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安徽省涡阳县第四中学2014-2015学年高二上学期第二次质量检测数学(文)试题

第Ⅰ卷

一、选择题.本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中只有 一个选项是符合题意的,把正确选项的代号涂在答题卡上.
(1)下列命题正确的是

(A)若 a ? b ,则 ac2 ? bc2

(B)若 a ? ?b ,则 ?a ? b

(C)若 ac ? bc ,则 a ? b

(D)若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c

(2)已知等差数列{an }中, a2 ? a4 ? 6 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?

(A)30

(B)15

(C) 5 6

(D)10 6

(3)已知向量 a=(4,-2),向量 b=(x,5),且 a∥b,那么 x 等于.

(A)10 (B)5

(C)- 5 2

(D)-10

(4)已知 ?ABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别是 a, b, c ,且 a2 ? c2 ? b2 ? ab ,则角 C 等



(A) ? 3

(B) ? 或 3? 44

(C) 2? 3

(D) ? 6

(5).袋中装有 6 个白球,5 只黄球,4 个红球,从中任取 1 球,抽到的不是白球的概率为

2 (A). 5

4 (B). 15

3 (C). 5

(D).非以上答案

(6)等比数列{an}中, a1 ? 2 , q ? 2 , Sn ? 126 ,则 n ?

(A) 9

(B) 8

(C) 7

(D) 6

(7)右图为对数函数: ?1?y ? loga x, ?2?y ? logb x, ?3?y ? logc x, ?4?y ? logd x 在同一坐

标系内的图像,则 a, b, c, d ,1的大小关系是
y

A、 a ? b ? 1 ? c ? d C、 d ? c ? 1 ? b ? a

B、 b ? a ? 1 ? d ? c D、 b ? a ? d ? c ? 1

01

a b
x c d

?2x ? y ? 4

(8)设

x,

y

满足

? ?

x

?

y

?

?1

,则

z

?

x

?

y

??x ? 2 y ? 2

(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值

(B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

(9)如果函数 f (x) ? x2 ? 2(a ?1)x ? 2 在区间 ???, 4? 上是减少的,那么实数 a 的取值范围


(A)a ≤ ?3

(B)a ≥ ?3

(C)a ≤ 5

(D)a ≥ 5

(10) ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .若 a,b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则

cos B ?

(A) 2 4

(B) 1 4

(C) 3 4

(D) 2 3

第Ⅱ卷



y

?|

x

?

1 x

| ;⑤

y

?

log2

x

? logx

2, 其中

x

?

0



x

? 1;⑥

y

?

3x

?

3?x

.其中最小值

为 2 的函数是

(填入序号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(16)(本小题满分 12 分)

解关于 x 的不等式: (x ?1)(x ? a) ? 0 .

(17)(本小题满分 12 分)
在 △ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? ? . 3
若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b .

(18)(本小题满分 12 分)
等差数列{an}的各项均为正数,a1 ? 1,前 n 项和为 Sn .数列{bn}为等比数列,b1 ? 1,

且 b2S2 ? 6 , b2 ? S3 ? 8 .

(Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式;

(Ⅱ)求 1 ? 1 ? ? 1 .

S1 S2

Sn

(19)(本小题满分 12 分)

设数列{an}前 n 项和 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2, n ? N? . (Ⅰ)试求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 cn

?

n an

,求数列 {cn } 的前

n

项和 Tn .

(20)(本小题满分 13 分)
如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当

甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲

船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 B2 处,此时两船相距

10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?


120 A2

B2

105 A1

B1

甲 乙

(21)(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? x2 ? (a ? 2)x ? 5 ? a , a ? R . (Ⅰ)若方程 f (x) ? 0 有一正根和一个负根,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 x ? ?1 时,不等式 f (x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

涡阳四中 2014-2015 高二年级第二次月考
数学试题(文)答案

因为 (a ? b)2 ? 3ab ? (a ? b)2 ? 3? 4 ? (a ? b)2 ?12 ? 4, 所以 a ? b ? 4,



?a ? b ??ab ?

? 4,

4,

得 a ? b ? 2.

……………………………………………12 分

(18)解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d , d ? 0 ,{bn}的等比为 q ,

则 an ? 1? (n ?1)d , bn ? qn?1 ,

依题意有

?q(2 ? d) ? 6 ??q ? 3 ? 3d ? 8

,解得

?d ??q

? ?

1 2

,或

??d ? ??q

? ?

? 9

4 3

(舍去),……4



故 an ? n , bn ? 2n?1 .………………6 分

(Ⅱ) Sn ? 1? 2 ?

? n ? 1 n(n ?1) , 2

1 ? 2 ? 2(1 ? 1 ) …………8 分 Sn n(n ?1) n n ?1

1 ? 1 ? ? 1 ? 2[(1? 1) ? (1 ? 1) ? ? (1 ? 1 )] …………10 分

S1 S2

Sn

2 23

n n ?1

? 2(1? 1 ) ? 2n .…………12 分 n?1 n?1

19.解:(Ⅰ)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1,

所以, an ? 2an?1,

即 an ? 2, an?1

…………………………3 分

当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 2, a1 ? 2,

…………………………4 分

由等比数列的定义知,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

所以,数列{an}的通项公式为 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n , n ? N?. ………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn

?

n an

?

n 2n

,

……………………8 分

所以 Tn

?

1 2

?

2 22

?

3 23

?????

n ?1 2n?1

?

n 2n

,①

以上等式两边同乘以 1 , 得 2

1 2

Tn

?

1 22

?

2 23

?????

n ?1? 2n

n 2n?1

,



①-②,得

1 2 Tn

?

1 2

?

1 22

?

1 23

?????

1 2n

?

n 2n?1

?

1 [1? (1)n ] 22
1? 1

?

n 2n?1

? 1? (1)n 2

?

n 2n?1

2

?1?

1 2n

?

n 2n?1

?1?

n?2 2n?1



所以 Tn

?

2?

n?2 2n

.

………………………………12 分

(20)解:如图,连结 A1B2 ,由已知 A2B2 ? 10 2 ,

A1A2 ? 30

2 ? 20 ? 10 60

2,

? A1A2 ? A2B2 , 又∠A1A2B2 ? 180 ?120 ? 60 , ?△A1A2B2 是等边三角形, …………4 分

? A1B2 ? A1A2 ? 10 2 , 由已知, A1B1 ? 20 , ∠B1A1B2 ? 105 ? 60 ? 45 ,……………………6 分 在 △A1B2B1 中,由余弦定理, B1B22 ? A1B12 ? A1B22 ? 2 A1B1 ? A1B2 ? cos 45



120 A2

B2

105 A1

B1

甲 乙

? 202 ? (10 2)2 ? 2? 20?10 2 ? 2 ? 200 2

? B1B2 ? 10 2

…………11 分

因此,乙船的速度的大小为 10 2 ? 60 ? 30 2 (海里/小时) …………12 分 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里 …………13 分 (21)(Ⅰ)设方程 x2 ? (a ? 2)x ? 5 ? a ? 0 有一正根和一个负根,



?? ?

?

(a

?

2)2

?

4(a

?

5)

?

0

,…………3



?5 ? a ? 0

解得 a ? ?5 .………………6 分

(Ⅱ)当 x ? ?1 时,不等式 x2 ? (a ? 2)x ? 5 ? a ? 0 恒成立,

即 a(x ?1) ? ?x2 ? 2x ? 5 ,因为 x ? ?1 ,所以 x ?1 ? 0 ,……8 分

a ? ?x2 ? 2x ? 5 ? ?(x ?1)2 ? 4 ? ?(x ?1) ? 4 ,…………12 分

x ?1

x ?1

x ?1

而 ?(x ?1) ? 4 ? ?4 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立, x ?1

所以 a ? ?4 .…………14 分


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