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高二数学


正态分布
㈠ 知识点回顾:
1、正态分布概念:若连续型随机变量 ? 的概率密度函数为
f ( x) ? 1 2? ? e
? ( x?? )2 2? 2

, x ? (?? , ? ?)



其中 ? , ? 为常数,且 ? ? 0 ,则称 ? 服从正态分布,简记为 ? ~ N ? ? , ? 2 ? 。

f ? x ? 的图象称为正态曲线。
2、正态分布的期望与方差 若 ? ~ N ? ? , ? 2 ? ,则 E? ? ?, D? ? ? 2 3、正态曲线的性质: 标准正态分布曲线

①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x=μ 对称. ③曲线在 x=μ 时位于最高点. ④当 x<μ 时,曲线上升;当 x>μ 时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐进线,向它无限靠近. ⑤当μ 一定时,曲线的形状由σ 确定.σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 4 、 在 标 准 正 态 分 布 表 中 相 应 于 x0 的 值 ? ? x0 ? 是 指 总 体 取 值 小 于 x0 的 概 率 即

? ? x0 ? ? P ? x ? x0 ?
x0 ? 0 时,则 ?( x0 ) 的值可在标准正态 分布表中查到 x0 ? 0 时 , 可 利 用 其 图 象 的 对 称 性 获 得 ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) 来求出, ?( x0 )

P( x1 ? ? ? x2 ) ? P(? ? x2 ) ? P(? ? x1 ) ? ?( x2 ) ? ?( x1 )

5、两个重要公式:①

??x0 ? ? 1 ? ?(? x0 )
1



P?x1 ? ? ? x2 ? ? ?( x2 ) ? ?( x1 )

y
?( x0 ) 1 ? ?(? x0 )

x1
(6) 、 N ? ? , ? 2 ? 与 N ? 0,1? 的关系:
? x ?? ? ①若 ? ~ N ? ? , ? 2 ? ,有 P ?? ? x0 ? ? F ? x0 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? x ?? ? ? x1 ? ? ? ②若 ? ~ N ? ? , ? 2 ? ,则 P ? x1 ? x ? x2 ? ? ? ? 2 ? ??? ? ? ? ? ? ? ?

O

x2

x

(二)习题 一、选择题
1. 某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为 ( B ) e ( x ? R) ,则下列命题不正确的是 2? ? 10 A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分; B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同; C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同; D.该市这次考试的数学成绩标准差为10. 2.设随机变量 ? 服从标准正态分布 N ? 0,1? ,若 P ?? ? 1? ? p ,则 P ? ?1 ? ? ? 0? ? (D) p 1 A. B. 1 ? p C. 1 ? 2 p D. ? p 2 2 2 3.设随机变量 ? ~ N (? , ? ) ,且 P(? ? c) ? P(? ? c) ,则 c 等于( D ) A. 0 B. ? C. ? ? D. ? 4. 已知正态分布曲线关于 y 轴对称,则 ? 值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.不确定 5.正态分布 N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上的取值的概率分别为 p1 , p2 ,则 p1 , p2 的大小关系为( ) A. p1 ? p2 B. p1 ? p2
2

f ( x) ?

1

?

( x ?80 ) 2 200

C. p1 ? p2

D.不确定

6.设随机变量 ? ~ N (? , ? ) ,且 E? ? 3 , D? ? 1 ,则 P(?1 ? ? ? 1) =( B ) A. 2?(1) ? 1 B. ?(4) ? ?(2) C. ?(2) ? ?(4) D. 2?(2) ? 1 7.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? 2 ) , P(? ≤ 4) ? 0.84 ,则 P(? ≤ 0) ? ( A ) A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D, 0.84 8.设随机变量 ? 服从正态分布 N (2,9) ,若 P(? ? c ? 1) ? P(? ? c ? 1) ,则 c = ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 9.已知随机变量 ? 服从正态分布 N(3,a ),则 P( ? ? 3) =( D ) 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 5 4 3 2
2

10.若φ (3)=0.9987,则标准正态总体在区间(-3,3)内取值的概率为 A .0.9987 B.0.9974 C.0.944 D. 0.8413 11、设随机变量服从正态分布 N(0,1),p(ξ >1)=P,则 P(-1<ξ<1)= 1 1 A.2P B.1-P C.1-2P D.2-P 12.(07 湖南卷,5)设随机变量 ? 服从标准正态分布 N ? 0,1? 。 已知 ? ? ?1.96? ? 0.025 ,则 P ? ? ? 1.96 ? ? ( C )

(B) ( C )

A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 13.(07 浙江卷,5)已知随机变量 ? 服从标准正态分布 N ? 2, ? 2 ? , P ?? ? 4? ? 0.84 则 P ?? ? 0? ? ( A ) A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 ,则 P(? ? 0) =___0.2____


二、填空题
14.设随机变量 ? ~ N (4, ? 2 ) ,且 P(4 ? ? ? 8) ? 0.3
2

15. 已知机变量 X 服从正态分布 N (0,? ) 且 P(?2 ≤ X ≤ 0) ? 0.4 ,则 P( X ? 2) ?
2

16.一项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1 1) 内取值的概率为 0.4,则 ? 在 ,? )(? ? 0) .若 ? 在 (0, (0, 2) 内取值的概率为 .

18. (07 全国卷Ⅱ,14) :在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N ?1, ? 2 ? ?? ? 0 ? .若 ? 在 ? 0,1? 内 取值的概率为 0.4,则ξ 在 ? 0, 2 ? 内取值的概率为----------。

3


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