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高考数学数列综合题型专题复习

数列综合题型专题复习 1.数列综合题型有: (1)数列极限; (2)数列与不等式; (3)数列与函数; (4)数列与方程; (5)数列与向量; (6)数列与解析几何; (7)数列与概率; (8)数列与实际应用问题; (9)数列创新题等。 一、数列极限 例题.(天津高考)已知 = a + a?1 +a?2 2 +??? +a?1 + ( > 0, > 0, ∈ ? ), 则 lim un =____________ n ?? u n ?1 n u 解:当 a ? b 时, un ? (n ? 1)a n ,则 lim n ? lim (n ? 1)a ? lim a(n ? 1) ? a . n?? u n?? n?? n nan?1 n ?1 n n ?1 n ?1 n n 当 a ? b 时, un ? a ? a b ? ? ? ab ? b ? a [1 ? b b 2 b ? ( ) ? ? ? ( )n a a a b 1 ? ( ) n ?1 un a n?1 ? b n ?1 1 n n ?1 n ?1 此时, a . ? ?a ? (a ? b ) u n?1 b an ? bn a ? b 1? a 若 a ? b ? 0 , lim n ?? un a ?b ? lim n n ? ? u n?1 a ? bn n ?1 n ?1 b a ? b( ) n a ? a. ? lim n ?? b 1? ( )n a 若 b ? a ? 0 , lim un n ?? u n ?1 a a( ) n ? b ?? lim b ? b. n ?? a n ( ) ?1 b 1 2 变式训练: 2 2 2 1.(2006 奉贤区一模)在无穷等比数列{ }中,1 = 1, = ,记 = a2 2 + a 4 +a 6 + ??? +a 2 , 则limn →∞ =_____________4/15 解:∵无穷等比数列{an}中,a1=1, ,∴ ,a2n=21 ﹣2n , a2n2=(21 ﹣2n )2=22 ﹣4n ,∴Tn=2 2+2 6+2 ﹣ ﹣ ﹣10 +…+22 ﹣4n = . ∴ Tn= = = .故答案为: . 1 2.数列{ an }通项 a n ? 2 ? ( x?3 n 3 ) ,若 lim a n ? 2 ,则的取值范围是_________ (?? ,? ) n ?? x 2 1 * ( n ? N ), n 2 3.数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an ? an ?1 ? n →∞ 则 lim (a1 + a2 +??? +a2?1 + a2 )=_____________2/3 4.等差数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,若 Sn a 2n 2 ? ,则 lim n ? _________ n ?? b 3 Tn 3n ? 1 n 5. lim ? ? n2 ? 1 ? ? an ? b ? ? 3 ,则 a ? b ? ___________3 n?? ? n ?1 ? ? n2 ? 1 ? (a ? 1)n 2 ? (a ? b)n ? b ? 1 lim ? an ? b ? 解: ? n ?1 ? lim n ?? n ?1 ? ? n?? (a ? 1)n ? (a ? b) ? = lim n?? 1? 1 n b ?1 n ? 3, ? a ? 1 ? 0且a ? b ? 3. 6.(2014 虹口一模)在 ?An Bn Cn 中,记角 An 、 Bn 、 C n 所对的边分别为 an 、 bn 、 cn ,且这 三角形的三边长是公差为 1 的等差数列,若最小边 an ? n ? 1 ,则 lim C n ? _________ n?? 试题分析:三角形的三边长是公差为 1 的等差数列, an ? n ? 1 ,则 bn ? n ? 2, cn ? n ? 3, cos Cn ? 7.设 zn=( 2 2 2 1 1 ? an ? bn ? cn n2 ? 4 lim cos Cn ? , o m s i ( l ) Cn ? , ? 2 , 即c 因此 lim Cn ? . n ?? n ?? 2 2 3 2n ? 6n ? 4 n ?? 2anbn 1? i n ) ,(n∈N*),记 Sn=|z2-z1|+|z3-z2|+?+|zn+1-zn|,则 lim Sn=_________ n ?? 2 1 ? i n?1 1 ? i n 2 n?1 1.解析 : 设cn ?| z n?1 ? z n |?| ( ) ?( ) |? ( ) , 2 2 2 1 2 2 [1 ? ( ) n ] 1 ? ( ) n 2 2 ? S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2 ? 2 2? 2 1? 2 ? lim S n ? n?? 1 2? 2 ? 2? 2 2 ?1? 2 2 8.作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角形内再作 内切圆,如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和的极限分别为_________ 【答案】周长之和 ? 3 3 π a,面积之和 a2. 2 9 2 解:由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an},可得 an= a 2 n?1 ,正三角形的内切圆构成等 比数列{rn},可得 rn= 3 1 a. 6 2 n?1 3 3? 2 a, 2 ∴这些圆的周长之和 c= lim 2π (r1+r2+?+rn)= n ?? 面积之和 S= lim π (n2+r22+?+rn2)= n ?? ? 2 a 9 32 3 lim (1 2 + 2 3 + ? + +1 ) =______ 9.已知等比数列{

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