1 ? 2

,

a2 ? a4 ? 8

, 且 对 任 意

n? N *

, 函 数

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x
(Ⅰ )求数列 解:由 a1

,满足

f '( ) ? 0 2

?

2 an ? ?an ? 的通项公式;(Ⅱ)若 bn ? (

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ) 2an

?2

a2 ? a4 ? 8
第1 页共11页

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x
f '( ) ? an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? 0 2
而 a1

? x) f( ? an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? sin x - an ? 2 ? cos x

?

所以, 2an ?1

? an ? an ? 2

??an ? 是等差数列.

?2
(2) bn

a3 ? 4
?( 2 an ?

d ?1

? an ? 2 ? (n -1 ) ?1 ? n ? 1

1 1 1 ) ?( 2 n ? 1 ? n ?1 ) ?( 2 n ?1 ) ? n an 2 2 2 1 1 ( 1- n ) ( 2 2 ? n ?1 )n 2 1 1 2 ? n ? n ? 3? ? 1 ? n ? n 2 ? 3n ? 1 ? n Sn ? ? 1 2 2 2 12

【小结】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列,则将数列通项公式分解,分别求和,最终达到求和目的.

题型 3 裂项相消法求和
【例 3】 (2013 年高考江西卷(文) )正项数列{an}满足 an (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn
2

? (2n ?1)an ? 2n ? 0 .

?

1 (n ? 1)an

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

解 : 1)由an2 ? (2n ?1)an ( 由于{an}是正项数列,则 a n

? 2n ? 0得(an -2n)(an +1)=0

? 2n .
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 1)an (n ? 1)(2n) 2 n (n ? 1)

(2)由(1)知 a n

? 2n ,故 bn ?

?Tn ?
【 小 结

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 2 2 3 n n ?1 2 n ? 1 2n ? 2
】 数 列 的 常 见 拆 项 有 :

1 1 1 ? ? n( n ? 1) n n ? 1



1 1?1 1 ? ? ? ? ?; n?n ? 2? 2 ? n n ? 2 ?

1? 1 1 ? ? ? ? ; ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1
题型 4 错位相减法求和

1 n ? n ?1

? n ?1 ? n .

【例 4】 (2013 年高考湖南(文) )设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1

? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ? N ?

(Ⅰ )求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式;(Ⅱ )求数列{ na n }的前 n 项和. 解 : (Ⅰ )

? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时, 2a1 ? a1 ? S1 ? S1 ? a1 ? 0, a1 ? 1.
2a n ? a1 2a n ?1 ? a1 ? ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 S1 S1

当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ?

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * .
第2 页共22页

(Ⅱ ) 设Tn

? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n

? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1
上式左右错位相减:

(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1 ? a1

1? qn ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n 1? q

? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * .
【小结】若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列,求和问题适用错位相减法.

题型 5 倒序相加法求和 【例 5】设

f ( x) ?

x2 1 ? x2

,求:

⑴ f (1 4) ?

1 f (1 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ; 1 1 f ( 2009 ) ? ?? f ( 1 ) ? f (2010 ). 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? ? ? f (2009

1 ⑵ f ( 2010 )?

【解题思路】观察

1 ?1? f ( x ) 及 f ? ? 的特点,发现 f ( x ) ? f ( ) ? 1 . x ?x?
x2 1 ? x2
,?

【解析】? f ( x ) ?

1 f ( x) ? f ( ) ? 1 . x

⑴ f (1 4) ?

1 f (1 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 1 ? 4 ? 4

⑵ 原式 ? 1 ? (2010? 1)

? 2009.

【小结】通过分析对应的通项,可结合等差数列前 n 项和的推导方法求解. ⑴ 数列求和应该从通项入手; ⑵ 数列求和的常用方法:公式法、性质法、拆项分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 【巩固练习】 1.(2013 年四川卷(文) )在等比数列 {an } 中, a2

? a1 ? 2 ,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项,求数列 {an } 的首项、公比及前

n 项和.
解 :设

?an ? 的公比为 q.由已知可得
2

a1 q ? a1 ? 2 , 4a1q ? 3a1 ? a1q 2 ,

所以 a1 (q ? 1) ? 2 , q

? 4q ? 3 ? 0 ,解得 q ? 3 或 q ? 1 ,
? 3n ? 1 2. 2

由于 a1 (q ? 1) ? 2 .因此 q ? 1 不合题意,应舍去, 故公比 q ? 3 ,首项 a1 ? 1 . 所以,数列的前 n 项和 S n

1 1 1 1 , 2 , 3 , ?, ( n ? n ), ? 的前 n 项和 S n . 2 4 8 2 1 1 1 1 【解析】 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? n ) 2 4 8 2
2.求数列 1 第3 页共33页

1 1 (1 ? n ) 1? 1 ?1 1 1 2 ? 1 n(n ? 1) ? 1 ? 1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? ? ? ? ? ? n ? ? n( n ? 1) ? 2 1 2 ? 2 2 2n ?2 4 8 1? 2
3.(2013年高考课标Ⅰ 卷(文) )已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S3

.

? 0 , S5 ? ?5 .

(Ⅰ )求 {an } 的通项公式;

(Ⅱ )求数列 {

1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1
.

解:(1)设{a n }的公差为 d,则 S n = na1 ?

n(n ? 1) d 2

由已知可得 ?5a ? 10d ? ?5, 解得a1 ? 1, d ? ?1. 故?an ?的通项公式为an =2-n. ? 1

?3a1 ? 3d ? 0,

(2)由(I)知

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a2 n?1a2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ?1

从而数列 ?

?

? 1 1 1 1 1 1 ?的前n项和为 ( - + - + 2 -1 1 1 3 ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

+

1 1 n ? )? . 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n

4.⑴ 求和:

1 1 1 1 ; ? ? ??? 1? 3 2 ? 4 3? 5 n ( n ? 2)
1 1 1 1 . ? ? ??? 2 ?1 3? 2 4? 3 n ?1 ? n

(2 )求和:

? 解:⑴

1 1 1 1 ? ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2

? 原式 ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 2 4 3 5 n n?2 ? ?

? 1? 1 1 1 ? 1?3 2n ? 3 . ? ?1 ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? n ? 1?? n ? 2 ? ?
(2)?

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

?

1 1 1 1 ? ? ??? 2 ?1 3? 2 4? 3 n ?1 ? n

?

?

2 ?1 ?

? ?

3? 2 ?

? ?

4 ? 3 ? ??

?

?

n ?1 ? n ? n ?1 ?1 .
2

?

5.【2012 高考浙江文 19】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n (1)求 an,bn; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.
2

? n ,n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡.

【解析】(1)由 Sn= 2n 当 n=1 时, a1

? n ,得

? S1 ? 3 ;
第4 页共44页

当 n ? 2 时, an

2 ? Sn ? Sn?1 ? 2n 2 ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn (2)由(1)知 anbn 所以 Tn

? 2n ? 1 ,n∈N﹡.

? (4n ? 1) ? 2n?1 ,n∈N﹡

? 3 ? 7 ? 2 ?11? 22 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n?1 ,

2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )] ? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
6.(2013 高考广东理 19)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 ,
(Ⅰ ) 求 a 2 的值; (Ⅱ ) 求数列

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

?an ? 的通项公式;
1 1 ? ? a1 a2 ? 1 7 ? . an 4

(Ⅲ ) 证明:对一切正整数 n ,有

解:(Ⅰ ) 依题意, 2 S1

1 2 ? a2 ? ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 3 2 2 (Ⅱ ) 当 n ? 2 时, 2 S n ? nan ?1 ? n ? n ? n , 3 3 1 2 3 2 2S n ?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1 a1 ? an ? 故数列 ? ? 是首项为 ? 1 ,公差为1的等差数列, 1 ?n?
所以

(Ⅲ )

an ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n 1 7 1 1 1 5 7 ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? ? ; 当 n ? 1 时, a1 4 a1 a2 4 4 4

当n

? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 ? ? a1 a2
? 1?

?

1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? 2 ? an 4 3 4

?

1 1 ?1 1? ?1 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n 4 ? 2 3? ?3 4?

1? ? 1 ?? ? ? ? n ?1 n ?

1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4 1 1 ? ? 综上,对一切正整数 n ,有 a1 a2

?

1 7 ? . an 4
第5 页共55页

四、课后巩固练习 1.(2014·江南十校联考)已知函数 f(x)=x 的图象过点(4,2), 令 an= 列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2013=( A. C. 2012-1 2014-1
a a

1 +f n

f n+

, n∈N .记数

*

) B. D. 1 2 2013-1 2014+1 1 2

【解析】由 f(4)=2 可得 4 =2,解得 a= ,则 f(x)=x .

∴an=

1 +f n

f n+



1

n+1+ n

= n+1- n,

S2013=a1+a2+a3+…+a2013=( 2- 1)+( 3- 2)+( 4- 3)+…+( 2014- 2013)= 2014-1.
故选 C 2. (2014·北京西城区期末)设 f(n)=2+2 +2 +2 +…+2 2 n A. (8 -1) 7 2 n+3 C. (8 -1) 7
3 4 7 10 3n+10

(n∈N ),则 f(n)等于(

*

)

2 n+1 B. (8 -1) 7 2 n+4 D. (8 -1) 7
3

2[1- 【解析】 由题意知 f(n)可看作以 2 为首项, 2 为公比的等比数列的前 n+4 项和, ∴f(n)= 3 1-2 2 n+4 = (8 -1).故选 D. 7
3.数列
2 ?a n ?中, a1 ? 2, an?1 ? an (n ? N ? ) ,则数列 ?a n ?的前 n 项积 S n 为

n+4

]

.

【解析】 2

2n ?1 ?1

?2

由 an ?1

2 ,得 ln a n ?1 ? 2 ln an ? ? an
n ?1

ln an ?1 ? 2, ln an

? ln an ? 2n?1 ln 2 , an ? 22
0


1 2 3

? S n ? a1 a 2 a 3…… an ? 22 22 22 22 …… ? 22
0 2 ? 21 ? 2?

22

n?

1

2 ?3 ……+

n?

2

?2

1

n

?2

1

4.数列

?a n ?中, an ? ?2n ? 2 ? (?1)n (n ? N ? ) ,则数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 为
? n(n ? 1)(n为正偶数) 2 ?? n ? n ? 2(n为正奇数)

.

【解析】 S ? ? ? n

5.(2010 山东理数) (18) (本小题满分 12 分)

已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ;

第6 页共66页

(Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 ? (1- + ? + 4 2 2 3

1 1 1 1 n + ) = ? (1)= , n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础 知识是解答好本类题目的关键。
6. 【2013 高考广东文 19】 设各项均为正数的数列 构成等比数列. (1) 证明: a2

?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 4Sn ? an2?1 ? 4n ?1, n ? N ? , 且 a2 , a5 , a14

? 4a1 ? 5 ;(2)

求数列

?an ? 的通项公式;
? 1 1 ? . an an ?1 2

(3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

【解析】 (1)当 n (2)当 n

2 2 ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 , an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 2 ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4
2

2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ?

,

an ? 0? an?1 ? an ? 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 a2 , a5 , a14 构成等比数列,? a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 6 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

由(1)可知, 4a1

2 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ? ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.
? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 .

第7 页共77页

(3)

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

?

? 2n ?1?? 2n ? 1?

1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1? 1 ? 1 ? ?1 ? ?? . 2 ? 2n ? 1 ? 2 1 x 7.(2009 广东高考)已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的 3
前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 (n ? 2). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1
x

1 ?1? 【解析】 (1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

w

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3? 3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*



Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;当 n=1 时,b1=C 符合 bn=2n-1.

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1 1 1 ? n ? 1 ?1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 1? ; ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3? 2 2 ? 2 n1 ? ?2 2 1? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 3 ?5 ? 2 5 ? 7 ? n

第8 页共88页

由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

第9 页共99页


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