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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学(理)模拟试题(9)1-10全含答案


湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(9)
数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的。 1. 若 sin2θ -1+i( 2 cosθ +1)是纯虚数(其中 i 是虚数单位) ,且θ ∈[0,2π ),则θ 的值 A

? 4

B

3? 4

C

5? 4

D

? 3? 或 4 4

2. 设集合 P ? {b,1} , Q ? {c,1,2} , P ? Q , 若 b, c ? {2,3,4,5,6,7,8,9} ,则 b = c 的概率是 A

1 8

B

1 4

C

1 2

D

3 8

3. .向量 V =( an?1 ? A 4. 50

2 an an?1 ), V 是直线 y=x 的方向向量,a 1 =5,则数列 ?an ? 的前 10 项的和 , 2 2an

B

100

C 150

D 200

(2x ? 4) 2010 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2010x 2010 , 则 a0 ? a2 ? a4 ? ?? a2010 被3除的余
数是 A.0 B.1 C.2 D.不能确定 x+y+2 则 z= 的最小值( x+3 D -

?x-y+5≥0, ? 5. 已知 x,y 满足条件 ?x+y≥0, ?x≤3, ? 13 1 A 4 B C 6 3

2 3

?log 1 x ( x ? 1) ? 2 ?1 6.已知函数 f ( x ) ? ? 的反函数为 f ( x) ,在 (??,1) ? (1,?? )上的导函数为 ?( x ? 1) 2 ( x ? 1) ?

f ?( x ) ,则 f ?1 (4) ? f ?(?1) =
A. ?6 B. 1 C. ?1 D. ?5

7.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x, g ( x) ? 2sin x ,动直线 x ? t 与 f ( x ) 、 g ( x) 的图象分别 交于点 P 、 Q , | PQ | 的取值范围是 A.[0,1] B.[0,2] C.[0,

2 ]D.[1, 2 ]

8.已知两个不相等的实数 a、 b 满足以下关系式:

a 2 ? sin ? ? a ? cos ? ?

?

4

? 0, b 2 ? sin ? ? b ? cos ? ?

?
4

? 0 ,则连接 A ? a 2 ,a ? 、 B ? b 2 ,b ? 两

点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 A 相离 B 相交 C 相切 9. 直线 MN 与双曲线 C:

. D 不能确定

x2 y2 ? ? 1 的左右支分别交与 M、N 点,与双曲线 C 的右准线相交 a2 b2

于 P 点,F 为右焦点,若 FM ? 2 FN ,又 NP ? ? PM ( ? ? R ),,则实数 ? 的值为 A

1 2

B 1

C

2

D

1 3

10. 已知 f (x) 为定义在 (??,??) 上的可导函数,且 f ( x) ? f ?( x) 对于 x ? R 恒成立,则 A. f (2) ? e 2 ? f (0) , B. f (2) ? e 2 ? f (0) , C. f (2) ? e 2 ? f (0) ,

f (2010 ? e 2010 ? f (0) ) f (2010 ? e 2010 ? f (0) ) f (2010 ? e 2010 ? f (0) )

D. f (2) ? e 2 ? f (0) , f (2010 ? e 2010 ? f (0) ) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上, 一题两空的题,其答案按先后次序填写.

?1 ? 1 ? x ? ( x ? 0) ,要使 f(x)在(-∞,+∞)内连续,则 a =______ 11. 设函数 f(x)= ? x ? a ? x 2 ( x ? 0) ?
12. 已知随机变量 ? 服从正态分布,且方程 x +2x+ ? =0 有实数解得概率为
2

1 ,若 P( ? ? 2 ) 2

=0.8,则 P(0 ? ? ? 2 )=___________ 13. 将 A、B、C、D、E 五种不同的文件放入一排编号依次为 1、2、3、4、5、6 的六个抽屉内, 每个抽屉至多放一种文件.若文件 A、B 必须放入相邻的抽屉内,文件 C、D 也必须放相邻的抽 屉内,则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 14. 已 知 点 M 是 抛 物 线 y
2 2 2

种.

=4x 的 一 点 , F 为 抛 物 线 的 焦 点 , A 在 圆
P

C:(x-4) +(y-1) =1 上,则 MA ? MF 的最小值为__________; 15. . 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? A B C中 , PA 、 PB 、 PC 两 两 垂 直 , 且

PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 .设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f ( M ) ? (m, n, p) ,
其 中 m 、 n 、 p 分 别 是 三 棱 锥 M ? PAB 、 三 棱 锥 M ? PBC 、 三 棱 锥

A M B
第 15 题

C

1 1 a M ? PCA 的 体 积 . 若 f ( M ) ? ( , x, y ) , 且 ? ? 8 恒 成 立 , 则 正 实 数 a 的 最 小 值 为 2 x y
________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 已知锐角 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c, 且(b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc. (1)求角 A 的大小; (2)求 sin(A ? 10?) ? [1 ? 3 tan(A ? 10?)] 的值。

17. 如图, Rt△ AOB 中,?OAB ? 在

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以 6

直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上. (1)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (2) D 为 AB 的中点时, 当 求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小; (3)求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值.

A

D

O
18. 某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,

B

C

学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而 每个学生最多也只能参加 5 次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是 否互相独立. 规定:若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不能参加测试. (Ⅰ) 求该学生考上大学的概率. (Ⅱ) 如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为ξ ,求变量ξ 的分 布列及数学期望 Eξ 。

1 , 每次测试通过与 3

2 19. 已知二次函数 g(x)对任意实数 x 都满足 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? x ? 2x ? 1 ,且 g ?1? ? ?1 .令

f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 (m ? R, x ? 0) . 2 8

? ?

(1)求 g(x)的表达式; (2)设 1 ? m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x , 证明:对任意 x 1 ,x 2 ? ?1, m? ,恒有 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1.

x2 y2 20. 如图,已知直线 L : x ? m y ? 1过椭圆C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F,且交椭圆 a b
C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直线 G : x ? a 2 上的射影依次为点 D,K,E, (1)已知抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点。 ①求椭圆 C 的方程; ②若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF , 当 m 变化时,求 ?1 ? ?2 的值; (2)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于 一定点 N?若交于定点 N,请求出 N 点的坐标并给予证明; 否则说明理由.

21. 已知数列 {an } 的首项 a1 ? (1)求 {an } 的通项公式;

3 3an 2, , an ?1 ? , n ? 1, ? . 5 2an ? 1

(2)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

1 1 ?2 ? 2, ? ? x ? , n ? 1, ? ; 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

(3)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ?

n2 . n ?1

数学试题参考答案
1-10 ACACC DCBAA

11.

1 2

12 .0.6

13. 96

14.4 15 .1

16. 解: (1)由已知条件及余弦定理得 tan A ?

3bc sin A 3 ,? ? , 2bc cos A cos A 2cos A
……………………6 分

∴ A? sin

? ? 3 A .∵ ? (0, ) , 故A ? . 2 3 2

(2) sin( A ? 10?)[1 ? 3 tan( A ? 10?)] ? sin 70?(1 ? 3

sin 50? ) cos 50?

cos50? ? 3 sin 50? = sin70 cos50?
?

2 sin 20? cos20? sin(30? ? 50 ) =2sin70 ==- =-1 sin 40? cos50?

?

….12 分

17.解: (I)由题意,CO ? AO , BO ? AO ,??BOC 是二面角 B ? AO ? C 的平面角, 又? 二面角 B ? AO ? C 是直二面角,? CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,

? CO ? 平面 AOB ,又 CO ? 平面 COD .? 平面 COD ? 平面 AOB . --------4 分 (II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE ,则 DE ∥ AO , ??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. - -------------------------5 分 1 在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , OE ? BO ? 1 , ?CE ? CO2 ? OE 2 ? 5 .又 2

DE ?

1 CE 5 15 AO ? 3 .? 在 Rt△CDE 中, tan CDE ? . ----------7 分 ? ? 2 DE 3 3

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan

15 . --------------------8 分 3

( III ) 由 ( I ) 知, CO ? 平 面 A O B , ??CDO 是 CD 与 平 面 A O B 所 成 的 角 ,且

tan CDO ?

OC 2 ? .当 OD 最小时, ?CDO 最大??????10 分 OD OD
OA ? OB 2 3 ? 3 , tan?CDO ? , AB 3

这时, OD ? AB ,垂足为 D , OD ?

? CD 与平面 AOB 所成角的最大值为 arctan

2 3 .3

----------------------12

18. 解 : Ⅰ ) 记 “ 该 生 考 上 大 学 ” 的 事 件 为 事 件 A , 其 对 立 事 件 为 A , 则 (

2 2 64 16 1 1 2 1 1 2 P( A) ? C 4 ( )( ) 3 ( ) ? ( ) 4 ? ? ? . 3 3 3 3 243 81 2 4 3
∴ P ( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

112 131 ? . ??6 分 243 243

(Ⅱ)该生参加测试次数ξ 的可能取值为 2,3,4,5. P(? ? 2) ? ? 1 ? ? 1 , ? ?
? 3?

2

9

2 4 1 1 2 1 1 P(? ? 3) ? C2 . . . ? , P(? ? 4) ? C3 ? 1 ? ? 2 ? ? 1 ? ( 2 )4 ? 4 ? 16 ? 28 , 3 3 3 27 3 ?3? 3 3 27 81 81 ? ?

P(?

3 1 ?1? ? 2? ? 5) ? C4 ? ? ? ? ? ?

? 3? ? 3 ?

?

32 故ξ 的分布列为: . 81

E? ? 2 ?

1 4 28 32 326 ? 3? ? 4? ? 5? ? . ??12 分 9 27 81 81 81
,于是 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? 2a ? x ? 1? ? 2c ? 2 ? x ? 1? ? 2,
2 2

19.解 (1)设 g ?x ? ?ax 2 ? ? bx c

?a ? 1, ? 2 又 g ?1? ? ?1 ,则 b ? ? 1 .所以 g ? x ? ? 1 x 2 ? 1 x ? 1 . 所以 ? 2 2 2 ?c ? ?1. ?

?????5 分

(2)因为对 ?x ? [1,m] , H ?( x) ?

( x ? 1)( x ? m) ? 0,所以 H ( x) 在 [1, m] 内单调递减. x

1 1 于是 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? H (1) ? H (m) ? m2 ? m ln m ? . 2 2 1 1 1 3 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 ? m2 ? m ln m ? ? 1 ? m ? ln m ? ? 0. ???????8 分 2 2 2 2m
2 1 3 记 h(m) ? m ? ln m ? (1 ? m ? e) ,则 h' (m) ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 3 1 ? 1 ? 1 ? 0, 2 m 2m 2 m 3 3 2 2m 1 3 所以函数 h(m) ? m ? ln m ? 在 ?1,e] 是单调增函数, 2 2m

?

?

所以 h(m) ? h(e) ?

e 3 ? e ? 3?? e ? 1? ?1? ? ? 0 ,故命题成立. 2 2e 2e

??????? 12 分

20. 解: (1)易知 b ? 3

?b 2 ? 3, 又F (1,0) ,? c ? 1

a 2 ? b2 ? c2 ? 4
…………………3 分

? 椭圆C的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3
1 ) m

? l与y轴交于 M (0,?

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

?x ? m y ? 1 由? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? 0
? ? 144(m2 ? 1) ? 0
…………………………5分

? (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0
? 1 1 2m ? ? (*) y1 y 2 3

又由 MA ? ?1 AF

? ( x1 , y1 ?

1 ) ? ?1 (1 ? x1 ,? y1 ) m

? ?1 ? ?1 ?

1 m y1

同理 ?2 ? ?1 ?

1 m y2
……………………………………8分

? ?1 ? ?2 ? ?2 ?

1 1 1 2 8 ( ? ) ? ?2 ? ? ? m y1 y 2 3 3

(3)? F (1,0), k ? (a 2 ,0) ,先探索,当m=0时,直线L⊥ox轴,则ABED为矩形,由对称性

知,AE与BD相交FK中点N,且 N (

a2 ?1 ,0) 2 a2 ?1 ,0) 2
2

猜想:当m变化时,AE与BD相交于定点 N (
2

……………………9分

证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(a , y2 ), D(a , y1 ) 当m变化时首先AE过定点N

? x ? my ? 1 ?? 2 2 即(a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2mb 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ? 0 ? ? 4a 2 b 2 (a 2 ? m 2 b 2 ? 1) ? 0(? a ? 1) ? y1 ? y2 又K AN ? 2 , K EN ? a ?1 1? a2 ? my 1 2 2

而K AN ? K EN

a2 ?1 ( y1 ? y 2 ) ? my 1 y 2 ? 2 2 2 1? a a ?1 ( ? my 1 ) 2 2

(?

a2 ?1 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ( y1 ? y 2 ) ? my1 y 2 ? ? (? 2 ) ? m? 2 2 2 a ? m 2b 2 a ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2

? K AN ? K EN

?

A、N、E三点共线,

同理可得B、N、D三点共线

∴AE与BD相交于定点

N(

a2 ?1 ,0) 2

……………………13分

21.解法一: (Ⅰ)? an ?1 ?

? 1 1? 1 3an 1 2 1 ? 1 ? ? ? 1? , ,? ,? ? ? an ?1 3 ? an ? 2an ? 1 an?1 3 3a n



? 1 ? 2 1 1 2 ? 1 ? ,? ? ? 1 ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 an 3 ? an ?

???3 分

?

3n 1 2 1 2 . ? 1 ? ? n?1 ? n ,? an ? n 3 ?2 an 3 3 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ?

????????4 分

3n ? 0, 3n ? 2

????????5 分

1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? ? ? 1 ?1 ? x ? ? ? x? ? 2 ? n 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ? 1 ? x (1 ? x) ? 3

?

1 1 ? 1 ? x (1 ? x) 2

?1 ? 1 1 2 ? ? (1 ? x) ? ? ? a ? (1 ? x)2 ? 1 ? x n ? an ?
2

1? 1 ? ?? ? ? an ? ? an ≤ an , ? 原不等式成立.??????8 分 an ? 1 ? x ?
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 x ? 0 ,有

a1 ? a2 ? ? ? an ≥

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? ? ? x? ? ? ? x ? ??? ? ? x? 2 ? 2 ? 2 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ?
????????10 分

?

n 1 ?2 2 2 ? ? ? 2 ? ? ? n ? nx ? . 2 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 3 3 ?

2? 1? ?1 ? n ? 1 1?2 2 2? 3 1? 3 ? ? ? ?1 ? n ? ,????12 分 ?取 x ? ? ? 2 ? ? ? n ? ? ? n?3 3 3 ? ? 1? n? 3 ? n ?1 ? ? ? 3?
则 a1 ? a2 ? ? ? an ≥

n n2 n2 . ? ? 1 n ?1 1? 1? 1 ? ?1 ? n ? n ? 1 ? n 3 n? 3 ?
????????14 分

? 原不等式成立.
注: (Ⅱ)设 f ( x) ?


1 1 ?2 2 ? ? ? x ? ,用导数求得当 x ? n 时, f ( x) 取得最大值为a 2 ? n 3 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

.参照本标准给分。



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