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100测评网高中数学复习三角函数概念、图象与性质

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江苏省成化高级中学 09 届一轮复习三角专题(—)

三角函数概念、图象与性质
一、考点、要点、疑点: 考点:1、理解三角函数的有关概念; 2、理解同角三角函数的基本关系式;

3、理解正弦、余弦的诱导公式; 4、理解正弦、余弦、正切函数的图象和性质; 5、了解函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象和性质 要点: 1、 三角函数的有关概念:角的概念的推广,终边相同的角 2、 弧度制:角度与弧度的转换( 180 ? ? 弧度),弧长公式( l ?
0

? r ),

扇形面积公式 S ?

1 lr 2 sin x cos x

3、 任意角三角函数定义,单位圆中的三角函数线,三角函数值的符号
2 2 4、 同角三角函数的基本关系式: sin x ? cos x ? 1 , tan x ?

5、 诱导公式:n· 90°±α (n∈Z)诱导公式满足十字诀:“奇变偶不变,符号看象限” (1)α +k· 360°(k∈Z),-α ,180°±α ,360°-α 的三角函数值, 等于α 的同名函数值,前面加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号. (2)α +(2k+1)· 90°(k∈Z),90°±α ,270°±α 的三角函数值, 函数名改变,前面加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号. 6、 正弦、余弦、正切函数的图象和性质; 7、 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象和性质,五点作图法、图象变换 疑点: 1、你能记得诱导公式的口诀吗?(奇变偶不变,符号看象限.奇偶指什么?怎么看待角所 在的象限?) 2、一般说来,正弦、余弦函数加绝对值或平方,其周期减半.(如 y ? sin x ,y ? sin x
2

的周期都是 ? , 但 y ? sin x ? cos x 的周期为

π ), 注意: y ? tan x 的周期为 ? 。 2

函数 y ? sin x 2 , y ? sin x , y ? cos x 是周期函数吗?(都不是) 3、正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称轴、对称中心你知道吗? 二、激活思维: 1、角α 的终边经过点 P(- x ,-6),且 cos ? ? ?

2、若 cos? ? 0, 且 sin 2? ? 0, 则角? 的终边所在象限是第 3、cos(-1995°)= ;

5 ,则 tan ? = 13
象限。

4、已知下列函数:① y=sin x ②y=cos x ③y=tan x ④y=sin x+cos x ⑤y=sin x?cos x

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则奇函数有: ;偶函数有 (填序号)。

5、函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期是_____ ; 6、函数 y=sin x 的图象的对称轴为: 7、当 x ? ( ? ,对称中心是 ,单调减区间为: 。

?
2

, ? ) 时,函数 y=cos x 的值域为
平移

8、将函数 y ? sin 2 x 的图象向 三、典型例题解析:

单位,可得函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象。

例 1、已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin

2? 2? , cos ),则角 ? 的最小正值为 3 3

例 2、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数。若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且 当 x ? [0 ,

?

2 例 3、已知函数 f ( x) ? sin 2x ? 3 cos2x , (1) 求函数 f ( x) 的最小正周期; (2) 求函数 f ( x) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (3) 将函数 y ? sin x 的图像作怎样的变换可以得到函数 f ( x) 的图像;
(4) 若将函数 f ( x) 的图像向左平移 ? (0 ? ? ? 函数 y ? g ( x) 是奇函数,求 ? ; (5) 若 x ? [0, (6) 若 x ? [0,

] 时, f ( x) ? sin x ,则 f (

5? ) 的值为 3

?
2

) 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图像,而

?
2

] ,求函数 f ( x) 的单调增区间;

?

2

] ,求函数 f ( x) 的值域。
2

例 4、(1)函数 y ? sin x ? sin x ? 1 的值域是 (2)若 x ? [0,

; ;

?
2

] ,函数 y ? sin 2 x ? sin x ? 1 的值域是

(3)函数 y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的值域是 例 5、已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? k (A>0,

? >0, ? <

? )在同一周期中最高点坐标为 2

(2,2),最低点的坐标为(8,—4),求函数解析式. 例 6、已知 f (x)=tan(x+ 四、课堂练习: 1、 ? 是第四象限角, tan ? ? ? 2、函数 f ( x) ? ? tan( x ?

? ),则 f (?1) 、 f (0) 、 f (1) 的大小关系是 4
5 ,则 sin ? ? 12

?
3

) ? 1 的定义域为

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3、使不等式 cos x >

1 成立的 x 的取值范围是: 2
? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是

4、若 f (sinx) =3-cos2x,则 f (cosx)= 5、函数 y ? 2 sin(

?

6

6 、 设 函 数 f ( x ) ? 3 sin( x ?

?

?
4

2

) 若 存 在 这 样 的 实 数 x1 , x2 , 对 任 意 的 x ? R , 都 有 ,


f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 x1 ? x2 的最小值为
7、若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( ? < 的图象(部分)如图所示, 则 f ( x) 的解析式是

? ) 2
? 3

y 1
O

2? 3

x

8、函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是__________ 3?

(写出所有正确结论的编号 ). ..

11 ? 2π ? π 对称;② 图象 C 关于点 ? , 0 ? 对称; 12 ? 3 ? ? π 5π ? ③ 函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ? π ④ 由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C . 3 2 9、设函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? a , (1)当 f ( x) ? 0 有实数解时,求实数 a 的取值范围; 17 (2)若 1 ? f ( x ) ? 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围。 4
① 图象 C 关于直线 x ? 参考解答: 激活思维: 1、

12 5

2、四

3、 ?

2? 6 4

4、①③⑤,②

5、 ?

6、 x ?

?
2

? k? , k ? Z

7、 (?1,1],[0, ? )

8、右,

? 6

例题解析:

1、

11? 6

2、

3 2 5 ? , k ? Z} 12
(3)略

3、(1) ?

(2)最大值 2, {x x ? k? ?

(4)

? 6

(5) [0,

5? ] 12

(6) [? 3,2]

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4、(1) [ ,3] 5、 y ? 3 sin( 1、 ?

3 4

(2) [1,3]

(3) [ ?1, 2 ?

1 ] 2

?
6

x?

?
6

) ?1

6、 f (1) ? f (?1) ? f (0)

课堂练习:

5 13

2、{x x ? k? ?

?
6

, k ? Z}

3、 (2k? ?

?
3

,2k? ?

?
3

), k ? Z

4、 3 ? cos 2 x 9、(1) [ ?

5、 [

? 5?
3 , 6

]

6、2

7、 sin(

1 ? x? ) 2 6

8、①②③

5 ,1] 4

(2) [2,3]

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