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泛函分析课后习题答案


第七章 习题解答
1.设(X,d)为一度量空间,令
U ( x0 , ? ) = {x | x ? X , d ( x, x0 ) ? ? }, S ( x0 , ? ) = {x | x ? X , d ( x, x0 ) ? ? }

问 U ( x0 , ? ) 的闭包是否等于 S ( x0 , ? ) ? 解 不一定。例如离散空间(X,d) 。 U ( x0 ,1) ={ x0 },而 S ( x0 ,1) =X。

因此当 X 多于两点时, U ( x0 ,1) 的闭包不等于 S ( x0 ,1) 。 2 设 C ? [a, b] 是区间 [a, b] 上无限次可微函数的全体,定义
f ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) 1 d ( f , g ) = ? r max a ?t ?b 1 + f ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) r =0 2
?

证明 C ? [a, b] 按 d ( f , g ) 成度量空间。 证明 (1)若 d ( f , g ) =0,则 max a ?t ?b
?

f ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) 1 + f ( r ) (t ) ? g ( r ) (t )

=0,即 f=g

f ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) 1 (2) d ( f , g ) = ? r max a ?t ?b 1 + f ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) r =0 2 ??
?

f ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) h ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) 1 max + r a ?t ?b 1 + f ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) 1 + h ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) r =0 2
?

? f ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) h ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) 1 1 ? ? r max + ? r max a ?t ?b 1 + f ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) a ?t ?b 1 + h ( r ) (t ) ? g ( r ) (t ) r =0 2 r =0 2

=d(f,g)+d(g,h) 因此 C ? [a, b] 按 d ( f , g ) 成度量空间。 3. 设 B 是度量空间 X 中的闭集, 证明必有一列开集 o1 , o2 ?on ? 包含
? on = B 。 B,而且 n =1
?

证明 令 on = Bon = {d ( x, B) ? }, n = 1,2?.on 是开集:设 x0 ? on ,则存在

1 n

x1 ? B ,使 d ( x0 , x1 ) ?

1 1 。设 ? = ? d ( x0 , x1 ) ? 0, 则易验证 U ( x0 , ? ) ? on ,这就 n n

证明了 on 是 开集
? on ? B 。若 x ? ? on 则对每一个 n,有 xn ? B 使 d ( x , x1 ) ? ,因 显然 n =1 n =1
? ?

1 n

此 xn ? ?→ x(n ? ?→ ?) 。因 B 是闭集,必有 x ? B ,所以 ? on = B 。证毕 n =1 4 设 d(x,y)为空间 X 上的距离,证明 d ( x, y ) = 是 X 上的距离 证明 (1)若 d ( x, y ) = 0 则 d ( x, y) = 0 ,必有 x=y (2)因 d ( x, y) ? d ( x, z) + d ( y, z) 而 于是 d ( x, y ) = =
?
___
___

?

___

d ( x, y ) 1 + d ( x, y )

t 在 [o, ?) 上是单增函数, 1+ t

___ d ( x, y ) d ( x, z ) + d ( y , z ) ? d ( x, y ) = 1 + d ( x, y ) 1 + d ( x, z ) + d ( y , z )

d ( x, z ) d ( y, z ) + 1 + d ( x, z ) + d ( y , z ) 1 + d ( x, z ) + d ( y , z )
__ ___ d ( x, z ) d ( y, z ) + = d ( x, z ) + d ( y, z ) 。证毕。 1 + d ( x, z ) 1 + d ( y , z )

5,证明点列{ f n }按习题 2 中距离收敛与 f ? C ? [a, b] 的充要条件为 f n 的 各阶导数在 [a,b]上一致收敛于 f 的各阶导数 证明 若{ f n }按习题 2 中距离收敛与 f ? C ? [a, b] ,即
f n (t ) ? f ( r ) (t ) 1 ——>0 d ( f , f n ) ? ? r max (r ) a ?t ?b 1 + f n (t ) ? f ( r ) (t ) r =0 2
? ? (r ) (r )

(n ? ?→ ?)

f n (t ) ? f ( r ) (t ) 1 因此对每个 r, ? r max ——>0 (r ) a ?t ?b 1 + f n (t ) ? f ( r ) (t ) r =0 2
max f n (t ) ? f ( r ) (t ) ——>0
a ?t ?b
(r )

(n ? ?→ ?) ,这样

(n ? ?→ ?) ,即 f n (t ) 在 [a,b] 上一致收

(r )

敛于 f ( r ) (t ) 。

反之,若的 f n (t)各阶导数在[a,b]上一致收敛于 f(t) ,则任意
? ? o ,存在 r0 ,使
1 ? (r ) ? ;存在 N r ,使当 n ? N r 时,max f n (t ) ? f ( r ) (t ) r 2 r = ro +1 2

?

?

?

?
2r0

, r = 0,1,2,? r0 ,取 N=max{ N1 ? N N },当 n>N 时,
? (r )

f n (t ) ? f ( r ) (t ) 1 d ( f , f n ) ? ? r max (r ) a ?t ?b 1 + f n (t ) ? f ( r ) (t ) r =0 2
? f n (t ) ? f ( r ) (t ) 1 ? ? 1 + ? r0 . + =? ? ? r max ? r ( r ) ( r ) a ?t ?b 2r0 2 1 + f n (t ) ? f (t ) r = ro +1 2 r =0 2

?

(r )


d ( f , f n ) ——>0

(n ? ?→ ?) 。证毕

6 设 B ? [a, b] ,证明度量空间 C[a, b] 中的集{f|当 t? B 时 f(t)=0}
C[a, b] 中的闭集,而集

A={f|当 t ? B 时,|f(t)|〈a } (a ? 0)为开集的充要条件是 B 为闭集 证明 记 E={f|当 t ? B 时 f(t)=0}。设 { f n } ? E , { f n } 按 C[a, b] 中

度量收敛于 f,即在[a,b]上 f n (t ) 一致收敛于 f(t) 。设 t ? B ,则
f (t ) = lim f n (t ) = 0 ,所以 f ? E,这就证明了 E 为闭集
n ? ??

下面证明第二部分 充分性。当 B 是闭集时,设 f ? A。因 f 在 B 上连续而 B 是有 界闭集,必有 t0 ? B ,使 f (t0 ) = max f (t ) 。设 a ? f (t0 ) = ? ? 0 。我们证
t?B

明必有 U ( f , ? ) ? A 。设 g ?U ( f , ? ) ,则若 t ? B ,必有 f (t ) ? g (t ) ? ? ,于 是 | g (t ) |? f (t ) ? g (t ) + | f (t ) |? ? + | f (t0 ) = a ,所以 g ? A 这样就证明了 A 是 开集

必要性,设 A 是开集,要证明 B 是闭集,只要证明对任意
tn ? B, n = 1,2.....若 tn ? ? t0 (n ? ?→ ?) ,必有 t0 ? B

倘若
t0 ? B ,则定义 f o (t ) = a ? | t ? t0 | 。于是对任意 t ? B , f o (t ) = a ? | t ? t0 |? a
___

因此 f o (t ) ? A 由于 A 是开集,必有 ? ? 0 ,当 f ? C[a,b]且 d ( f , f 0 ) ? ? 时, f ? A 定义,n=1,2。 。 。 。 。则 d ( f n , f 0 ) =| tn ? t0 | ? ? 0(n? ? ?) 因此当 | tn ? t0 |? ? 时, f n ? A 。 但是 f n (tn ) = a? | t ? t0 | + | tn ? t0 |= a ,此与 f n ? A 的必要条件:对 任意
t ? B ,有 f n (t ) ? a 矛盾

因此必有 t0 ? B 证毕 7 设 E 及 F 是度量空间中的两个集,如果 d ( E, F ) ? o ,证明必有不相 交开集 O 及 G 分别包含 E 及 F 证明 设 d ( E, F ) = ? ? o 。令 o = {x | d ( x, E ) = }, G = {x | d ( x, F ) = }
2 2

?

?

则 E ? O, F ? G, 且 O ? G ? ? ,事实上,若 O ? G ? ? ,则有
z ?O ?G ? ?
) ,F 中点 y 使 d ( y, z 〈 ) , ,所以存在 E 中的点 x 使 d ( x, z〈 2 2

?

?

) ? ,此与 d ( x, y ) ? d(E,F) 于是 d ( x, y ) ? d ( x, z ) + d ( y, z〈 = ? 矛盾。证毕

8

设 B[a,b]表示[a,b]上实有界函数全体,对 B[a,b]中任意 两元素 f,g ? B[a,b],规定距离为 d ( f , g ) = sup | f (t ) ? g (t ) | 。
a ?t ?b

证明 B[a,b]不是可分空间 证明
0

对任意 t0 ? [a,b],定义 ft (t ) = ? 1, t ?[a, t0 )2, t ?[to , b)}
0 1 2

则 ft (t ) ? B[a,b],且若 t1 ? t 2 , d ( ft , ft ) = 1

倘若 B[a,b]是

不可分的,则有可数稠密子集

?g n ?

? n =1

,对任意 t0 ? [a,b],

1 1 U ( f t , ) 必有某 g ,即 d ( g n , f t0 ) ? 。由于[a,b]上的点的全体 0 n 2 2 1 是不可树集。这样必有某 g n , t1 , t 2 ,使 g n ? U ( f t1 , ) , 2 gn ? U ( f t2 , 1 ) ,于是 d ( ft1 , ft2 ) ? d ( ft1 , g n ) + d ( g n , ft2 ) ? 1 + 1 = 1 此与 2 2 2

d ( ft1 , ft2 ) = 1 矛盾,因此 B[a,b]不是可分空间。证毕

9

设 X 是可分距离空间, ? 为 X 的一个开覆盖,即 ? 是一族

开集,使得对每个
x ? X ,有 ? 中的开集 O,使得 x ? O ,证明必可从 ? 中选出可

数个集组成 X 的一个开覆盖。 证明 若 x ? X ,必有 Ox ? ? ,使 x ? Ox ,因 Ox 是开集,必

有某自然数 n,使 U ( x, ) ? Ox 。
1 ) 中必有 2n 1 1 1 某 U ( xk , ) ,且 U ( xk , ) ? Ox 。 。事实上,若 y ? U ( xk , ) ,则 2n 2n 2n 1 1 1 1 d ( y , x ) ? d ( y , xk ) + d ( x k , x ) ? + = 所以 y ? U ( xk , ) ? Ox 。 2n 2n n 2n 1 这样我们就证明了对任意 x ? X ,存在 k,n 使 x ? U ( xk , ) 且 2n 1 1 存在 U ( xk , ) ? O 任取覆盖 U ( xk , ) 的 O,记为 Ok ,n 是 2n 2n



?xn ?

1 n

?

是 X 的可数稠密子集,于是在 U ( x, n =1

X 的可数覆盖。证毕 10 X 为距离空间, A 为 X 中子集, 令 f ( x) = inf d ( x, y), x ? X ,. 证明 f ( x)
y?A

是 X 上连续函数 证明
y?A

若 x0 ? X ,. 对任意 ? ? 0 ,存在 y0 ? A ,使
?
2
? = f ( x0 ) + ? 2 。取 ? = 2 ? 0 。则当 d ( x, x0 ) ? ? 时

d ( xo , y0 ) ? inf d ( x, y ) +

f ( x) = inf d ( x, y) ? d ( x, y0 ) ? d ( x, x0 ) + d ( xo , y0 ) ? f ( x0 ) + ? 因此 f ( x) ? f ( x0 ) ? ? 。

由于 x 与 x0 对称性,还可得 f ( x0 ) ? f ( x) ? ? 。于是 | f ( x0 ) ? f ( x) |? ? 。这 就证明了 f ( x) 是 X 上连续函数 11 设 X 为距离空间,F1 , F2 是 X 中不相交的闭集, 证明存在开集
G1 , G2 使得 G1 ? G2 = ?, G1 ? F1 , G2 ? F 2 。

证明

若 x ? F1 ,则由于 x ?F 2 , F 2 为闭集,必有 ? x ? 0 ,使
?x
2 ) ,类似 G2 = ? U ( y,
x?F 2

U ( x, ? x ) ? F2 = ? ,令 G1 = ? U ( x,
x?F 1

?y
2

) ,其中

U ( y, ? y ) ? F1 = ? ,显然 G1 , G2 是开集,且 G1 ? F1 , G 2 ? F 2 。
G1 ? G2 ? ?, ,则必有 x ? F1 , y ?F 2 ,使 U ( y,

倘若

?y
2

) ? U ( x,

?x
2

) ? ? 。设

z ? U ( y,

?y
2

) ? U ( x,

?x
2

) 。不妨设 ? x ? ? y ,则

? x ? ? y d ( y , x ) ? d ( x, z ) + d ( z , y ) ?

?x
2

+

?y
2

? ? x 因此 y ?U ( x, ? x ) ,此与

U ( x, ? x ) ? F2 = ? 矛盾。这就证明 了 G1 ? G2 = ? 。证毕

12



X,Y,Z 为三个度量空间,f 是 X 到 Y 中的连续映

射,g 是 Y 到 Z 中的连续映射,证明复合映射 ( g. f )( x) = g (( f ( x)) 是 X 到 Z 中的连续映射 证明 设 G 是 Z 中开集,因 g 是 Y 到 Z 中的连续映射,

所以 g ?1 (G ) 是 Y 中开集。 又 f 是 X 到 Y 中的连续映射, 故 f ?1 ( g ?1 (G)) 是 X 中 的开集。这样 ( g. f ) ?1 (G) = f ?1 ( g ?1 (G)) 是 X 中 的开集,这就 证明了 g。f 是 X 到 Z 的连续映射。证毕 13 X 是度量空间,证明 f 是连续映射的充要条件是对每个实数 c,集 合 {x | x ? X , F ( x) ? c} 和集合 {x | x ? X , F ( x) ? c} 都是闭集

证明 设 f 是 X 上连续的实函数,又对每一实数 c,G=(c, ? )是 开集,于是 f ?1 (G) = {x | x ? X , F ( x) ? c} 是开集。这样 {x | x ? X , f ( x) ? c} =
C{x | x ? X , f ( x) ? c} 是闭集。同理 {x | x ? X , f ( x) ? c} 是闭集。

反之,若对每个实数 c,{x | x ? X , f ( x) ? c} 和 {x | x ? X , f ( x) ? c} 都是闭 集,则 {x | x ? X , f ( x) ? c} 和 {x | x ? X , f ( x) ? c} 都是开集。设 G 是直线上 的开集,则 G = ? (ai , bi ) 或 G = ? (ai , bi ) ,其中 (ai , bi ) 是 G 的构成区间。
i =1 i =1 ? n

不妨设 G = ? (ai , bi ) 于是
i =1

?

f (G ) = ?{x | x ? X ,a i ? f ( x) ? bi } = ? ({x | x ? X , f ( x) ?a i }) ? ({x | x ? X , f ( x) ?bi })
i =1 i =1

?1

?

?

是开集。因此 f 是连续的实函数。证毕 14 证明柯西点列是有界点列。 证明 设{ xn }是 X 中的柯西点列。对 1>0,存在 N,使当 n,

{d ( xi , xN ) ?} + 1. 则对任意 xn 有 m ? N 时, d ( xn , xm ) ? 1. ,令 M = max 1?i ? N

d ( xn , x N ) ? M 。因此{ xn }是有界点列。证毕

15 证明第一节中空间 S,B(A) ,以及离散的度量空间都是完备 的度量空间 证明 (1)S 是完备的度量空间

设{ xn }是 S 中的柯西点列, xn = (?1( n ) , ? 2 ( n ) ,??i( n.) ?) 对每一个固定 的 i,由于
2i t ? ? 0(t ? ? 0) ,因此对任意 ? ? 0, 存在 ? ? 0 ,当 0 ? t ? ? 时 1 ? 2i t

? 2i t 1 | ?i( n ) ? ?i( m ) | ? ? 0 ? ? d ( x , x ) = ?? , , 对此 , 存在 n , m 时, ? N ? n m i (n) 1 ? 2i t ? ? i( m ) | i =1 2 1+ | ? i

因此 ?
i =1

?

1 | ? i( n ) ? ? i( m ) | 2i ? ? ? ,从而 | ?i( n) ? ?i( m) |〈 1? ? ? 。这样对固定的 i, i (n) (m) 2i ? 2 1+ | ? i ? ? i |

( n) {?i( n) }? n =1 是柯西点列。设 ?i ? ? ?i (n? ? ?) 。令 x = (?1 , ? 2 , ?? i ?) ,故有

x ? S ,且对任意给定 ? ? o ,存在 i0 ,使

1 ? ? 。存在 Ni , (1 ? i ? i0 ), i 2 i =i0 +1 2

?

?

使 n ? Ni 时, | ?i( n ) ? ?i |?
| ? i ? ? i( n ) | 1 ? ? i 1+ | ? i ? ? i( n ) | i =1 2
?

?
2i0

。于是当 n ? N = max{ N1 ,? Ni } 时,
0

?

1 | ? i ? ? i( m ) | ? 1 ? ? ? .i0 + = ? i (n) (m) + ? i 〈 ? ? i | i =i +1 2 2i0 2 i =1 2 1+ | ? i
i0
0

所以{ xn }按 S 的距离收敛于 x (2)B(A)是完备的度量空间

设 {xn }? n =1 是 B(A)中的柯西点列,任意 ? ? 0 ,存在 N,使当 n, m ? N 时 d ( xn , xm ) ? ? 。这样对任意 t ? A ,
| x n (t ) ? x m (t ) |? sup | x n (t ) ? x m (t ) |? ? 。因此对固定的 t,{ xn (t ) }是柯西点
t? A

列。设 xn (t )? ? x(t )(n? ? ?) ,由于 n,m ? N 时 | xn (t ) ? xm (t ) |? ? ,令 m? ? ? , 得 | xn (t ) ? x (t ) |? ? ,这样 | x(t ) |?| xn (t ) | +? ,于是 sup | x(t ) |? sup | xn (t ) | +? ? +? 故 x ? (A) , 且 n〉N 时, sup | x n (t ) ? x m (t ) |? ? 。这就证明了按
t? A

B(A)中距离收敛于 x (3)离散的度量空间(X,d)是完备的度量空间 设 {xn }? >0,存在 N,当 n,m ? N 是 n =1 是 X 中柯西点列,则对
d ( xn , xm ) ? 1 1 。特别对一切 n>N, d ( x n , x N ) ? ,于是 n>N 是 xn = xN 。因 2 2 1 2

此 xn ? ? x N (n? ? ?) ,即(X,d)是完备的度量空间。证毕 17 设 F 是 n 维欧几里得空间 R n 的有界闭集,A 是 F 到自身中

的映射,并且适合下列条件:对任何 x, y ? F ( x ? y) ,有
d ( Ax, Ay ) ? d ( x, y) 。

证明映射 A 在 F 中存在唯一的不动点

证明

定义 F 上的函数 f(x)=d(Ax,x) 。由于

| f ( x) ? f ( y) |=| d ( Ax, x) ? d ( Ay, y) |? d ( Ax, Ay ) + d ( x, y) ? 2d ( x, y) 因此

f 是 F 上的连续映射,因 F 是有界闭集,必有 x0 ? F ,使
x0 ? Ff ( x0 ) = min f ( x) 。
x?F

我们先证明 f ( x0 ) = 0 ,若 f ( x0 ) ? 0 ,则 Ax0 ? x0 。记 x1 = Ax0 , 则 Ax1 = A2 x0 ,于是
f ( x1 ) = d ( Ax1 , x1 ) = d ( A2 x0 , Ax0 ) ? d ( Ax0 , x0 ) = f ( x0 )

此与 f ( x0 ) 是 f 的最小值矛盾。故 d ( Ax0 , x0 ) = 0 即 Ax0 = x 0 若 x1 是 A 的另一个不动点,则
d ( x0 , x1 ) = d ( Ax0 , Ax1 ) ? d ( x0 , x1 ) ,矛盾

16

证明 证明 若

l ? 与 C(0,1]的一个子空间等距同构

定义 T ( x, t ) ? C (0,1], t ? (0,1] , x = (?1 , ? 2 ,?? i ?) ? l ? ,

1 1 1 T ( x, t ) = ? i , t = ; 或线性,t ? ( , ), i = 1,2? i i +1 i

若 x = (?1 , ? 2 ,?? i ?) ? l ? , y = (?1 ,? 2 ,?? i ?) ? l ? ,则
d ( x, y ) = sup | ? i ? ? i |= sup | T ( x, t ) ? T ( y, t ) |= d (Tx , Ty ) 因此 T 到 l ? 到(0,1]的
t?( 0 ,1]

子空间的一个同构映射,即 l ? 到(0,1]的一个子空间等距同构。 18 设 X 为完备度量空间,A 是 X 到 X 中的映射,记
a n = sup
x? z
?

d ( A n x, A n x1 ) d ( x, x 1 )

若 ? an ? ? ,则映射 A 有唯一不动点
n =1

证明 因 ? an ? ? , 则必有 N, 使 aN ? 1 。 这样对任意 x, x1 ? X,若 x ? x1 ,
n =1

?


d ( AN x, An x1 ) ? aN d ( x, x1 )

这样由压缩映射原理 A N 有不动点 x* ,即 x* = A N x* 。由于
A N x* =A A N x* =A x* , A x* 也是 A N 的不动点。 A N 的不动点是唯一的,因

此 x* = A x* ,即 x* 是 A 的不动点。 若 x’是 A 的任意一个不动点, 即 A x’= x’。 于是 A N x’= A n ?1 x’=… = A x’= x’。这样 x’也是 A N 的不动点,由于 A 的不动点是唯一的,因
N

此 x* = x’。即 A 的不动点也是唯一的。证毕。

19

设 A 为从完备度量空间 X 到 X 中映射,若在开球
U ( x0 , r ) (r ? 0) 内适合

d ( Ax, Ax' ) ? ?d ( x, x' ),0 ? ? ? 1.

又 A 在闭球 S ( x0 , r ) = {x | d ( x, x0 ) ? r} 上连续,并且
d ( x0 , Ax0 ) ? ? (1 ? ? )r.

证明:A 在 S ( x0 , r ) 中有不动点。 证明 设 xn = A n x0 , n = 1,2 …。则

d ( xn?1 , xn ) = d ( An x0 , An?1 x0 ) ? ?d ( An?1 x0 , An?2 x0 ) ? ? n?1d ( Ax0 , x0 ) ? ? n (1 ? ? )r

任给 ? ? 0,存在 N,使 ? N ? ,这样若 m ? n, 且 n, m ? N ,有
d ( xn , xm ) ? d ( xn , xn+1 ) + d ( xn+1 , xn+2 ) + ? + d ( xm?1 , xm ) ? ? n+1 (1 ? ? )r + ? n+2 (1 ? ? )r + ? + ? m (1 ? ? )r ? ? n+1r ? ? N r ? ? .

? r

因此{xn }n =1 是柯西列。设 xn → x* (n → ?) ,因
d ( xn , x0 ) ? d ( xn , xn ?1 ) + d ( xn ?1 , xn?2 ) + ? + d ( x1 , x0 ) ? ? n (1 ? ? )r + ? n ?1 (1 ? ? )r + ? + ? (1 ? ? )r = ?? (1 ? ? )r ? r
i i =1 n

?

因此 xn ?U ( x0 , r ) ? S ( x0 , r ) 。这样 x* = lim x ? S ( x0 , r ) 。因为 A 在
n ? ??

S ( x0 , r ) 上连续。Ax * = lim Axn = lim xn+1 = x* , 即 x* 是 A 在 S ( x0 , r ) 中的不动
n ? ?? n ? ??

点。 A 的不动点不一定是唯一的。例如 X 是离散的度量空间。A 是 X 中的恒等映射。在开球 U ( x0 ,1) 内只有 x0 一点,自然满足条件 而 d ( x0 , Ax0 ) = 0 , 也满足 d ( x0 , Ax0 ) ? ? (1 ? ? )r. 。 d ( Ax, Ax' ) ? ?d ( x, x' ),0 ? ? ? 1. 。 但 X 中每一点皆为 A 的不动点。证毕 20 设
a jk , j, k = 1,2?, n 为一组实数,适合条件 ? (aij ? ? ij ) ? 1 ,其
i , j =1 n 2

中 ? jk 当 j=k 时为 1 ,否则为 0。证明:代数方程组

? a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ?a x + a x + + a x = b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ????????? ? ? ?an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn = bn

对任意一组固定的 b1 ,b2, ,?bn ,必有唯一的解 x1 , x 2 ,? x n 。 证明
X ' ? Rn 则

记定义 R n 到 R n 内的映射 T:TX= --AX+X+b。设 X

d (TX , TX ' ) = (? (? (aij ? ? ij )( x 'j ? x j )) 2 ) 2 ? ? (? (aij ? ? ij ) 2 ? ( x 'j ? x j )) 2 ) 2
i =1 j =1 i =1 j =1 j =1

n

n

1

n

n

n

1

? ( ? (aij ? ? ij ) ) d ( X , X ' )
i , j =1

n

1 2 2

由于 ? (aij ? ? ij ) ) <1,于是 T 有唯一不动点 X * ,即
i , j =1

n

1 2 2

TX * = ? AX * + X * + b = X * ,因此 AX * = b 有唯一解 X 。证毕
*

21

设 V [a, b] 表示[ a, b ]上右连续的有界变差函数全体,其线性运 算为通常函数空间中的运算。在 V [a, b] 中定义范数
x = x(a) + V ( x) ,证明 V [a, b] 是 Banach 空间。
a b

证明

V [a, b] 显然是线性空间。下证 V [a, b] 是赋范线性空间。

1. 若 x ? V [a, b] ,显然 x ? 0。 若 x =0,则 x(a) + V ( x) =0,即 x(a) =0,且 V ( x ) =0。由 V ( x ) =0
a a a b b b

可知 x 在 [a, b] 上为常值函数,于是 x(t ) ? x(a) = 0 2. 若 x ? V [a, b] , ? ? (??,+?),
?x = ?x ( a ) + V (?x ) = ? x ( a ) + ? V ( x ) = ? x
a a b b

3. 若 x, y ?V [a, b] ,
x + y = ( x + y )( a) + V ( x + y ) ? x(a) + y (a) + V ( x) + V ( y )
a a a b b b

其中 V ( x + y ) ? V ( x) + V ( y ) 的理由如下:
a a a

b

b

b

对任意分划 T : a = t0 ? t1 ? ? ? tn = b,

? ( x + y)(t ) ? ( x + y)(t
i =1 i

n

i ?1

) ? ? x(ti ) ? x(ti ?1 ) + ? y (ti ) ? y (ti ?1 ) ,
i =1 i =1

n

n

因此
V ( x + y ) = sup{? ( x + y )(ti ) ? ( x + y )(ti ?1 ) } ? sup{? x(ti ) ? x(ti ?1 ) } + sup{? y (ti ) ? y (ti ?1 ) } = V ( x) + V ( y )
a T i =1 T i =1 T i =1 a a b n n n b b

再证 V [a, b] 是完备的。 设 {xn } 为 V [a, b] 中柯西列, 对任意 ? ? 0 , 存在 N , 当 n, m ? N 时,
xn ? xm = xn (a) ? xm (b) + V ( xn ? xm ) ? ? 。
a b

于是, xn (a) ? xm (b) ? ? 。而对任意 t ? (a, b] ,
( xn (t ) ? xm (t )) ? ( xn (a) ? xm (a)) ? V ( xn ? xm ) ? ?
a b

从而 ( xn (t ) ? xm (t ) ? xn (a) ? xm (a) + ? ? 2? 这就证明了{ xn (t ) }是 [a, b] 上一致收敛的函数列。设 {xn } 一致 收敛于 x 。 由于 xn 是 [a, b] 上右连续的函数,于是对任意 t0 ?[a, b) ,
lim xn (t ) = xn (t0 ), n = 1,2?. 因为 {xn } 在 [a, b] 上一致收敛于 x 。
x →t0

xn (t ) = lim lim xn (t ) = lim xn (t0 ) = x(t0 ) 因此 lim x (t ) = lim lim n →? n →? n →?
+ x →t 0 + x →t 0 + t →t 0

即 x 亦在 [a, b] 上右连续。 对任意 ? ? 0 ,存在 N ,当 n, m ? N 时,
x n ? x m = xn ( a ) ? xm ( a ) + V ( xn ? xm ) ? ?
a b

对 [a, b] 上的任一分划 T : a = t0 ? t1 ? ? ? tl = b ,有

? ( xn (ti ) ? xm (ti )) ? ( xn (ti?1 ) ? xm (ti?1 )) ? xn (a) ? xm (a) = V ( xn ? xm ) ? ?
i =1 a

l

b

令m→?,

? ( x (t ) ? x(t )) ? ( x (t
i =1 n i i n

l

i ?1

) ? x(ti ?1 )) ? ?

(* ) 因此,从而 x = xn ? ( xn ? x) ?V [a, b]. 由(*)式及分点的任意 性知, V ( xn ? x) ? ? . 从而
a b

xn ? x = xn (a) ? x(a) + V ( xn ? x) ? 2? .
a

b

即 {xn } 按 V [a, b] 中范数收敛于 x 。 这样我们就证明了 V [a, b] 是完备的赋范线性空间,即 Banach 空间。证毕。 22.设 X 1 , X 2 ,? 是一列 Banach 空间,
x = {x1 , x2 ,? xn ?}

是一列元素,其中 xn ? X n , n = 1,2,?, 并且 ? xn ? ?, 这种元素列
n =1

?

p

的全体记成 X ,类似通常数列的加法和数乘,在 X 中引入线性运算。 若令 x = (? xn ) ,
1 p

?

p

证明:当 p ? 1 时,X 是 Banach 空间。

n =1

证明

X 显然是线性空间。 先证 X 是赋范线性空间。 1. 若 x = ( x1 , x2 ,?) ? X , 显然 x ? 0 。 若 x = 0 ,则 (? x n ) = 0, 即对任意 n , xn = 0 。于是 xn = 0 ,
1 p

?

p

n =1

从而 x = 0 。 2. 若 x = ( x1 , x2 ,?) ? X , ? ? (??,+?),

? x = ( ? ? x n ) = ? ( ? xn ) = ? x
1 p 1 p

?

p

?

p

n =1

n =1

3. 若 x = ( x1 , x2 ,?) ? X , y = ( y1 , y2 ,?) ? X ,则
x + y = (? xn + yn ) ? (? ( xn + yn ) ) ? (? ( xn ) ) + (? ( yn ) ) p = xn + yn
1 p 1 p 1 p 1

?

p

?

p

?

p

?

p

n =1

n =1

n =1

n =1

再证 X 是完备的。设 {xi } 是 X 中柯西列,其中
(i ) xi = ( x1(i ) , x2 ,?), i = 1,2,?.
~ ~

~

~

对任意 ? ? 0, 存在 i0 ,使当 j ? i0 时, xi ? x j ? ? , 即
(? ( x ? x
n =1 (i ) n ? p ( j) n

) )p ??

1

(i ) ( i →? ) (i ) 于是对每一个固定的 n,{xn → xn . } 是 X n 中的柯西列。设 xn
? p

(i ) ( j) 令 x = ( x1 , x2 ,?) ,由于 (? ( xn ? xn ) ) ? ? ,因此对任意 K ,
1 p

n =1

(? ( x ? x
n =1 (i ) n

K

p ( j) n

) ) ? ? ,令 j → ? 得

1 p

?x
n =1

K

p (i ) n

?x

( j) n

? ? p , p ? 1.

再令 K → ? 得
~ ~

?x
n =1

?

p (i ) n

? xn

? ? p ? ?, p ? 1.
? p

(i ) 因此 xi ? x ? X , 从而 x = xi ? ( xi ? x) ? X ,且由 (? xn ? xn ) ? ?
1 p

~

n =1

知 xi 按 X 的范数收敛于 x 。由以上证明可知 X 是 Banach 空间。证毕。

~

23.设 X 是赋范线性空间,X*X 为两个 X 的笛卡儿乘积空间,对每 个 ( x, y) ? X * X , 定义
( x, y ) = x + y ,
2 2

则 X*X 成为赋范线性空间。 证明 X*X 到 X 的映射 ( x, y) → x + y 是

连续映射。 证明 设 ( xn , yn ) → ( x0 , y0 )(n → ?), 则
x n ? x0
2

+ yn ? y0

2

→ 0(n → ?),

于是 xn ? x0 → 0, yn ? y0 → 0(n → ?). 所以,
( xn + yn ) ? ( x0 ? y0 ) ? xn ? x0 + yn ? y0 → 0.

这就证明了 ( x, y) → x + y 是连续映射。证毕。 24. 设 A 是实(复)数域, X 为赋范线性空间,对每个 (? , x) ? X * X , 定义 ? , x = ? + x , 证明: (? , x) → ?x 为 X * X 到 X 中的连续映射。 证明 设 (? n , xn ) → (? 0 , x0 ), 同第 23 题一样可证
2 2

? n → ? 0 , xn → x0 (n → ?), 由于 {? n } 收敛,必有 M ? 0 ,使 ? n ? M . 则
? n xn ? ? 0 x0 ? ? n xn ? ? n x0 + ? n x0 ? ? 0 x0 ? M xn ? x0 + x0 ? n ? ? 0 → 0(n → ?).

因此映射 (? , x) → ?x 是连续的。证毕。 25 C 为一切收敛数列所成的空间,其中的线性运算与通常序列空间 相同。 在 C 中令 x = sup xi , x = {xn } ? C, 证明:C 是可分的 Banach 空间。
i

证明

由第七章§4 例 1 知是 Banach 空间。 由定义易知 C 是 l ? 中的

线性子空间,且范数定义是一致的。因此要证 C 是 Banach 空间,由§ 4 定理 1,只要证 C 是 l ? 中的闭子空间即可。 设 {xn } ? C , xn = (?1( n ) , ? 2( n) ,?); x ? l ? , x = (?1 , ? 2 ,?); xn ? x → 0(n → ?). 对于任意 ? ? 0, 存在 N , 使 n ? N 时,有 xn ? x ? 。特别地 x N ? x ? , 即 sup ?i( N ) ? ?i ? , 由于 xN ? C, 因此存在 K , 对任意 i, j ? K , ?i( N ) ? ? (j N ) ? .
i

?

?

?

3

3

?

3

3

于是 ?i ? ? j ? ?i ? ?i( N ) + ?i( N ) ? ? (j N ) + ? (j N ) ? ? j ? + + = ? .
3 3 3

?

?

?

于是 {?i } 是柯西列,即 x = (?1 , ? 2 , ?) ? C. 下面证明 C 是可分的。 设 An = {x | x = (r1 ,?, rn , r , r ,?), ri ? Q, r ? Q}, n = 1,2,?. 则 An ? C , ? An ? C 且
n =1 ?

?A
n =1

?

n

xn = a. 对于任给的 是可数的。若对任意 x = ( x1 ,?, xn ,?) ? C, 设 lim n →?

? ? 0, 存在 N , 使当 n ? N 时,必有 xn ? a ?

?
2

。取有理数 r , 使 a ? r ? . 取
2

?

有理数 r1 , r2 ,?, rN , 使 xi ? ri ? ? , i = 1,2,?, N .
?

令 y = (r1 ,?, rN , r , r ,?), 则

y ? ? An , 且 x ? y = sup{ x1 ? r1 , x2 ? r2 ,?, xN ? rN , xN +1 ? r ,?} ? ? .
n =1

故 ? An 是 C 的可数稠密子集。这就证明了 C 是可分的 Banach 空间。证
n =1

?

毕。

(7)
例 1 设{ Fn }是完备度量空间(X, d)中的非空闭集,且对任意 n, Fn
?

?

F n+1

.若

d

n

=sup{d(x,y)|x,y∈ Fn

},满足条件 lim

n →?

d

n

=0。求证∶
n =1

Fn

≠ ?.

证明:任取 xn ? Fn ,n=1,2,……。因 lim d n = 0 ,所以对任意的
n →?

?

>0,存在 N,当 ,因此{ xn }是
n ? ??

n>N 时有 d n < ?
n →?

.这样当 n,m>N 时, 若 m ? n,则 d( xn , xm ) ? d n < ?

X 中的柯西列。设 lim xn = x0 。则对任意的 k,当 n ? k 时,有 xn ? Fk , 因此 lim xn = x0 ? Fk , 由 k 的任意性,于是 x0 ? 例2

?F
n =1

?

n

??.

证毕

设 Y 是赋范线性空间 X 的闭子空间.在 X 中作等价分类:x~y 的充分条件是 x-y ? Y. 记定义 X/Y 中的加法和数乘 :[x]+[y]=[x+y]; ? [x]= [ ? x]. 定义 X/Y 中的范数 :

?x? = inf ?
证明 (1) 若

y y ? ?x??.求证:X/Y 是赋范线性空间.
, 则 存 在 xn ? ?x ?, xn ?

X/Y 显然是线性空间.

?x? = 0
n ? ??

1 , n = 1,2,?. 由 定 义 x ? xn ? Y , 所 以 n

x = lim (x ? xn ) ? Y , 即[x]=[0].
(2) 若 ? 是复数 x ? X ,则

= inf ? ?y y ? [ x]? = ? ?x ?

??x? = inf ? y

y ? [?x] = ?[ x]?

= ? inf ? y y ? [ x]?

(3) 设 [x],[y] ? X/Y, 存在 xn ? ?x ?, [ x] + 样 xn + yn ? ?x + y ? , 且

1 1 , yn ? ? y ?, yn ? [ y ] + , , n = 1,2?. 这 n n

?x + y ? ?

xn + yn ? xn + yn ? ?x? +

1 1 + ?y? + . n n

令 n-> ? , ?x + y ? ? ?x ? + ? y ? . 于是,我们就证明了 X/Y 是赋范线性空间.证毕 设{ xn } 是 Banach 空间,X 中点列,满足条件
?

例 3

?
n =1

?

? ? ?n ? xn ? +? .求证 ?? xk ? 在 X 中 ? ? k =1 ? n =1

收敛,且若记其极限为 x =
?

?x
n =1

n

,则 x ?

?x
n =1

?

n

.
m

证明

因为

?
n =1

x n 收敛,所以若 ? ? 0, 则存在 N,当 m>n>N 时,必有
m

k = n +1

?x

k

? ? .于是,

? xk ? ? xk =
k =1 k =1

m

n

k = n +1

? xk ?

m

?n ? x ? ? . 因此 ?? x k ? 是 X 中柯西列,因为 X 是 Banach 空间, ? k k = n +1 ? k =1 ?

故 存 在

x, 使 得 x = lim
n ?

n-? ?

?x =?x
k =1 k n =1

n

?

n

因 为

?x
x =1

n

k

? ? xk ? ? xn
x =1 x =1

n

?

因 此

x = lim
例 4

n ? ??

? xk ? ? xn .证毕
k =1 n =1

设是赋范线性空间 X 中的线性闭子空间. x0 ? Y . Y 1 由 Y 和 x0 生成的线性子空间

Y1 = ?? x0 + y ? ? c, y ? Y ? 求证: Y 1 是 X 中的线性子空间

证明 设 ??n x0 + y0 ?中 Y 1 的收敛列, lim (?n + yn ) = y0 .要证 xo ? Y1
n ? ??

首 先 ??n ? 必 为 C 中 有 界 列 否 则 , 存 在 ?nk ? ??n ?, lim ?nk = ? . 由
k ? ??

? ?

k ? ??

lim ?n xo + ynk = y0 , 可得 lim

(

)

1

k ? ??

?n

(? x

n o

+ ynk = lim

)

k ? ??

k

?n

y0
k

? yn = 0, 因此 x0 = lim ?? k k ? ?? ? ?nk ?

? ? ?Y . ? ?

此与 x0 ? Y 矛盾. 这 样 ??n ? 有 界 , 必 有

?? ?? ?? ? , 使 lim ?
nk n
k ? ??
k ? ??

nk

= ?0 , 由 ynk = y0 ? ?nk x0 , 可 得

k ? ??

lim ynk = y0 ? ?0 x0 ? Y .于是, y0 = lim ynk + ?0 x0 ? Y1 .证毕.
例 5

C0 (??,+?) = { f | f 是 (? ?,+? ) 上 的 连 续 函 数 , 且 lim f (t ) = 0 }. 在
t ? ??

C0 (? ?,+? ) 上定义范数 f = sup?| f (t ) || t ? (? ?,+? )?.求证 C0 (? ?,+? ) 是 Banach 空间.
证明 易验证: 1
o

f ? 0, f = 0 的充要条件是 f=0;

2o

?f = ? f ;
f +g ? f + g

3o


{ f n } 是 C0 (? ?,+? ) 中 柯 西 列 , 对 与 任 意 的

? ? 0 , 存 在 N 当 n, m ? N 时

f n ? f m = sup f n (t ) ? f m (t ) ? ? ,这就证明了{ f n (t)}在 (? ?,+? ) 上一致收敛与 f(t),且 f(t)
在 (? ?,+? ) 上连续,以下证明 lim f (t ) = 0 .
t ? ??

对与任意的 ? ? 0 , 存在 n, 使 sup f n(t ) ? f (t ) ? ? , 因为 lim f (t ) = 0 , 所以存在 M, 当
t ? ??

|t| ? M 使,

f n (t ) ? ? .这就证明了 lim f (t ) = 0 .
t ? ??

这样,我们证明了 f ? C0 (? ?,+? ) ,且 lim f n ? f = 0 .于是, C0 (? ?,+? ) 是 Banach 空
n ? ??

间.证毕.

翻函分析习题选讲(8)

例 1 设 X=C[ a,b],t1, …,tn ? [a, b], ?1 ,?, ?n ? C. 定义 X 上的线性泛 函:若
x ? X , f ( x) = ? ?i x(t i ). 求证 f 是 X 上的有界性泛函,求
i =1 n

f 。

证 明

任 意
n

x ?X

,|f(x)|=|

? ? x(t )
i =1 i i

n

| ?

? | ?i || x(t i ) |?
i =1

n

?| ?
i =1 n i =1

i

||| x(t i ) || .

所以||f|| ?

?| ?

i

|.

存在 ? ? C , | ? i |= 1 ,使 ? i ?i =| ?i | 。存在, 所以. ? ?i x(ti ) |= ? | ?i | ,
i =1 i =1 n n

x ? X ,使 x(t i ) = ? i , i = 1,2,? n, 且||x||=1.这样|f(x)|=|| ||f(x)|| ? ? | ?i |
i =1 n

由此 ,我们证明了||f(x)||=|| ? | ?i | 。证毕。
i =1

n

例题 2 设 F 是 C0 (??,+?) 上的线性泛函, ( C0 (??,+?) 的定义参 见七章例题讲例 5) 。 若 F 满 足 条 件 : 若 ? ? C0 (??,+?) 且 任 意
t ? (??,+?), ? (t ) ? 0, 则称 F 是正的线性泛函,求证:C0 (??,+?) 上的正的

线性泛函的连续的。 证明 任意复值函数 f? C0 (??,+?) , 都可以写成 f = x + iy,其中 x,y

是 C0 (??,+?) 中的实值函数, ||x|| ? f 且 ||y|| ?|| f || . 而实值函数又可以 x= x + - x? ,其中 x+ = max{ x,0}, x? = max{ ? x,0} 均是 C0 (??,+?) 中的非负函 数 , 且 x+ ? x , x? ? x . 同 理 y = y + ? y , y + 和 y ? 是 非 负 函 数 , 且
y+ ? y , y? ? y 。

若存在 M ? 0 ,使任意非负函数 ? , F (? ) ? M ? , 则 F 必有界

f ? C0 (??, +?), f = x+ ? x? + i ( y+ ? y_ ),

事实上,任意 F ( f ) = F ( x+ ) ? F ( x? ) + iF ( y+ ) ? iF ( y? )
? F ( x+ ) + F ( x? ) + F ( y+ ) + F ( y? ) ? 4M f

若 F 在 C0 (??, +?) 中的非负函数上是无界的,则存在非负函数
xn ? C0 (??, +?) , xn ? 1
n

2

, 由于 ? xn ? +? ,因此第 n , F ( xn ) ? 1 n = 1, 2,
n =1

n

七章例题选讲例 3, ? xn = x 收敛。
i =1 n

对 任 意 n , x ? ? xn 是 非 负 函 数 ,
i =1

F ( x ? ? xn ) ? 0
i =1

n

,因此

F ( x) ? F (? xn ) ? n
i =1

n

,这样 F ( x) = +?

,此与 F 是 C0 (??, +?)

上定义的线性泛函矛盾,因此 F 必为有界的 ,证毕。 例 3 .设 F 是 C ? a, b? 上正的线性泛函。求证:任意 x, y ?
C ? a, b ? ,
F ( xy ) ? F ( x ) F ( y ).
2 2 2

证明
x? 是 C ? a , b ?

( 1) 若 x 是 C ? a, b? 中实函数, 则 x = x+ ? x? , 其中 x+ , 中非负函数,则
z = x + iy 是

F ( x) = F ( x+ ) ? F ( x? ). 是实数。

(2)若

C ? a, b ? 中复函数,其中 x, y

是实函

数 ,则 F ( z ) = F ( x) ? iF ( y) = F ( x) + iF ( y) = F ( z) 。 (3)若 x, y 是 C ? a, b? 中函数,我们来证明 F ( xy ) ? F ( x ) F ( y ) 。
2 2 2

对任意复数 ? ,
0 ? F ( x ? iy ) = F ( x ) ? ? F ( xy ) ? ? F ( xy ) + ? F ( y )
2 2 2

不妨设 F ( y ) ? 0 ,令 ? =

2

F ( xy ) F( y )
2

代入上式得 F ( x ) ?

2

F ( xy ) F( y )
2

?0

因 F ( xy) = F ( xy) ,得 F ( xy) = F ( xy)F ( x ) F ( y ) ? F ( xy ) 证毕 习题解答 1,举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性空间。 解
x = ( x1, x2, xn ,

2

2



C0 是 收 敛 到 0 的 数 列 全 体 组 成 的 空 间 。 若

)

,则

x = sup xn

? 1 A 是定义 C0 上的算子,Ax = ? x1 , x2 , ? 2

1 xn , n

? 易验证 A 是有界的, ?。 ?

且 A =1
1,1,1, 1, 0, 0 ? 设 xn = ? ? ? ?
n

?

? ?

? 1 Axn = ?1, , ? 2

1 , 0, 0, n

? ? 1 ? ? C0 Axn → ?1, , ? ? 2

1 , n

? ? ( n → ?) ?

? 1 1 y = ?1, , , ? 2 3

? ? ,则 y 不属于 A 的值域。因此 A 的值域不是闭的线性子 ?

空间。 2.求 C ? ?1,1? 线性泛函 f ( x) = ??1 x(t )dt ? ?0 x(t )dt 的范数。
0 1

解 由 f ( x) =

?

0

?1

x(t )dt ? ? xf (t )dt ?
0

1

?

0

?1

xf (t )dt +

? xf (t )dt ? 2 x
0

1

? ??1, ? ? f ? 2 。设 xn = ?1, ? ? ??nt , ?

?1 ? t ? ? ,1? ?n ? 1? ? t ? ? ?1, ? ? n? ? ? 1 1? t ?? ? , ? ? n n?

则 xn ? C ? ?1,1? ,且 x = 1, n = 1, 2,
1 0 1 0 1 1 1 1 f ( xn ) = ? x(t ) dt ? ? x (t )dt = 2(1 ? ) + ? 1 ( ?nt )dt ? ? n ( ?nt ) dt = 2(1 ? ) + + ?1 0 ? 0 n 2n 2n n n

= 2?

1 。 n 1 n

由此, f ? f ( xn ) = 2 ? 。令 n → ? 。 f ? 2, 这样 f = 2 。 3.设无穷阵 i ( aij ) , j = 1, 2, , 满足 sup = ? aij ? ? 。作 l ? 到 l ? 中算子如下:
i j =1 ?

若 x = (?1 , ?2 , ) , y = (?1 ,?2 , ) , Tx = y ,则?i = ? aij? j , i = 1, 2,
j =1

?

证明: T = sup ? aij
i i =1

?

证明:设 M = sup ? aij 则若 x = (?1 , ?2 , ) , y = (?1 ,?2 , ) = Tx ,
i i =1
n

?

Tx = y = sup ?i = sup ? aij?
i i j =1

j

? ? sup ? sup ? j i ? j

?a
i =1

?

ij

? ?j = M x , ? ? M sup j ?

因此 T ? M 对 任 意 ? ? 0 , 存 在 i0 , 使
x j = sign(ai0 j ) , j = 1, 2,

?a
j =1

n

i0 j

? M ? ? 。 设 x = ( x1 , x2 ,

) ,其中

则 x ? l ? ,且 x = 1
n n

若 y = Tx = (?1 ,?2 , )?i = ? ai j x j = ? ai j ? M ? ? , 因此 Tx = sup ?i ? M ? ?
0

j =1

0

j =1

0

i

由于 ? 是任意的,故 T ? M ,这样我们就证明了 T = M = sup ? aij 。
i =1

?

证毕
?i = ai? , 4.设 sup an ? ? , 在 l p ( p ? 1) 中定义线性算子: y = Tx , i = 1, 2,3, ,
n ?1

其中 x = (?i , ?i , ? n , ) , y = (?1 ,?2 , ?n ) ,证明 T 是有界线性算子,并 且 T = sup an 。
n ?1

证明:设 sup an = M 。由 Tx = sup an?n ? M x 。对任意 ? ? 0 ,存在 an ,
n ?1
0

使 an ? M ? ? 。 设 x = (?i , ?i , ? n , ) , 其 中 若 i ? n0 , 则 ?i = 0 ; 而
0

?n = s ign an 。我们
0 0

可验证 Tx = M x an ? M ? ? 。 由于 ? 的 任意性, 得 T ?M。 于是 T = M 。
0

证毕

5.X 是 n 维向量空间, 在 X 中任取一组基 ?e1 , e2 , en ? , ( tuv ) 是 n ? n 矩阵, 作 X 到 X 中算子如下:当 x = ? xv ev 时,其中 yu =
v =1 n

?t
v =1

n

uv v

x , u = 1, 2,

,若

? n xv 向 量 的 范 数 为 x =? ?? ? v =1
1

2

?2 。证明上述算子的范数满足 ? ? ?

1

? n ? n n 2 ?2 2 ?2 max ? ? tuv ? ? T ? ? ?? tuv ? 。 v ? u =1 ? ? u =1 v =1 ?

1

证明:若 x = ? xv ev ,则
v =1

n

Tx = ? ? tuv xv
2 u =1 v =1

n

n

2

2 n ? n ? n ? ? ? ? ? tuv xv ? ? ? ? ? tuv ? u =1 ? v =1 u =1 ? v =1 ? n

2

?? n ? n n 2? 2? 2 x = ? ? v ? ? ?? tuv ? x 。 ?? ? ? u =1 v =1 ? ? ? v =1

? n n 2 ?2 所以 T ? ? ?? tuv ? 。 ? u =1 v =1 ? ? n ? n 2 ?2 2 ?2 对任意 v , Tev = ? tuv eu 。于是 Tev = ? ? tuv ? ,所以 T ? ? ? tuv ? 。因 u =1 ? u =1 ? ? u =1 ?
n

1

1

1

1 ? n ? 2 ? ? 2 ? 此 max ? ? tuv ? ? ? T 。证毕 v ? ? ? ? ? u =1 ? ? ?

6.设 T 是赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 的线性算子,若 T 的零空 间是闭集, T 是否一定有界? 解:令 X = Y = ? ? 0,1? ,其中 ? ? 0,1? 是 ? 0,1? 上多项式函数全体,视为

C ? 0,1? 的子空间
T 是 X 到 Y 的微分算子。若 Tf = 0 ,则 f 是常值函数。显然常值函数全

体是闭子集,但 T 是非有界的。 (见教材底一节例九) 7. 作 l p (1 ? p ? +?) 中算子 T 如下: 当 x = ( x1 , x2 , ) ? l p 时,Tx = ( y1 , y2 , ) , 其中 yn = ? tmn xm , n = 1, 2,3
m =1 ?

1 1 ? ? q ?q , ? ? ? tmn ? ? ?, + = 1 证明: T 是有界线 p q n =1 ? m =1 ?
?

p

性算子。 证明:若 Tx = ? ? ? tmn xm ? ? ?
n =1 ?

? ?

?

p

? ?

1 p

m =1

p p ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? tmn xm ? , ?? ? n =1 ? ? m =1 ? ? ? ? ?

1



Holder
? 1 p ? p 1 p




1

式 ,

, 因

有 此

?t
m =1

?

mn

? p? ? xm ? ? ? tmn ? ? ? xm ? m =1 ? ? ? m =1
1 p q

? ? ? p ?p = ? ? tmn ? x ? ? ? m =1 ? ?

? ? ? ?? Tx ? ? ? ? ? tmn ? n =1 ? ? m =1 ?

q

? ? ? ?

?p ? ? 。证毕 ? ?

8.按范数 x = max ? j , x = (?1 , ? 2 , ? n ) 成赋范线性空间,问 R n 的共轭
j

空间是什么? 解 记 R n 按 范 数 x = max ?i 组 成 赋 范 线 性 空 间 为 R n , R n 按 范 数
x = ? ?i 组成赋范线性空间为 Y ,我们来证明 X ? = Y 。
i =1 n

定 义 X?

到 Y 的 映 射 。 任 意 f ? X ? , Tf = ( f ( e1 ) ,
? , 0 ? i = 1, 2, ? ?

f ( en ) ) , 其 中

? ei = ? 0, 0, 1, 0, ? i ?
n

, n。

对 任 意 x = ? ?i ei ,
i =1

f ( x) =

? ?i f ( ei ) ? ? f ( ei ) max ?i = Tf x
i =1 i =1

n

n

于是

f ? Tf

反 之 , 对 任 意 y = (?1 ?n ) ? Y 。 定 义 f ? X ? : 对 任 意 x = ? ?i ei ,
i =1

n

f ( x ) = ? ?i?i ,则 Tf = y 。因此 T 是 X ? 到 Y 的映射
i =1

n

若 y = ( 0, , 0 ) ,则显然 f = 0 ,则 Tf = f = 0 。 若 y = (?1 ?n ) ? ( 0, , 0 ) 令 x = ? ( sign?i )ei ,则 x
i =1 n

=1

因此 f

? f ( x)

??
i =1

n

i

= y = Tf 。从而 Tf = f 。于是 T 是从 X ? 到 Y

的同构映射。在同构的意义下 X ? = Y 。证毕 9 设 C0 表示极限为 0 的实数列全体,按通常的加法和乘法,以及
x = sup ?i , x = (?1,?2, ,? n
i

) 构成 Banach 空间,证明: ( C0 )? = l1

0, 0, 1, 0 0 ? ,则 en ? C0 , n = 1, 证明:令 en = ? 0, 2, 3, 。对任意 f ? ( C0 )? , ?
n

?

? ?

定义 Tf = ( f ( e1 ) ,

f ( en ), ) 。

以下先证 Tf ? l1 ,且 Tf ? f 记?n = f ( en ),? n = sign (?n ),x = ? ?i ei ,则 xn ? C0 ,且 xn ? 1 , n = 1, 2,
i =1
n ? n ? n f ( xn ) = f ? ? ?i ei ? = ? ?i?i = ? ?i i =1 ? i =1 ? i =1

n

由于 f ( xn ) ? f xn ? f 。因此 ? ?i ? f ,令 n → ? , ? ?i ? f 。这就
i =1 i =1

n

n

证明了 Tf ? l1 ,且 Tf ? f 再 证 对 任 意 y = (?1 ,?2 , ?n ) , 定 义 C0 上 线 性 泛 函 f : 若
x = (?1,?2, ,? n

)





f ( x ) = ? ?i?i
i =1

n







Tf = ( f ( e1 ) ,

f ( en ), ) = (?1 ,?2 , ?n

)= y。
= x y

又因为 f ( x ) =

? ?i?i ? sup ?i
i =1 i

n

??
i =1

n

i

因此 f ? ( C0 )? ,且 f ? y = Tf ,于是 Tf = f 由以上证明可知。 T 是 ( C0 )? 到 l 1 上的同构映射。而在同构意义下,

( C0 )? = l1 。证毕

第十一章 1.

线性算子的谱

设 X = C[0,1], ( Ax)(t ) = tx(t ), x ? X 。证明 ? ( A) = [0,1] ,且其中没有特

征值。 证明 当 ? ?[0,1] 时, 常值函数 1 不在 ? I ? A 的值域中, 因此 ? I ? A 不

是满射,这样 ? ?? ( A) 。 反之若 ? ? [0,1] ,定义算子 R? : R? =
R? x = max
a ?t ?b

1 x(t ) 。则由于 ? ? [0,1] ,且 ? ?t

1 1 x(t ) ? x ? ?t d (? ,[0,1])

因此 R? 是 C[0,1]中有界线性算子。 易验证 R? (? I ? A) = (? I ? A) R? = I ,所以 ? ? ? ( A) 。 总之 ? ( A) = [0,1] , 若 Af = ? f , 则 对 任 意 t ? ? , tf (t ) = ? f (t ) , 可 推 得 f (t ) = 0 。 由 于
f (t ) ? C[0,1] ,必有 f (t ) ? 0 ,所以 A 无特征值。证毕。

2.

设 X = C[0, 2? ], ( Ax)(t ) = eit x(t ), x ? X . ,证明
? ( A) = {? ? = 1} 。

证明

对任意 eit , (eit I ? A) x(t ) = (eit ? eit ) x(t ) 。因为常值函数 1 不在
0 0 0

eit0 I ? A 的值域中,因此 eit0 ? ? ( A) 。这样 {? ? = 1} ? ? ( A) 。

反之,若 ? ? 1 ,定义 R? : ( R? x)(t ) =

1 x(t ) 。类似第 1 题可证 R? 是 ? ? eit

有界线性算子,且 R? (? I ? A) = (? I ? A) R? = I 。即 ? ? ? ( A) 。 因此 ? ( A) = {? ? = 1} 。证毕。 3. 设 X = l 2 , Ax = A( x1, x2 , xn , ) = ( x2 , x3 , xn , ) ,

试求 ? ( A) 。 解 对 任 意 ? , 若 ? ? 1 , 定 义 x? = (1, ?, , ? n , ) , 显 然
, ? n , ) = ? (1, ?, , ? n , ) = ? x? ,因此 {? ? = 1} 的内

x? ? l 2 , Ax? = (?, ? 2 ,

点都是 A 的点谱,由于 ? ( A) 是闭集,则 {? ? = 1} ? ? ( A) 。 对 任 意 x? A , 显 然
? ( A) ? {? ? ? A } ? {? ? = 1} 。
Ax ? x

, 因 此

A ?1 , 所 以

这样我们就证明了 ? ( A) = {? ? = 1} 。 4. 设 F 是平面上无限有界闭集,{? n } 是 F 的一稠密子集,在 l 2 中

定义算子 T:
Tx = ( x1 , x2 , xn , ) = (?1 x1 ,

? n xn , )

则 ? n 都是特征值, ? (T ) = F , F \{? n } 中每个点是 T 的连续谱。 证明 对任意 n, en = (0, 0, ,1, 0, ) ,其中 1 在第 n 个坐标上。由题 设, Ten = ? n en ,因此 ? n 是 T 的特征值。又由于 ? (T ) 是闭集,所以
{? n } = F ? ? (T ) 。

若 ? ? F ,则 d (?, F ) ? 0 。定义算子 R? ,若
x = ( x1 , x2 ,
R? x = (

xn , ) ? l 2 ,
, 1 x, ) ? ? ?n n

1 1 x1 , x, ? ? ?1 ? ? ? 2 2

易验证 R? x ?

1 x ,且 R? (? I ? T ) = (? I ? T ) R? = I 。 d (? , F )

因此 ? (T ) ? F 。 若 ? ? F ? {? n } ,且 x = ( x1, x2 , xn , ) ? l 2 ,使 Tx = ? x 。则对任意 n,
? xn = ? n xn 。由于 ? ? ? n ,则 xn = 0 , n = 1, 2,

。这样 x=0,因此 ? 不是

特征值,而是连续谱。证毕。 5. 设 ? 为线性算子 An 的特征值,则 ? 的 n 次根中至少有一个是算

子 A 的特征值。 证明 设 ? 是 An 的特征值, ? 的 n 次根为 ?1 , ?2 , , ?n 。存在 x ? 0 , 使 ( An ? ? I ) x = 0 ,则 ( An ? ? I ) x = ( A ? ?1I )( A ? ?2 I ) ( A ? ?n I ) x = 0 。 若 ( A ? ?1I ) x = 0 ,则 ?1 就是 A 的特征值,否则必有某 i,
( A ? ?i I )( A ? ?i ?1I ) ( A ? ?1I ) x ? 0 ,

而 ( A ? ?i +1I )( A ? ?i I ) ( A ? ?1I ) x = 0 , 则 ?i +1 是 A 的特征值。证毕。 6.
?0 ? ? ( A) , 设 A 为 Banach 空间 X 上的有界线性算子, 又设 { An }

为 X 上一列有界线性算子,且 lim An ? A = 0 ,证明当 n 充分大后, n →?
An 也以 ?0 为正则点。

证明

?0 I ? An = ?0 I ? A ? ( An ? A)
= (?0 I ? A)[ I ? (?0 I ? A)?1 ( An ? A)] 。

当 n 充分大时, (?0 I ? A)?1 ( An ? A) ? 1 , 这样 I ? (?0 I ? A)?1 ( An ? A) 是 可逆的。此可逆性由本章§2 定理 1 可证,又 ?0 I ? A 也是可逆的。因 此当 n 充分大后, ?0 I ? An 也可逆。证毕。 7. 设 A 是为 Banach 空间 X 上的有界线性算子,则当 ? ? A 时,

R? = ( A ? ? I ) ?1 = ?
n=0

?

An

?

n +1

, R? ?

1 。 ?? A

证明 当 ? ? A 时幂级数 范数收敛。
(? I ? A)?
n =0 ?

? ?
n =0

1

?

A

n n

?

收敛,因此级数 ?
n=0

?

An

? n +1

必按算子

An

? n +1
?

=?
n =0

?

An

?

(? I ? A) = ? n +1
n =0

?

An

?n

??
n =0

?

An +1

? n +1

=1

这就证明了 ( A ? ? I ) ?1 = ?
n=0

An

? n +1

, 证毕。

R? =

??
n =0

?

An
n +1

??
n =0

?

A

n

?

n +1

=

1 。 ?? A

8.

设 A 为 X 上的有界线性算子, ? , ? ? ? ( A) ,则
R? ? R? = (? ? ? ) R? R? 。

其中与 R? , R? 的意义同第 7 题。 证明 在等式 R? ?1 ? R? ?1 = ( ? I ? A) ? (? I ? A) 两边左乘 R? 右乘 R? 得
R? ( ? ? ? ) R? = R? (( ? I ? A) ? (? I ? A)) R? = R? ? R? 。

因此 R? ? R? = (? ? ? ) R? R? ,证毕。 9. 设 A 是 Hilbert 空间 H 上的有界线性算子,A*为 A 的共轭算

子,证明
? ( A*) = {? ? ? ? ( A)} = ? ( A)

证明 先证若 T 是 Hilbert 空间 H 上的有界线性算子, 若 T 可逆, 则 T*也可逆,且 (T *)?1 = (T ?1 )* 。 事实上,对任意 x, y ? H ,? x, y ?=? TT ?1 x, y ?=? x, (T ?1 )* T * y ? 。这样
? x, y ? (T ?1 )* T * y ?= 0 对任意 x ? H 成立,因此 y = (T ?1 )* T * y 恒成立,进

而 T *(T ?1 )* = I 。 同 理 T *(T ?1 )* = I 。 这 一 证 明 了 T* 也 可 逆 , 且

(T ?1 )* = (T *) ?1 。

现在设 ? ? ? ( A) ,则 A ? ? I 可逆,因此 ( A ? ? I )* = A * ?? I 也可逆,从 而 ? ? ? ( A*) 。 同 理 若 ? ? ? ( A*) , 则 ? ? ? ( A) , 这 就 证 明 了
? ( A*) = {? ? ? ? ( A)} 。证毕。

10. 设 T1 是 X 1 到 X 2 的全连续算子, T2 是 X 2 到 X 3 的有界线性算子, 则 T2T1 是 X 1 到 X 3 的全连续算子。 证明 设 {xn } 是 X 1 中有界点列。 因为 T1 全连续, 所以 {T1 xn } 中必有
k k

收敛子列。 我们记之为 {T1 xn } 。 又因为 T2 有界, 所以 {T2T1 xn } 也收敛, 因此 {T2T1 xn } 有收敛子列。这就证明了 T2T1 是全连续算子。证毕。 11. 设 A 是 l 2 上线性算子,记 en = (0, 0, , 0,1, 0, ) ,
n ?1个
?

Aek = ? a jk e j
j =1

其中 Aek = ? aij ? ? ,证明 A 是全连续的。
2 i , j =1

?

证明 若 x = ( x1 , x2 , xn , ) ,定义 An : An x = ? (? xk a jk )e j :
j =1 k =1

n

?

则 An 是有界秩算子,且
( A ? An ) x =
2

j = n +1 k =1

? ?x a
k

?

?

2 jk

?

j = n +1 k =1 ?

? (? x
=
j = n +1

?

?

2

k

)(? a jk )
k =1 2

?

2

?

? a jk
k =1

?

x

2

所以 A ? An ?

j = n +1

?

?

? a jk
k =1

?

2

→ 0 ( n → ?) 。

由本章§3 定理 2,A 是全连续算子。证毕。 12.
en 的符号同第 11 题。作 l 2 上算子 U。
Uek = 1 ek +1 , k = 1, 2, k .

证明 U 是 l 2 上全连续算子且 ? (U ) = {0} 。 证明 若 x = ? xi ei ? l 2 ,则 Ux = ? xi ei +1 。令 U n x = ? xi ei +1 ,则 U n 是
i =1 ?

1 i =1 i

?

1 i =1 i
2

?

有限秩算子,且 (U ? U n ) x = ? xi ?
2 i =1

?

1 i

2

12 ? ( xi ? ) i? i = n +1 i = n +1

?

??
i =1

?

1 i

2

x

2

所以 U n ? U ?

i = n +1

?i

?

1
2

→0

(n → ?) 。

这样 U 是有限秩算子 U n 的极限,U 必是全连续算子。 由于全连续算子的非零谱都是特征值,因此要证 ? (U ) = {0} ,只要 证 U 无非零特征值。倘若 ? ? 0 ,
? ? ? 1 x = ? xi ei ? l 2 , Ux = ? x, ? xi ei +1 = ? ? xi ei 。 i =1 i =1 i i =1

1 , xn , ) = ? ( x1 , x2 , xn , ) 。 n 1 则 ? x1 = 0, ? xi +1 = xi , i = 1, 2, ,由此可得 xi = 0, i = 1, 2, i



1 (0, x1 , x2 , 2

。因此 ? 不是 U

的特征值。证毕。 13.设
( A? )( s ) = ? e s +t? (t )dt ,
0 1 1

求 A 的特征值和特征函数。 )

(提示:记 c = ?0 et? (t )dt 解
1

记 c = ?0 et? (t )dt 。设 ? 为对应特征值 ? 的特征函数,则 A? = ?? ,

即 ce s = ?? 。 若 ? ? 0 , 则 ? = e s 。 代 入 c 的 表 达 式 : c = ?0 e s e s ds , 解 得
?
c
1

c

?

1 1 ? = ? e 2 s ds = (e 2 ? 1) 。 因 此 非 零 特 征 值 ? = (e2 ? 1) , 特 征 函 数 为 0 2 2
1

? (s) = c0es ,其中 c0 为任意非零常数。

若 ? = 0 ,则 ?0 e s? ( s)ds = 0 ,特征函数 {e s }⊥ 为中任意非零函数。 14. 积分算子的核为, K (s, t ) = ? pk ( s)qk (t ) ,
k =1 n

1

其中 { pk } 为线性无关的函数组,则其非零特征值 ? 相应的特征向 量 e 有形式
e = ? ck pk , ck 是常数。
k =1 n

若记

qij = ? qi ( x ) p j ( x ) dx ,
a

b

则 ck 可由下式决定: ? ck = ? ci qik , k = 1, 2, n 。
i =1

n

证明
=?
n b n

A? = ? K ( s, t )? (t )dt
a

b

a

? p (s)q (t )? (t )dt
k =1 k k b a

= ? ( ? qk (t )? (t )dt ) pk ( s) 。
k =1

若 ? 为 A 的特征值, ? 为对应的特征向量,则

? (?
k =1

n

b

a

qk (t )? (t )dt ) pk ( s) = ?? ( s) 。

即 ? ( s) = ? ck pk ( s) ,其中
k =1

n

ck =
n

??

1

b

a

qk (t )? (t )dt 。

将 ? ( s) = ? ck pk ( s) 代入表达式得
k =1

ck =

? ?a

1

b

qk (t )? ci pi ( s )dt
i =1

n

=

?c ? ?
i =1

1

n

b

i a

qk (t ) pi (t )dt

=
n

1

?

?q
i =1

n

ik

(t )ci 。

即 ? ck = ? qik (t )ci , k = 1, 2, n 。证毕。
i =1

15. 在 14 题中,若 qi ( x) ? pi ( x), ? pi , q j ?= 0, (i ? j ) 。试求特征值和特 征函数。 解 采用 14 题的符号, 因为 ? qi , p j ?= 0, (i ? j ) , 所以 qij = 0 , (i ? j ) ,
b a

qii = ? pi 2 ( x )dx, i = 1, 2,



这样决定 ck 的方程组
? ck = ? qik ci , k = 1, 2,
i =1 n

n. 。

变为

(qkk ? ? )ck = 0 ,k = 1, 2,

因此 {qkk }? n. 。 k =1 就是此积分算子的全

体非零特征值。对应每一个 qkk ,其相应的特征函数为 pk 。 显然由 { p1 , p2 , , pn } 张成的有限维线性子空间 M 的正交补空间 M ⊥ 中任一非零函数都是相应于 0 的特征函数。 16. 若 K (s, t ) = cos(s + t ), 0 ? s, t ? ? . ,求积分算子 K 的特征值和特征 函数。 解
cos(s + t ) = cos s cos t ? sin s sin t = cos s cos t + (i sin s)(i sin t ), 。

令 p1 (t ) = q1 (t ) = cos t , p2 (t ) = q2 (t ) = i sin t , 可验证
? p1 , p2 ?= ? cos t * i sin tdt = 0
0

?

q11 = ? p12 (t )dt =
0

?

?
2

,

q22 = ? ? sin t * i sin tdt = ?
0

?

?
2


?
2

因此积分算子 K 有两个非零特值 ?1 = , ?2 = ? 。其中 ?1 相应于特
2

?

征函数为 c cos t , ?2 相应于特征函数为 c sin t 。如 15 题,0 相应的 特征函数为 {cos t ,sin t}⊥ 中非零函数。 17. 解方程。 ? ( s) = 2 ?0 cos( x + s)? ( s)ds + 1 解
K ( x, s) = 2cos( x + s) = 2(cos x cos s ? sin x sin s) 。
p1 = q1 = 2 cos x, p2 = q2 = 2i sin x,
e1 = 2 cos x, 2
?

?1 = ? 2 cos 2 xdx = ? ,
0

?

?

?2 = ? ? 2sin 2 xdx = ?? ,
0

?

e2 =

?

sin x,

设? ?

? 2 ? ? ?

cos x,

2

?

sin x, e3 , e4

? ? 2 ? 为 L [0, ? ] 的完全规范正交系,则由本章 ? ?

§5 定理 1,方程解为
? ( s) =
1 1? ?
=
?

?

?

2

0

?

cos xdx *

2

?

cos s +

1 1+ ?

?

?

2

0

?

sin xdx *

2

?

sin s + ? ? 1, ek ?ek
k =3

?

? 4 sin s + ? ? 1, ek ?ek 。 ? (1 + ? ) k =3

但 ? ? 1, ek ?ek = 1 ,因此
k =3

? ? 1, e
k =3

?

k

?ek = 1? ? 1, e1 ? e1 ? ? 1, e2 ? e2 = 1 ?

4

?

sin s

所以 ? =

4 4 4 sin s + 1 ? sin s = 1 ? sin s 是积分方程的解。 ? (1 + ? ) ? ? +1

本题及第 16 题也可以用待定系数法直接解得。 18. 解方程 ? ( s ) = 3?0 xs? ( s )ds + 3x ? 2. 。
2



K ( x, s) = 3xs,
2

p1 = q1 = 3x,
3 x。 。 8

? = q11 = ? 3 x 2 dx = 8, e1 =
0

3 ? 2 设? ? x, e2 , e3 , ? 为 L [0, 2] 的完全规范正交系,由本章§5 定理 1, ?8 ?
? 1 2 3 3 ? ( s) = (3x ? 2) xdx * s + ? ? 3x ? 2, ek ?ek 1 ? 8 ?0 8 8 k =2

? 3 =? * 4s + ? ? 3x ? 2, ek ?ek 7 *8 k =2

=?
=?

3 s + 3s ? 2? ? 3x ? 2, e1 ? e1 14

2 3 3 3 s + 3s ? 2 ? ? (3 x ? 2) xdx * s 0 14 8 8

=

9 s?2 7

因此 ? ( s ) = s ? 2 为本积分方程的解。

9 7


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