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2015年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. (1) 【2015 年广东,文 1,5 分】若集合 M ? ??1,1? , N ? ??2,1,0? ,则 M ? N ? ( ) (A) ?0, ?1? (B) ?0? (C) ?1? (D) ??1,1? 【答案】C 【解析】 M ? N ? ?1? ,故选 C. (2) 【2015 年广东,文 2】已知 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ? (
2



(A)-2 (B)2 (C) ?2i (D) 2 i 【答案】D 【解析】 (1 ? i)2 ? 1 ? 2i ? i 2 ? 2i ,故选 D. (3) 【2015 年广东,文 3,5 分】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) 1 (A) y ? x2 ? sin x (B) y ? x2 ? cos x (C) y ? 2x ? x (D) y ? x ? sin 2 x 2 【答案】A 2 【解析】 ? ?x ? ? sin ? ?x ? ? x2 ? sin x ? ? ? x2 ? sin x ? ,所以非奇非偶,对于 B ,函数定义域为 R ,关于原点对 称. ? ? x ? ? cos(? x) ? x2 ? cos x ,故为偶函数;对于 C ,函数定义域为 R ,关于原点对称,因为
2

1 ? 2x ? 2? x ,所以 f (? x) ? 2? x ? 2x ? f ( x) ,故为偶函数;D 中函数的定义域为 R,关于原 2x 点对称,且 ? x ? sin 2(? x) ? ?( x ? sin 2 x) ,故为奇函数,故选 A. f ( x) ? 2x ?
?x ? 2 y ? 2 ? (4) 【2015 年广东,文 4,5 分】若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ?x ? 4 ?



(A) 10 (B) 8 (C) 5 (D) 2 【答案】C 【解析】 在平面直角坐标系中画图,作出可行域,可得该可行域是由 ? ?2, 2? ,? ?4, 4? , ? 4, ?1? 组成的三角形.由于该区域是封闭的,可以通过分别代这三个个边界点进行检验,易 2 知当 x ? 4 , y ? ?1 时, z ? 2 x ? y 取得最大值 5.本题也可以通过平移直线 y ? ? x , 3 2 z 当直线 y ? ? x ? 经过 ? 4, ?1? 时,截距达到最大,即 z 取得最大值 5,故选 C. 3 3
C 的对边分别为 a , b, cos ? ? c ?2 3, (5) 【2015 年广东, 文 5, 5 分】 设 ?ABC 的内角 A , 若a ? 2, c. B,

3 , 2

且 b ? c ,则 b ? ( (A) 3 【答案】B

) (B) 2 (C) 2 2 (D) 3
3 ,即 b2 ? 6b ? 8 ? 0 ,解得 b ? 2 或 2

【解析】由余弦定理得: a 2 ? b2 ? c 2 ?2bc cos A ,所以 4 ? b 2 ? 12 ? 2b ? 2 3 ?

b ? 4 .因为 b ? c ,所以 b ? 2 ,故选 B. (6) 【2015 年广东,文 6,5 分】若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则下列命题正确的是( ) (A) l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 (B) l 与 l1 , l2 都相交

(C) l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 【答案】A

(D) l 与 l1 , l2 都不相交 1

【解析】以正方体为模型,易知 l 至少与 l1 , l2 中的一条相交,故选 A. (7) 【2015 年广东,文 7,5 分】已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰 有一件次品的概率为( ) (A) 0.4 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 1 【答案】B 【解析】采用列举法,记 5 件产品中分别为 a, b, c, d , e ,其中 d , e 为分别对应 2 件次品,从 5 件产品中任取 2 件有 基本事件 ab, ac, ad , ae, bc, bd , be, cd , ce, de 共 10 个, 恰有一件次品的含有基本事件 ad , ae, bd , cd , ce 共 6 个, 6 故恰有一件次品的概率概率为 ? 0.6 ,故选 B. 10 x2 y 2 (8) 【2015 年广东,文 8,5 分】已知椭圆 ? ? 1 ? m ? 0 ? 的左焦点为 F1 ? ?4,0 ? ,则 m ? ( ) 25 m2 (A) 9 (B) 4 (C) 3 (D) 2 【答案】C 【解析】由题意得 c ? 4 , 25 ? m2 ? c 2 ? 16 ,故 m2 ? 9 .因为 m ? 0 ,故 m ? 3 ,故选 C. ??? ? (9) 【2015 年广东,文 9,5 分】在平面直角坐标系 x?y 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形, AB ? ?1, ?2? , ???? AD ? ? 2,1? , ???? ???? 则 AD ? AC ? ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 【答案】D ???? ??? ? ???? ???? ???? 【解析】 由平行四边形法则, 得 AC ? AB ? AD ? (1, ?2) ? (2,1) ? (3, ?1) , 所以 AD ? AC ? 2 ? 3 ? 1? (?1) ? 5 , 故选 D. (10) 【2015 年广东,文 10,5 分】若集合 E ? ?? p, q, r, s ? 0 ? p ? s ? 4,0 ? q ? s ? 4,0 ? r ? s ? 4且p, q, r, s ??? ,
card ? ?? ? card ? F? ? ( d? ? 表 示 集 合 ? 中 的 元 素 个 数 , 则 F ? ??t, u, v, w? 0 ? t ? u ? 4,0 ? v ? w ? 4且t, u, v, w ??? , 用 c a r ?



(A) 50 (B) 100 (C) 150 (D) 200 【答案】D 【解析】对于 E ,当 s ? 4 , p, q, r 可以从 0,1,2,3 这四个数任取一个,因而有 4 ? 4 ? 4 ? 64 ;当 s ? 3 , p, q, r 可以 从 0,1,2 这三个数任取一个,因而有 3 ? 3 ? 3 ? 27 ;当 s ? 2 , p, q, r 可以从 0,1 这两个数任取一个,因而 有 2? 2? 2 ? 8; 当 s ? 1 , p ? 0 ,q ? 0 ,r ? 0 , 只有一种, 故 card ( E ) ? 64 ? 27 ? ?8 ? 1 ? 100 ; 对于 F , 先处理前面两个 ? t , u ? ,当 u ? 4 , t 可以从 0,1,2,3 这四个数任取一个,有 4 种;当 u ? 3 , t 可以从 0,1,2 这 3 个数任取 3 个;当 u ? 2 , t 可以从 0,1,这四个数任取 2 个;当 u ? 1 , t ? 0 只有一种,故前面两个 ? t, u ? 的可能结果有 4+3+2+1=10 种,同理可得后面 ? v, w? 有 10 种,故 card ( F ) ? 10 ? 10 ? 100 . 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13) (11) 【2015 年广东,文 11,5 分】不等式 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 的解集为 . 【答案】 ? ?4,1? 【解析】由 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 得 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,即 ? x ? 4? ( x ? 1) ? 0 ,所以 ?4 ? x ? 1 ,即 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 的解集为

? ?4,1? .
(12) 【2015 年广东,文 12,5 分】已知样本数据 x1 , x 2 , ??? , x n 的均值 x ? 5 ,则样本数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 ,

??? , 2 xn ? 1 的均值为 . 【答案】11 1 1 【解析】 由题意有 ( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) ? 5 , 所以 x1 ? x2 ? ??? ? xn ? 5n , 所以 ? ? (2x1 ? 1? ? ? 2x2 ? 1? ? ??? ? ? 2xn ? 1?? ?? n n? 1 1 ? ? ? 11n ? 11 . ? (2x1 ? 2x2 ? ??? ? 2xn ? ? n? ? ? n n b, c ?5?2 6 , (13) 【2015 年广东, 文 13, 5 分】 若三个正数 a , 其中 a ? 5 ? 2 6 , 则b ? . c 成等比数列, 【答案】 1
2

【解析】因为正数 a , b , c 成等比数列,所以 b2 ? ac ? 1 ,所以 b ? 1 . (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) (14) 【2015 年广东,文 14,5 分】 (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? cos? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C2 的参数方程为
2 ? ?x ? t ( t 为参数) ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 ? ? ? y ? 2 2t



【答案】 ? 2, ?4?

?x ? t 2 ?x ? t2 ? x ? y ? ?2 ? ? 【解析】由 ? ? cos? ? sin ? ? ? ?2 得 x ? y ? ?2 ,由 ? 得? 2 ,所以 y 2 ? 8 x ( x ? 0) ,联立 ? 2 2 ? ? y ? 8x ? y ? 8t ? y ? 2 2t ? ?x ? 2 解得 ? ,所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为为 ? 2, ?4? . ? y ? ?4

(15) 【2015 年广东, 文 15, 5 分】 (几何证明选讲选做题) 如图,AB 为圆 O 的直径,E 为 AB 的延长线上一点, 过 E 作圆 O 的切线, 切点为 C , 过 A 作直线 EC 的垂线, 垂足为 D . 若

A B = 4 , CE ? 2 3 ,则 AD ? 【答案】8



【解析】因为 CE 是圆 O 的切线方程,所以 EC 2 ? EB ? EA ,所以 2 3

?

?

2

? EB ? ? EB ? 4 ? ,解得

. 连接 OC , 则 OC ? DE , 由 AD ? DE , 得 AD / / CO , 所以 EB ? 2 或 EB ? ?6(舍去)

CO OE , ? AD AE

2 2?2 ,故 AD ? 3 . ? AD 4 ? 2 三、解答题:本大题共 6 题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (16) 【2015 年广东,文 16,12 分】已知 tan ? ? 2 . ?? ? (1)求 tan ? ? ? ? 的值; 4? ? sin 2? (2)求 2 的值. sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
所以

4 ? 2 ? 1 ? ?3 . 解: (1)因为 tan ? ? 2 ,所以 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2 4 2sin ? cos ? sin 2? 2sin ? cos ? ? ?? (2) 2 2 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 sin ? ? sin ? cos ? ? (2 cos ? ? 1) ? 1 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos2 ? 2 tan ? 4 ? ? ? 1. 2 tan ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 (17) 【2015 年广东,文 17,12 分】某城市 100 户居民的月平均用电量(单位: 度) , 以 ?160,180 ? , ?180, 200? , ? 200, 220 ? , ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? ,

?

tan ? ? tan

?

? 280,300? 分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为 ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 的 四组用户中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应抽取多少户?

解: (1)由题意得: ? 0.002 ? 0.0025 ? 0.005 ? x ? 0.0095 ? 0.011 ? 0.0125 ? * 20 ? 1 ,解得 x ? 0.0075 . (2)由频率分布直方图可知众数为
0 . 0 0 2 *? 20

220 ? 240 ? 230 ,设中位数为 x ,则有 2 0.009 ?5 * 2 0 0? 0 1? 1 *? 2 0 2?2 0 * 0 .x 0? 1 224 2 5 ,0 所以月平均用电量的中位 .5 ,解得 ?. x
3

数为 224. 20 ( 3 ) 月 平 均 用 电 量 为 ? 220, 240 ? 的 频 率 为 0 . 0 1 2 5 * ?

0 5平 均 用 电 量 在 ? 220, 240 ? 的 用 户 中 应 抽 取 n 户 , 则 频 率 为 0 . 0 0 2 5?* 2 0 , 0 设. 月

0.0075 * 20 ? 0.15 ,月平均用电量为 ? 260, 280 ? 的频率为 0.005 * 20 ? 0.1 ,月平均用电量为 ? 280,300? 的

0, . 2月 5 平 均 用 电 量 为 ? 240, 260 ? 的 频 率 为

n 0.25 ,解得 n ? 5 所以用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 11 0.25 ? 0.15 ? 0.1 ? 0.05 的 用 户 中 应 抽 取 5 户 . ? 220, 240 ?
(18) 【2015 年广东,文 18,14 分】如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在 的平面垂直, PD ? PC ? 4 , AB ? 6 , BC ? 3 . (1)证明: BC / / 平面 PDA ; (2)证明: BC ? PD ; (3)求点 C 到平面 PDA 的距离. 解: (1)因为四边形 ABCD 为矩形,所以 BC / / AD .因为 BC ? 平面 PDA , (2) 取 CD 的中点为 O ,连接 PO , 因为 PD ? PC ,所以 PO ? DC .又平面 PDC ? 平面 ABCD ,平面 PDC ? 平面 ABCD ? DC , PO ? 平面 PDC ,所以 PO ? 平面 ABCD ,因为 BC ? 平面 ABCD ,所以 BC ? PO . 又 BC ? CD CD ? PO ? O ,所以 BC ? 平面 PDC ,因为 PD ? 平面 PDC ,所以 BC ? PD . (3)因为 PO ? 平面 ABCD ,即 P 到平面 ADC 的距离为 PO , PO ? PC 2 ? CO2 ? 7 . 1 1 因为 BC ? PD , AD / / BC ,所以 AD ? PD ,所以 S?PDA ? AD ? DP ? ? 3 ? 4 ? 6 , 2 2 1 ? 6 ?3? 7 S ? PO 2 3 7 ? ? 设点 C 到平面 RDA 的距离为 h ,由 VC ? PDA ? VP ? ADC 得 h ? ?ADC , 2 S?PDA 6 即 C 到平面 RDA 的距离为为
3 7 . 2

(19) 【2015 年广东, 文 19, 14 分】 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,n ? ?? . 已知 a1 ? 1 ,a2 ? 时, 4Sn? 2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 . (1)求 a 4 的值;
1 ? ? (2)证明: ?an ?1 ? an ? 为等比数列; 2 ? ? (3)求数列 ?an ? 的通项公式.

3 5 ,a3 ? , 且当 n ? 2 4 2

解: (1)当 n ? 2 时, 4S4 ? 5S2 ? 8S3 ? S1 ,所以 4(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? 5 ? a1 ? a2 ? ? 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? a1 ,

1 7 即 a4 ? ? a2 ? a3 ? . 4 8 (2)因为 4Sn? 2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 (n ? 2) ,所以 4Sn? 2 ? 4Sn?1 ? 4Sn?1 ? 5Sn ? Sn?1 ? 0(n ? 2)

所以 ? 4Sn? 2 ? 4Sn?1 ? ? ? ?5Sn?1 ? 5Sn ? ? ? Sn?1 ? Sn?1 ? ? 0(n ? 2) ,所以 4an? 2 ? 5a n?1 ?an?1 ? an ? 0(n ? 2) ,
1 即 4an? 2 ? 4a n?1 ?an ? 0(n ? 2) ,所以 an? 2 ? a n?1 ? an (n ? 2)(?) 4 5 1 5 1 1 当 n ? 1 时, a3 ? , a2 ? a1 ? ,所以 a3 ? a2 ? a1 ,满足 (?) 式,所以 an? 2 ? a n?1 ? an (n ? 1) 4 4 4 4 4 1 1? 1 ? 1 ? 1 1 ? 所以 an ? 2 ? a n ?1 ? ? an ?1 ? a n ? ,所以 ?an ?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 ,公比为 的等比数列. 2 2? 2 ? 2 ? 2 2 ?

1 ?1? (3)由(2)得 an ?1 ? a n ? 1 ? ? ? 2 ?2?

n ?1

所以 ?2n a n? 是以 2a1 ? 2 ,公差为 4 的等差数列.所以 2n an ? 2 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 2 , 所以 an ?

?1? ?? ? ?2?

n ?1

,两边同乘以 2 n ?1 ,可得 2n?1 an?1 ? 2n a n ? 4 ,

4n ? 2 2n ? 1 ? n?1 . 2n 2
4

(20) 【2015 年广东,文 20,14 分】已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A , B . (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不 存在,说明理由. 解: (1)由题意知:圆 C1 方程为: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 ,∴圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? . (2)由图可知,令 M ? x1 , y1 ? , | OM |? x12 ? y12 ,| C1M |? ( x1 ? 3)2 ? y12 ,

3 9 2 ? | OC1 |2 ?| OM | 2 ? | C1M | , ?32 ? x12 ? y12 ? ( x1 ? 3)2 ? y12 ,?( x1 ? )2 ? y12 ? , 2 4 ∵直线 L 与圆 C1 交于 A 、 B 两点,∴直线 L 与圆 C1 的距离: 0 ? d ? 2
?0 ? ( x1 ? 3)2 ? y12 ? 4 ,?0 ? ( x1 ? 3)2 ?

3 9 ?轨迹 C 的方程为: ( x ? )2 ? y 2 ? 2 4

9 3 5 ? ( x1 ? )2 ? 4 ,? ? x1 ? 3 4 2 3 5 x ? ( ,3] . 3
? 9 5 仅有 1 个交点, 联立方程:? ? 3 2 9 ,x ? ( ,3] 2 4 3 ?( x ? ) ? y ? ? 2 4 y ? k ( x ? 4)

(3) ∵直线 L :y ? k ( x ? 4) 与曲线 ( x ? )2 ? y 2 ?

3 2

5 得: (k 2 ? 1) x2 ? (8k 2 ? 3) x ? 16k 2 ? 0 ,在区间 ( ,3] 有且仅有 1 个解. 3 4 12 5 2 当 ?=(8k 2 ? 3)2 ? 64k( k 2 +1 ) =0 时, k ? ? ,此时, x ? ? ( ,3] ,仅有一个交点,符合题意. 5 3 3
5 当 ? ? 0 时,令 g ( x) ? (k 2 ? 1) x2 ? (8k 2 ? 3) x ? 16k 2 ,则有: g ( )?g (3) ? 0 3 2 5 2 5 2 5 2 5 4 , ] ,∴ k 的取值范围为: k ? [ ? , ]或k ? ? . 解得: k ? [? 7 7 7 7 3 2 (21) 【2015 年广东,文 21,14 分】设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? a ? a ? 1? .

(1)若 f ? 0? ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)讨论 f ? x ? 的单调性; (3)当 a ? 2 时,讨论 f ? x ? ?

4 在区间 ? 0, ?? ? 内的零点个数. x 解: (1) f (0) ? a2 ? a ? a2 ? a ? a ? a ,因为 f ? 0? ? 1 ,所以 a ? a ? 1 .当 a ? 0 时, 0 ? 1 ,显然成立;当 a ? 0 , 1 1 1 .所以 0 ? a ? .综上所述, a 的取值范围 a ? . 2 2 2 2 ? x ? ? 2a ? 1? x, x ? a 2a ? 1 1 ? (2) f ( x) ? ? ,对于 u1 ? x2 ? ? 2a ? 1? x ,其对称轴为 x ? ? a ? ? a ,开口向上, 2 2 2 ? ? x ? (2a ? 1) x ? 2a, x ? a 2a ? 1 1 所以 f ( x) 在 (a, ??) 单增;对于 u1 ? x2 ? ? 2a ? 1? x ? 2a ,其对称轴为 x ? ? a ? ? a ,开口向上, 2 2 所以 f ( x) 在 (??, a) 单减.综上, f ( x) 在 (a, ??) 单增,在 (??, a) 单减.
则有 2 a ? 1 ,所以 a ? (3)由(2)得 f ( x) 在 (a, ??) 单增,在 (0, a) 单减,所以 f ( x)min ? f (a) ? a ? a2 .

? x2 ? 3x, x ? 2 4 4 ? (i) 当 a ? 2 时, f ( x)min ? f (2) ? ?2 , f ( x) ? ? 2 , 令 f ? x? ? ? 0 , 即 f (x) ?? ? x ?0 ?. x x ? ? x ? 5x ? 4, x ? 2 4 因为 f ( x) 在 (0, 2) 单减,所以 f ( x) ? f (2) ? ?2 ,而 y ? ? 在 (0, 2) 单增, y ? f (2) ? ?2 , x 4 所以 y ? f ( x) 与 y ? ? 在 (0, 2) 无交点. x
5

4 2 当 x ? 2 时,f ( x) ? x2 ? 3x ? ? , 即 x3 ? 3x 2 ? 4 ? 0 , 所以 x3 ? 2 x2 ? x2 ? 4 ? 0 , 所以 ? x ? 2? ( x ? 1) ? 0 , x 4 因为 x ? 2 ,所以 x ? 2 ,即当 a ? 2 时, f ? x ? ? 有一个零点 x ? 2 . x 2 (ii)当 a ? 2 时, f ( x)min ? f (a) ? a ? a ,当 x ? (0, a) 时, f (0) ? 2a ? 4 , 4 4 f (a) ? a ? a 2 ,而 y ? ? 在 x ? (0, a) 单增,当 x ? a 时, y ? ? . x a 4 下面比较 f (a) ? a ? a2 与 ? 的大小 a 3 4 ?(a ? a2 ? 4) ?(a ? 2)(a2 ? a ? 2) 因为 a ? a2 ? (? ) ? ? ? 0, a a a 4 所以 f (a) ? a ? a2 ? ? . a 4 结合图像不难得当 a ? 2 , y ? f ( x) 与 y ? ? 有两个交点. x 4 4 综上,当 a ? 2 时, f ? x ? ? 有一个零点 x ? 2 ;当 a ? 2 , y ? f ( x) 与 y ? ? 有两个零点. x x

6


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