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2018年高考数学(理)二轮复习练习:大题规范练6 “17题~19题+二选一”46分练 Word版含答案

大题规范练(六) “17 题~19 题+二选一”46 分练 (时间:45 分钟 分值:46 分) 解答题(本大题共 4 小题,共 46 分,第 22~23 题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsin A. (1)求 B 的大小; (2)求 cos A+sin C 的取值范围. [解] (1)∵a=2bsin A, 根据正弦定理得 sin A=2sin Bsin A, 1 ∴sin B= , 2 又△ABC 为锐角三角形, π ∴B= . 6 π (2)∵B= , 6 π 1 3 ? ? ?π ? ∴cos A+sin C=cos A+sin?π - -A?=cos A+sin? +A?=cos A+ cos A+ sin A 6 6 2 2 ? ? ? ? ? π? = 3sin?A+ ?. 3? ? π 由△ABC 为锐角三角形知,A+B> , 2 ∴ π π 2π π 5π <A< ,∴ <A+ < , 3 2 3 3 6 1 3 ? π? ∴ <sin?A+ ?< , 3? 2 2 ? ∴ 3 ? π? 3 < 3sin?A+ ?< , 3? 2 2 ? ∴cos A+sin C 的取值范围为? ? 3 3? , ?. ? 2 2? 18.如图 10,四边形 ABEF 和四边形 ABCD 均是直角梯形,∠FAB=∠DAB=90°,二面角 F?AB?D 是直二面角,BE∥AF,BC∥AD,AF=AB=BC=2,AD=1. 图 10 (1)证明:在平面 BCE 上,一定存在过点 C 的直线 l 与直线 DF 平行; (2)求二面角 F?CD?A 的余弦值. 【导学号:07804238】 [解] (1)证明:由已知得,BE∥AF,AF? 平面 AFD,BE?平面 AFD, ∴BE∥平面 AFD. 同理可得,BC∥平面 AFD. 又 BE∩BC=B,∴平面 BCE∥平面 AFD. 设平面 DFC∩平面 BCE=l,则 l 过点 C. ∵平面 BCE∥平面 ADF,平面 DFC∩平面 BCE=l,平面 DFC∩平面 AFD=DF, ∴DF∥l,即在平面 BCE 上一定存在过点 C 的直线 l,使得 DF∥l. (2)∵平面 ABEF⊥平面 ABCD,FA? 平面 ABEF,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, 又∠FAB=90°,∴AF⊥AB,∴AF⊥平面 ABCD, ∵AD? 平面 ABCD,∴AF⊥AD.∵∠DAB=90°, ∴AD⊥AB. 以 A 为坐标原点, AD, AB, AF 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 如图. 由 已知得,D(1,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2), → → ∴DF=(-1,0,2),DC=(1,2,0). 设平面 DFC 的法向量为 n=(x,y,z), → ? ?n·DF=0 则? ?n·→ DC=0 ? ? ?x=2z ?x=-2y ? ?? , 不妨取 z=1,则 n=(2,-1,1), 不妨取平面 ACD 的一个法向量为 m=(0,0,1), m·n 1 6 ∴cos〈m,n〉= = = , |m||n| 6 6 由于二面角 F?CD?A 为锐角, 因此二面角 F?CD?A 的余弦值为 6 . 6 19.某大型汽车城为了了解销售单价(单位:万元)在[8,20]内的轿车的销售情况,从 2016 年上 半年已经销售的轿车中随机抽取 100 辆, 获得的所有样本数据按照[8,10), [10,12), [12,14), [14,16),[16,18),[18,20]分成 6 组,制成如图 11 所示的频率分布直方图. 图 11 已知样本中销售单价在[14,16)内的轿车数是销售单价在[18,20]内的轿车数的 2 倍. (1)求出 x 与 y,再根据频率分布直方图估计这 100 辆轿车销售单价的平均数(同一组中的数 据用该组区间的中点值作代表); (2)若将频率视为概率,从这批轿车中有放回地随机抽取 3 辆,求至少有 1 辆轿车的销售单 价在[14,16)内的概率; (3)用分层抽样的方法从销售单价在[8,20]内的轿车中共抽取 20 辆,再从抽出的 20 辆轿车 中随机抽取 2 辆,X 表示这 2 辆轿车中销售单价在[10,12)内的轿车的数量,求 X 的分布列及 数学期望 E(X). [解] (1)样本中轿车的销售单价在[14,16)内的轿车数是 x×2×100=200x, 样本中轿车的销售单价在[18,20]内的轿车数是 y×2×100=200y, 依题意,有 200x=2×200y,即 x=2y, ① ② 根据频率分布直方图可知(0.1×2+0.025+x+0.05+y)×2=1, 由①②得 x=0.15,y=0.075. 根据频率分布直方图估计这 100 辆轿车销售单价的平均数为 ×0.05×2+ 8+10 10+12 ×0.025×2+ 2 2 12+14 14+16 16+18 18+20 ×0.1×2+ ×0.15×2+ ×0.1×2+ ×0.075×2= 2 2 2 2 0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85=14.9(万元). (2)若将频率视为概率,从这批轿车中有放回地随机抽取 3 辆,则至少有 1 辆轿车的销售单 价在[14,16)内的概率为 1-C3(0.3) ×(0.7) =1-0.343=0.657. (3)因为销售单价在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]的轿车的分层 抽样比为 1∶2∶4∶6∶4∶3,故在抽取的 20 辆轿车中,销售单价在 [10,12) 内的轿车有 2 20× =2(辆), 20 0 0 3 X 的所有可能取值为 0,1,2, C2C18 153 则 P(X=

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