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最新高中数学 不等式知识点归纳汇总

最新高中数学 不等式知识点归纳汇总 知识点一:绝对值三角不等式 1.定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 2.定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤ |a-b|+ |b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号 成立. 知识点二:绝对值不等式的解法 1.不等式|x|<a 与|x|>a 的解集: 不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} {x|x>a,或 x<-a} a=0 ? {x|x≠0} a<0 ? R 2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: (1)|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; (2)|ax+b|≥c?ax+b≤-c 或 ax+b≥c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: 巩固专区:典例 [例 1].函数 y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________. 解析:由|x+1|+ |x+3|≥|(x+1)-(x+3)|=2,故 y 的最小值 2。 [例 2].不等式|2x-1|<x+1 的解集为__________. 解析:∵|2x-1|<x+1,即 -(x+1)<2x-1<x+1, ?2x-1>-x-1, ? ∴? ?2x-1<x+1, ? ?x>0, ? 即? ?x<2, ? 2 ,∴解集为{x|0<x<2}. [例 3].(2012·肇庆模拟)|x| -2|x|-15>0 的解集是________. 解析:∵|x| -2|x|-15>0,∴|x|>5 或|x|<-3(舍去),∴x<-5 或 x>5. 答案:(-∞,-5)∪(5,+∞) [例 4].若存在实数 x 满足不等式|x-4|+|x-3|<a,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由绝对值不等式的性质知,|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1,所以函数 y=|x-4|+|x -3|的最小值为 1, 又因为原不等式有实数解,所以 a 的取值范围是(1,+∞). 答案:(1,+∞) [例 5].(2012·湖南高考)不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为________. ? ? 1? 1 解析:原不等式即|2x+1|>2|x-1|,两端平方后解得 12x>3,即 x> .答案:?x?x> ? 4 ? ? 4? 2 方法总结(一): 1.不等式|x-a|+|x-b|≥c 的解就是数轴上到 A(a), B(b)两点的距离之和不小于 c 的点所对应的实数, 只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置,就可以得出不等式的解. 2.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≥0,左侧“=”成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≤0,左侧“=” 成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|. [例 6] (2012·新课标全国卷)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. -2x+5,x≤2, ? ? 解:(1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ? ?2x-5,x≥3. 当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4; 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1,或 x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a|,?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0]. 在本例条件下,若 f(x)≥3 对一切实数 x 恒成立,求 a 的取值范围. 解:∵f(x)=|x+a|+|x-2|, ∴f(x)≥|(x+a)-(x-2)|=|a+2|. 由条件知|a+2|≥3,即 a+2≥3 或 a+2≤-3, ∴a≥1 或 a≤-5. 即 a 的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞). 方法总结(二): 1.形如|x-a|±|x-b|≥c 不等式的常用解法: (1)零点分段讨论法,其步骤为: ①求零点;②划分区间、去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,特 别注意在分段时不要漏掉区间的端点值. (2)用|x-a|±|x-b|的几何意义求解. (3)数形结合,作出 y=|x-a|±|x-b|的图象,直观求解. [例 7].已知函数 f(x)=|x-8|-|x-4|. (1)作出函数 y=f(x)的图象; (2)解不等式|x-8|-|x-4|>2. 4, x≤4, ? ? 解:(1)f(x)=?-2x+12, 4<x≤8, ? ?-4, x>8, 图象如下: (2)不等式|x-8|-|x-4|>2,即 f(x)>2. 由-2x+12=2,得 x=5. 由函数 f(x)图象可知,原不等式的解集为(-∞,5). [例 8].(2015·延边质检)已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|+a. (1)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥6; 2 (2)若不等式 f(x)≥3a 对一切实数 x 恒成立时,求实数 a 的取值范围. [自主解答] (1)当 a=0 时,求得 ? ? 1 3 f(x)=?4,- ≤x≤ , 2 2 3 ? ?4x-2,x>2, 1 -4x+2,x<- , 2 由 f(x)≥6? x≤-1 或 x≥2. 所以不等式的解集是(-∞,-1]∪[2,+∞). ? ? 1 3 (2)法

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