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红对勾理科数学课时作业27


课时作业 27

平面向量基本定理及坐标表示
时间:45 分钟 分值:100 分

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.设平面向量 a=(-1,0),b=(0,2),则 2a-3b=( A.(6,3) C.(2,1) B.(-2,-6) D.(7,2) )

解析:2a-3b=(-2,0)-(0,6)=(-2,-6). 答案:B 2.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于( 1 3 A.-2a+2b 3 1 C.2a-2b 1 3 B.2a-2b 3 1 D.-2a+2b )

解析:设 c=xa+yb,则(-1,2)=x(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x- y)
? ?x+y=-1 ∴? ?x-y=2 ?

1 ? x = ? 2 解得? 3 ? y =- ? 2

1 3 ,则 c=2a-2b,选 B.

答案:B → 同方向 3.(2013· 辽宁卷)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量AB 的单位向量为( 3 4 A.(5,-5) 3 4 C.(-5,5) ) 4 3 B.(5,-5) 4 3 D.(-5,5)

→ =(3,-4),|AB → |=5,则所求向量为1AB → =(3,-4), 解析:AB 5 5 5 选 A. 答案:A →= 4. △ABC 中, M 为边 BC 上任意一点, N 为 AM 的中点, 且AN → +μAC → ,则 λ+μ 的值为( λAB 1 A.2 1 C.4 ) 1 B.3 D.1

解析:如图所示,由于 B,M,C 三点共线, → =xAB → +(1-x)AC → (0<x<1),又 N 为 AM 的中点, 所以AM → =λAB → +μAC →, 且AN → =2AN → =2λAB → +2μAC →, 所以AM 从而 x=2λ,1-x=2μ, 1 因此 λ+μ=2,故选 A. 答案:A → =a,CA → =b,a· 5.△ABC 中,AB 边的高为 CD,若CB b=0,|a| → =( =1,|b|=2,则AD )

1 1 A.3a-3b 3 3 C.5a-5b

2 2 B.3a-3b 4 4 D.5a-5b

2 5 解析: 由 a· b=0, 得 a⊥b, 即∠ACB=90° , ∴AB= 5, CD= 5 , 5 4 5 ∴BD= 5 , AD= 5 , AD BD= 4→ 4 4 -5BC =5a-5b. 答案:D 6.已知两点 A(1,0),B(1, 3),O 为坐标原点,点 C 在第二象 5π → → +λOB → (λ∈R),则 λ=( 限,且∠AOC= 6 ,OC =-2OA 1 A.-2 C.-1 1 B.2 D.1 ) → =4AB → =4(AC → +CB → )=4AC → , AD 5 5 5

5π 解析:如图所示:∠AOC= 6 ,根据三角函数的定义, 可设 C?-
? ?

3 1? ?. 2 r,2r?

→ =-2OA → +λOB →, ∵OC

∴?-
?

?

3 1? ?=(-2,0)+(λ, 3λ), 2 r,2r? 1 解得 λ=2.

?- 23r=λ-2, ∴? 1 ?2r= 3λ,
答案:B

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) → =CB → ,则OB → 的坐 7.已知 O 为坐标原点,A(1,1),C(2,3)且 2AC 标是________. → =CB → ,得 2(OC → -OA → )=OB → -OC → ,得OB → =3OC →- 解析:由 2AC → =3(2,3)-2(1,1)=(4,7) 2OA 答案:(4,7) 8.若平面向量 a,b 满足|a+b|=1,a+b 平行于 x 轴,b=(2, -1),则 a=________. 解析:设 a=(x,y),∵b=(2,-1), ∴a+b=(x+2,y-1). 又∵a+b 平行于 x 轴,∴y-1=0,∴y=1, ∴a+b=(x+2,0). 又∵|a+b|=1,∴ ?x+2?2+02=1, ∴x=-1 或 x=-3, ∴a=(-1,1)或(-3,1). 答案:(-1,1)或(-3,1) 1 9.已知 m>0,n>0,向量 a=(m,1),b=(2-n,1),且 a∥b,则m 2 +n的最小值是________.

解析:∵a∥b,∴m=2-n,即 m+n=2. 又 m>0,n>0, 1 2 1 1 2 ∴m+n=2(m+n)(m+n) 1 2m n =2(1+ n +m+2) 1 2m n =2(3+ n +m) 1 3 ≥2(3+2 2)=2+ 2. (当且仅当 n= 2m 时,等号成立) 3 答案:2+ 2 三、解答题(共 55 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程) 10.(15 分)已知 A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若 A、B、C 三点共线,求 a、b 的关系式; → =2AB → ,求点 C 的坐标. (2)若AC → =(2,-2),AC → =(a-1,b-1), 解:(1)由已知得AB → ∥AC →. ∵A、B、C 三点共线,∴AB ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. → =2AB →, (2)∵AC ∴(a-1,b-1)=2(2,-2),
? ? ?a-1=4, ?a=5, ∴? 解得? ?b-1=-4, ?b=-3. ? ?

∴点 C 的坐标为(5,-3). 11.(20 分)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为

→ =c,AN → =d,试用 c,d 表示AB → ,AD →. DC,BC 的中点,已知AM

→ =a,AD → =b. 解:设AB 因为 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → =1b,DM → =1a. 所以BN 2 2 1 ? c = b + ? 2a 因而? 1 ? d = a + ? 2b 2 ? a = ? 3?2d-c?, ?? 2 ? b = ? 3?2c-d?,

→ =2(2d-c),AD → =2(2c-d). 即AB 3 3 ——创新应用—— 12.(20 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a= (2,1),A(1,0),B(cosθ,t), → ,且|AB → |= 5|OA → |,求向量OB → 的坐标; (1)若 a∥AB → ,求 y=cos2θ-cosθ+t2 的最小值. (2)若 a∥AB → =(cosθ-1,t), 解:(1)∵AB → ,∴2t-cosθ+1=0. 又 a∥AB ∴cosθ-1=2t.① → |= 5|OA → |,∴(cosθ-1)2+t2=5.② 又∵|AB

由①②得,5t2=5,∴t2=1.∴t=± 1. 当 t=1 时,cosθ=3(舍去), 当 t=-1 时,cosθ=-1, → =(-1,-1). ∴B(-1,-1),∴OB cosθ-1 (2)由(1)可知 t= 2 , ?cosθ-1?2 5 2 3 1 ∴y=cos θ-cosθ+ = cos θ - cos θ + 4 4 2 4
2

6 3? 1 ? 1 5? 5? =4?cos2θ-5cosθ?+4=4?cosθ-5?2-5,
? ? ? ?

3 1 ∴当 cosθ=5时,ymin=-5.


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