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2015高考理科数学数列真题有答案


2015 高考理科数学试题分类汇编-----数列
1.【2015 高考重庆,理 2】在等差数列 ?an ? 中,若 a2 =4, a4 =2,则 a6 = A、-1 B、0
2

( D、6



C、1

2.【2015 高考福建,理 8】若 a, b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0 ? 的两个不同的零 点,且 a, b, ?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于( A.6 B.7 ) C.8 D.9 )

3.【2015 高考北京,理 6】设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是( A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3

B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

4.【2015 高考浙江,理 3】已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 S n ,若 a3 , a4 ,

a8 成等比数列,则( )
A. a1d ? 0, dS 4 ? 0 B. a1d ? 0, dS 4 ? 0 C. a1d ? 0, dS 4 ? 0 D.

a1d ? 0, dS 4 ? 0
5. 【2015 高考安徽, 理 14】 已知数列 {an } 是递增的等比数列, 则数列 {an } a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 , 的前 n 项和等于 .

6.【2015 高考新课标 2,理 16】设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an ?1 ? S n S n ?1 , 则 S n ? ________. 7.【2015 高考广东,理 10】在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则

a2 ? a8 =

.

8.【2015 高考陕西,理 13】中位数 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列 的首项为 .

9.【2015 江苏高考,11】数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? an ? n ? 1( n ? N * ) ,则数列 {

1 }的 an

前 10 项和为 10. 【2015 江苏高考, 20】 (本小题满分 16 分) 设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列( 1 )证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列; ( 2 )是否存在 a1 , d ,使得
a a a a

a1 , a2 2 , a33 , a4 4 依次成等比数列,并说明理由; ( 3 )是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得
n?k n?2k n ?3k 依次成等比数列,并说明理由. a1n , a 2 , a3 , a4

11.【2015 高考浙江,理 20】已知数列 ?an ? 满足 a1 =

S 1 1 ( n? N* ) 2 1 ? an ? 2 ( n? N* ) ; (2) 设数列 an 的前 n 项和为 S n , 证明 . ? n ? 2(n ? 2) n 2(n ? 1) an?1

? ?

1 2 且 an ?1 = an - an ( n? N* ) (1)证明: 2

12.【2015 高考山东,理 18】设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 2 S n ? 3n ? 3 .(I)求 ?an ? 的 通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 an bn ? log 3 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和Tn .

13.【2015 高考安徽,理 18】设 n ? N * , xn 是曲线 y ? x

2n?2

? 1 在点 (1, 2) 处的切线与 x 轴交
1 . 4n

2 2 点的横坐标.(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn ? x12 x3 ? x2 n ?1 ,证明 Tn ?

14.【2015 高考天津,理 18】 (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 满足

an ? 2 ? qan ( q为实数,且q ? 1),n ? N *, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数

列(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式;(II)设 b ? log 2 a2 n , n ? N * ,求数列 {bn } 的前 n 项和. n
a2 n ?1

15.【2015 高考重庆,理 22】在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an ?1an ? ? an ?1 ? ? an ? 0 ? n ? N ? ?
2

(1)若 ? ? 0, ? ? ?2, 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 ? ?

1 1 1 ? ak0 ?1 ? 2 ? ? k0 ? N ? , k0 ? 2 ? , ? ? ?1, 证明: 2 ? k0 3k0 ? 1 2k0 ? 1

16.【2015 高考四川,理 16】设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列.(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 记数列 {

1 1 求得 | Tn ? 1|? 成立的 n 的最小值. } 的前 n 项和 Tn , 1000 an

17.【2015 高考湖北,理 18】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的公 比为 q .已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

18.【2015 高考陕西,理 21】 (本小题满分 12 分)设 f n ? x ? 是等比数列 1 , x , x 2 , ??? , x n 的各项和,其中 x ? 0 , n ? ? , n ? 2 . (I)证明:函数 Fn ? x ? ? f n ? x ? ? 2 在 ? 仅有一个零点(记为 xn ) ,且 xn ?

?1 ? ,1? 内有且 ?2 ?

1 1 n ?1 (II)设有一个与上述等比数列的首项、末项、 ? xn ; 2 2

项数分别相同的等差数列,其各项和为 g n ? x ? ,比较 f n ? x ? 与 g n ? x ? 的大小,并加以证明.

2 19.【2015 高考新课标 1,理 17】 S n 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an =错误!未

找到引用源。. (Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 错误!未找到引用源。 ,求数列{ bn }的前 n 项和. an an ?1

20.【2015 高考广东,理 21】数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? nan ? 4 ? (1) 求 a3 的 值 ;
bn ?

n?2 n? N* ? , n ?1 ? 2

(2) 求 数 列

?an ?

前 n 项 和 Tn ; (3) 令 b1 ? a1 ,

Tn ?1 ? 1 1 1? ? ?1 ? ? ? ??? ? ? an ? n ? 2 ? ,证明:数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2 ? 2 ln n . n ? 2 3 n?

【2015 高考上海,理 22】已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 an ?1 ? an ? 2 ? bn ?1 ? bn ? , n ? ? ? . (1)若 bn ? 3n ? 5 ,且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 ?an ? 的第 n0 项是最大项,即 an0 ? an( n ? ? ? ) ,求证:数列 ?bn ? 的第 n0 项是最大项; (3) 设 a1 ? ? ? 0 ,bn ? ? n( n ? ? ? ) , 求 ? 的取值范围, 使得 ?an ? 有最大值 ? 与最小值 m , 且

? ? ? ?2, 2 ? . m

2015 高考理科数学试题分类汇编-----数列
BDCB 5. 2 ? 1
n

6.

?

1 n

7. 10 . 8.5

9.

20 11

10.【解析】 试题分析(1)根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即 可(2)本题列式简单,变形较难,首先令 t ?

d 将二元问题转化为一元,再分别求解两个高 a1

次方程,利用消最高次的方法得到方程: 7t 2 +4t ? 3 ? 0 ,无解,所以不存在(3)同(2)先 令t ?

d 将二元问题转化为一元,为降次,所以两边取对数,消去 n,k 得到关于 t 的一元方程 a1

4 ln(1 ? 3t ) ln(1 ? t ) ? ln(1 ? 3t ) ln(1 ? 2t ) ? 3ln(1 ? 2t ) ln(1 ? t ) ? 0 ,从而将方程的解转化为研
究函数 g (t ) ? 4 ln(1 ? 3t ) ln(1 ? t ) ? ln(1 ? 3t ) ln(1 ? 2t ) ? 3ln(1 ? 2t ) ln(1 ? t ) 零点情况,这个函 数需要利用二次求导才可确定其在 (0, ??) 上无零点

试题解析: (1)证明:因为

2an?1 ? 2an?1 ? an ? 2d ( n ? 1 , 2 , 3 )是同一个常数, an 2

所以 2a1 , 2a2 , 2a3 , 2a4 依次构成等比数列.

(2) 令 a1 ? d ? a , 则 a1 ,a2 ,a3 ,a4 分别为 a ? d ,a ,a ? d ,a ? 2d ( a ? d ,a ? ?2d , . d ? 0) 假设存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列, 则 a 4 ? ? a ? d ?? a ? d ? ,且 ? a ? d ? ? a 2 ? a ? 2d ? .
3 6 4
2 3 4

令t ?

d 1 3 6 4 ,则 1 ? ?1 ? t ??1 ? t ? ,且 ?1 ? t ? ? ?1 ? 2t ? ( ? ? t ? 1 , t ? 0 ) , a 2

化简得 t 3 ? 2t 2 ? 2 ? 0 ( ? ) ,且 t 2 ? t ? 1 .将 t 2 ? t ? 1 代入( ? )式,

1 t ? t ? 1? ? 2 ? t ? 1? ? 2 ? t 2 ? 3t ? t ? 1 ? 3t ? 4t ? 1 ? 0 ,则 t ? ? . 4 1 显然 t ? ? 不是上面方程得解,矛盾,所以假设不成立, 4
因此不存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列. 11.试题分析: (1)首先根据递推公式可得 an ?
2 3 4

1 ,再由递推公式变形可知 2

an an a a 1 1 1 (2)由 ? ? ? [1, 2] ,从而得证; ? = n 和 1 ? n ? 2 得, 2 an ?1 an ? an 1 ? an an ?1 an an ?1 an ?1 1?

1 1 1 1 ? an ?1 ? (n ? N * ) ,即可得证. ? ? 2 ,从而可得 an ?1 an 2(n ? 1) n?2
1 ,由 an ? (1 ? an ?1 )an ?1 2

试题解析: (1)由题意得, an ?1 ? an ? ? an 2 ? 0 ,即 an ?1 ? an , an ? 得 an ? (1 ? an ?1 )(1 ? an ? 2 ) ??? (1 ? a1 )a1 ? 0 ,由 0 ? an ?

1 得, 2

an an a 1 (2)由题意得 an 2 ? an ? an ?1 , ? ? ? [1, 2] ,即 1 ? n ? 2 ; 2 an ?1 an ? an 1 ? an an ?1
∴ S n ? a1 ? an ?1 ①,由

a a 1 1 1 1 ? = n 和 1 ? n ? 2 得, 1 ? ? ? 2, an ?1 an an ?1 an ?1 an ?1 an

∴n ?

1 1 1 1 ? an ?1 ? (n ? N * ) ②,由①②得 ? ? 2n ,因此 an ?1 a1 2(n ? 1) n?2

S 1 1 . ? n ? 2(n ? 2) n 2(n ? 1)
12.

所以 T1 ? b1 ? 当 n ? 1 时,

1 3

1 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? ? ?1? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ? ? ? n ? 1? 31? n ? 3
所以 3Tn ? 1 ? 1? 30 ? 2 ? 3?1 ? ? ? ? n ? 1? 32? n 两式相减,得

?

?

2Tn ?
?

2 1 ? 31? n 2 ? ? n ? 1? ? 31? n ? ? 30 ? 3?1 ? 32? n ? ? ? n ? 1? ? 31? n ? ? 3 1 ? 3?1 3

13 6n ? 3 ? 6 2 ? 3n 13 6n ? 3 所以 Tn ? ? 12 4 ? 3n
经检验, n ? 1 时也适合, 综上可得: Tn ? 13. 解析】 试题分析: (Ⅰ)对题中所给曲线的解析式进行求导,得出曲线 y ? x
2n?2

13 6n ? 3 ? 12 4 ? 3n

? 1 在点 (1, 2) 处的

切线斜率为 2n ? 2 . 从而可以写出切线方程为 y ? 2 ? (2n ? 2)( x ? 1) . 令 y ? 0 . 解得切线 与 x 轴交点的横坐标 xn ? 1 ?

1 n . ? n ?1 n ?1

(Ⅱ)要证 Tn ?

1 ,需考虑通项 x2 n ?12 ,通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路 4n 1 2 3 2 2n ? 1 2 2 2 如下:先表示出 Tn ? x12 x3 ? x2 ) ,求出初始条件当 n ? 1 时, n ?1 ? ( ) ( ) ? ( 2 4 2n 1 . 当 n ? 2 时 , 单 独 考 虑 x2 n ?12 , 并 放 缩 得 T1 ? 4

x

2 2 n ?1

2n ? 1 2 (2n ? 1) 2 (2n ? 1) 2 ? 1 4n 2 ? 4n n ? 1 ?( ) ? ? ? ? ,所以 2n (2n) 2 (2n) 2 (2n) 2 n

1 1 2 n ?1 1 1 ,综上可得对任意的 n ? N * ,均有 Tn ? . Tn ? ( ) 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n 4n 4n
试题解析: (Ⅰ)解: y ' ? ( x 线斜率为 2n ? 2 . 从 而 切 线 方 程 为 y ? 2 ? (2n ? 2)( x ? 1) . 令 y ? 0 , 解 得 切 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标
2n?2

? 1) ' ? (2n ? 2) x 2 n ?1 ,曲线 y ? x 2 n ? 2 ? 1 在点 (1, 2) 处的切

xn ? 1 ?

1 n . ? n ?1 n ?1

(Ⅱ)证:由题设和(Ⅰ)中的计算结果知

1 2 3 2 2n ? 1 2 2 2 Tn ? x12 x3 ? x2 ) . n ?1 ? ( ) ( ) ? ( 2 4 2n 1 当 n ? 1 时, T1 ? . 4
当 n ? 2 时,因为 x2 n ?1 ? (
2

2n ? 1 2 (2n ? 1) 2 (2n ? 1) 2 ? 1 4n 2 ? 4n n ? 1 ) ? ? ? ? , 2n (2n) 2 (2n) 2 (2n) 2 n

1 2 n ?1 1 . ? ?? ? ? 2 3 n 4n 1 综上可得对任意的 n ? N * ,均有 Tn ? . 4n
所以 Tn ? ( ) 2 ?

1 2

14.

(II) 由(I)得 bn ?

log 2 a2 n n ? n ?1 ,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则 a2 n ?1 2

Sn ? 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 , 0 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? n 2 2 2 2 2

两式相减得

1 1 1 1 1 1 n 1 ? 2n n 2 n Sn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? ? n ? 2? n ? n , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 整理得 Sn ? 4 ? n ?1 2 n?2 所以数列 ?bn ? 的前 n 项和为 4 ? n ?1 , n ? N * . 2
15.【解析】
2 试题分析: (1) 由于 ? ? 0, ? ? ?2 , 因此把已知等式具体化得 an ?1an ? 2an , 显然由于 a1 ? 3 ,

则 an ? 0 (否则会得出 a1 ? 0 ) ,从而 an ?1 ? 2an ,所以 {an } 是等比数列,由其通项公式可得 结论; (2) 本小题是数列与不等式的综合性问题, 数列的递推关系是 an +1an +

1 an +1 - an 2 = 0, k0

可变形为 an ?1 ? an ?

? ?

1? 2 ? ? an ? n ? N ? ? , k0 ?
an
于是可得 an ?1 ? an , 即有 3 = a1 > a2 > ? > an > an +1 > ? > 0 , ? 1,

由于 k0 ? 0 , 因此

1 an ? k0



an +1 =

an

2

an 2 =

an +

1 k0

1 1 + 2 2 k0 k0 1 1 1 = an + ? 1 k0 k0 k0 an +1 an + k0









ak0 +1 = a1 + ( a2 - a1 ) +? + ak0 +1 - ak0

(

)

? a1 ? k0 ?

? 1 1 ? 1 1 1 ? ?? ? ??? ? ? k0 k0 ? k a ? 1 k a ? 1 k a ? 1 0 1 0 2 0 k 0 ? ?

? 2?

1 ? 1 1 1 ? ?? ? ?? ? ? k0 ? 3k0 ? 1 3k0 ? 1 3k0 ? 1 ?
1 ,这里应用了累加求和的思想方法,由这个结论可知 an ? 2(n ? N *) ,因此 3k0 ? 1

? 2?

ak0 +1 =

? a1 ? k0 ?

? 1 1 ? 1 1 1 ? ?? ? ??? ? k0 k0 ? k 0 a k0 ? 1 ? ? k0 a1 ? 1 k0 a2 ? 1 ?

? 2?

1 ? 1 1 1 ? 1 ?? ? ?? ? ,这样结论得证,本题不等式的证 ? ? 2? k0 ? 2k0 ? 1 2k0 ? 1 2k0 ? 1 ? 2k0 ? 1

明应用了放缩法.(1)由 ? ? 0,? ? ?2 ,有 an ?1an ? 2an 2 , (n ? N ? ) 若存在某个 n 0 ? N ? ,使得 an 0 = 0 ,则由上述递推公式易得 an 0 +1 = 0 ,重复上述过程可得

a1 = 0 ,此与 a1 = 3 矛盾,所以对任意 n ? N ? , an ? 0 .
从而 an +1 = 2an ? n ? N ? ? ,即 {an } 是一个公比 q = 2 的等比数列. 故 an = a1q n - 1 = 3?2n - 1 .

求和得 ak0 +1 = a1 + a2 - a1 +? + ak0 +1 - ak0

(

)

(

)

? 1 1 ? 1 1 1 ? ?? ? ??? ? ? k0 k0 ? k a ? 1 k a ? 1 k a ? 1 0 1 0 2 0 k 0 ? ? 1 ? 1 1 1 ? 1 ? 2 ? ?? ? ?? ? ? ? 2? k0 ? 3k0 ? 1 3k0 ? 1 3k0 ? 1 ? 3k0 ? 1 ? a1 ? k0 ?
另一方面,由上已证的不等式知 a1 > a2 > ? > ak0 > ak0 +1 > 2 得

ak0 ?1 ? a1 ? k0 ?

? 1 1 ? 1 1 1 ? ?? ? ??? ? k0 k0 ? k 0 a k0 ? 1 ? ? k0 a1 ? 1 k0 a2 ? 1 ?

? 2?
1

1 ? 1 1 1 ? 1 ?? ? ??? ? ? 2? k0 ? 2k0 ? 1 2k0 ? 1 2k0 ? 1 ? 2k0 ? 1
< ak0 +1 < 2 + 1 2k0 +1

综上: 2 + 16.

3k0 +1

【解析】 (1)由已知 S n ? 2an ? a1 ,有 an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 (n ? 1) , 即 an ? 2an ?1 (n ? 1) . 从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 4a1 . 又因为 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,即 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 1) . 所以 a1 ? 4a1 ? 2(2a1 ? 1) ,解得 a1 ? 2 . 所以,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an ? 2n . (2)由(1)得

1 1 ? n. an 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 2 ? 1? 1 . 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 1 2 2 2 2 2n 1? 2
由 | Tn ? 1|?
9

1 1 1 n ,得 |1 ? n ? 1|? ,即 2 ? 1000 . 1000 2 1000
10

因为 2 ? 512 ? 1000 ? 1024 ? 2 , 所以 n ? 10 . 于是,使 | Tn ? 1|?

1 成立的 n 的最小值为 10. 1000

17.

1 1 3 5 7 9 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n . 2 2 2 2 2 2 2



1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ①-②可得 Tn ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ? 3 ? , 2 2 2 2 2 2n

故 Tn ? 6 ? 18. 【解析】

2n ? 3 . 2n ?1

试题分析: (I)先利用零点定理可证 Fn ? x ? 在 ? 调 性 可 证 Fn ? x ? 在 ?

?1 ? ,1? 内至少存在一个零点,再利用函数的单 ?2 ?

?1 ? ,1? 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 , 进 而 利 用 xn 是 Fn ? x ? 的 零 点 可 证 ?2 ?

xn ?

1 1 n ?1 (II)先设 h ? x ? ? f n ? x ? ? g n ? x ? ,再对 x 的取值范围进行讨论来判断 h ? x ? ? xn ; 2 2

与 0 的大小,进而可得 f n ? x ? 和 g n ? x ? 的大小. 试题解析: (I) Fn ( x) ? f n ( x) ? 2 ? 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n ? 2 ,则 Fn (1) = n - 1 > 0,

?1? 1? ? ? 2 n 1 1 ?1? 2 ?1? Fn ( ) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 1 2 2 ?2? ?2? 1? 2
所以 Fn ( x) 在 ?

n ?1

?2? ?

1 ? 0, 2n

?1 ? ,1? 内至少存在一个零点 xn . ?2 ?

又 Fn? ( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx n ?1 ? 0 ,故在 ?

?1 ? ,1? 内单调递增, ?2 ?

所以 Fn ( x) 在 ?

?1 ? ,1? 内有且仅有一个零点 xn . ?2 ?

1 - xn n +1 1 1 因为 xn 是 Fn ( x) 的零点,所以 Fn ( xn )=0 ,即 - 2 = 0 ,故 xn = + xn n +1 . 1 - xn 2 2
(II)解法一:由题设, g n

( n +1) (1 + x ) . ( x) =
n

2

所以 h( x) < h(1) = 0 ,即 f n ( x) < g n ( x) . 综上所述,当 x = 1 时, f n ( x) = g n ( x) ;当 x ? 1 时 f n ( x) < g n ( x) 解法二 由题设, f n ( x) ? 1 ? x ? x ? ? ? x , g n ( x) ?
2 n

? n ? 1? ?1 ? x n ?
2

, x ? 0.

当 x = 1 时, f n ( x) = g n ( x) 当 x ? 1 时, 用数学归纳法可以证明 f n ( x) < g n ( x) . 当 n = 2 时, f 2 ( x) - g 2 ( x) = -

1 (1 - x) 2 < 0, 所以 f 2 ( x) < g 2 ( x) 成立. 2

假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 f k ( x) < g k ( x) . 那么,当 n = k +1 时,

f k+1 ( x) = f k ( x) + x

k +1

< g k ( x) + x

k +1

( k +1) (1 + x ) + x =
k

k +1

2

=

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 2

.

又 g k+1 ( x) 令

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 2

=

kx k +1 - ( k +1) x k +1 2
, 则

hk ( x) ? kx k ?1 ? ? k ? 1? x k ? 1( x ? 0)

hk ? ( x) ? k (k ? 1) x k ? k ? k ? 1? x k ?1 ? k ? k ? 1? x k ?1 ( x ? 1)
? ( x) ? 0 , hk ( x) 在 (0,1) 上递减; 所以当 0 < x < 1 , hk ? ( x) ? 0 , hk ( x) 在 (1, ??) 上递增. 当 x > 1 , hk
所以 hk ( x) > hk (1) = 0 ,从而 g k+1 ( x) >

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 2

故 f k +1 ( x) < g k +1 ( x) .即 n = k +1 ,不等式也成立. 所以,对于一切 n ? 2 的整数,都有 f n ( x) < g n ( x) . 解法三 : 由已知,记等差数列为 {ak } , 等比数列为 {bk } , k ? 1, 2,? , n ? 1. 则 a1 = b1 = 1 ,

an +1 = bn +1 = x n ,
所以 ak ? 1+ ? k ? 1? ?

xn ?1 (2 ? k ? n) , bk ? x k ?1 (2 ? k ? n), n

令 mk (x) ? ak ? bk ? 1 ?

? k ? 1? ? x n ? 1?
n

? x k ?1 , x ? 0(2 ? k ? n).

当 x = 1 时, ak =bk ,所以 f n ( x) = g n ( x) . 当 x ? 1 时, mk ? ( x) ?

k ? 1 n ?1 nx ? (k ? 1) x k ? 2 ? ? k ? 1? x k ? 2 ? x n ? k ?1 ? 1? n

而 2 ? k ? n ,所以 k - 1 > 0 , n ? k ? 1 ? 1 . 若 0 < x < 1 , x n - k +1 < 1 , mk ? ( x) ? 0 ,

? ( x) ? 0 , 当 x > 1 , x n - k +1 > 1 , mk
从而 mk ( x) 在 (0,1) 上递减, mk ( x) 在 (1, ??) 上递增.所以 mk ( x) > mk (1) = 0 , 所以当 x ? 0且x ? 1时,ak ? bk (2 ? k ? n), 又 a1 = b1 , an +1 = bn +1 ,故 f n ( x) < g n ( x)

综上所述,当 x = 1 时, f n ( x) = g n ( x) ;当 x ? 1 时 f n ( x) < g n ( x) . 考点:1、等比数列的前 n 项和公式;2、零点定理;3、等差数列的前 n 项和公式;4、利用导 数研究函数的单调性. 【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的前 n 项和公式、零点定理、等差数列的前 n 项和公 式和利用导数研究函数的单调性,属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个” , 否则很容易出现错误.证明函数仅有一个零点的步骤:①用零点存在性定理证明函数零点的 存在性;②用函数的单调性证明函数零点的唯一性.有关函数的不等式,一般是先构造新函 数,再求出新函数在定义域范围内的值域即可. 19.【答案】 (Ⅰ) 2n ? 1 (Ⅱ)

1 1 ? 6 4n ? 6

所以 an = 2n ? 1 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn =

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3

所 以 数 列 { bn } 前 n 项 和 为 b1 ? b2 ? ? ? bn = =

1 1 . ? 6 4n ? 6
3? 2 ? 2?2? 3 ? ? 4 ? 2?1 ? ? , 3?1 2 2 ? 4 ?

20.【解析】 (1)依题 3a3 ? ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? a1 ? 2a2 ? ? 4 ? ∴ a3 ? (

1 ; 4
2 ) 依 题 当

n ?1





nan ? ? a1 ? 2a2 ? ? nan ? ? ? ? a1 ? 2a2 ? ?? n ? 1? an ?1 ? ? ? 4?
?1? ?2?
n ?1

n?2 ? n ?1? n ? ? 4 ? n ? 2 ? ? n ?1 , n ?1 2 2 ? 2 ?

∴ an ? ? ?

,又 a1 ? 4 ?
n ?1

1? 2 ? 1 也适合此式, 20

?1? ∴ an ? ? ? ?2?



?1? 1? ? ? n ?1 1 2? ?1? ? ∴ 数列 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 的等比数列,故 Tn ? ? 2?? ? ; 1 2 ?2? 1? 2
( 3 ) 依 题 由 bn ?

n

a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 1 a ? 1? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? an 知 b1 ? a1 , b2 ? 1 ? ?1 ? ? a2 , n n? 2 ? 2? ? 2

b3 ?

a1 ? a2 ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? a3 , 3 ? 2 3?

21【解析】解:(1)由 bn ?1 ? bn ? 3 ,得 an ?1 ? an ? 6 , 所以 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 6 的等差数列,

故 ?an ? 的通项公式为 an ? 6n ? 5 , n ? ? ? . 证明: (2)由 an ?1 ? an ? 2 ? bn ?1 ? bn ? ,得 an ?1 ? 2bn ?1 ? an ? 2bn . 所以 ?an ? 2bn ? 为常数列, an ? 2bn ? a1 ? 2b1 ,即 an ? 2bn ? a1 ? 2b1 . 因为 an0 ? an , n ? ? ? ,所以 2bn0 ? a1 ? 2b1 ? 2bn ? a1 ? 2b1 ,即 bn0 ? bn . 故 ?bn ? 的第 n0 项是最大项. 解: (3)因为 bn ? ? n ,所以 an ?1 ? an ? 2 ? n ?1 ? ? n , 当 n ? 2 时, an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ??? ? ? a2 ? a1 ? ? a1

?

?

? 2 ? ? n ? ? n ?1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? ? n ? 2 ? ? ??? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?
? 2? n ? ? .
当 n ? 1 时, a1 ? ? ,符合上式. 所以 an ? 2? n ? ? . 因为 ? ? 0 ,所以 a2 n ? 2 ?
2n

? ? ? ?? , a2 n ?1 ? 2 ?

2 n ?1

? ? ? ?? .

①当 ? ? ?1 时,由指数函数的单调性知, ?an ? 不存在最大、最小值; ②当 ? ? ?1 时, ?an ? 的最大值为 3 ,最小值为 ?1 ,而

3 ? ? ?2, 2 ? ; ?1

③当 ?1 ? ? ? 0 时,由指数函数的单调性知, ?an ? 的最大值 ? ? a2 ? 2? 2 ? ? ,最小值

m ? a1 ? ? ,由 ?2 ?

2? 2 ? ?

?

1 ? 2 及 ?1 ? ? ? 0 ,得 ? ? ? ? 0 . 2

综上, ? 的取值范围是 ? ?

? 1 ? ,0? . ? 2 ?

2.数列作为特殊的函数, 其单调性的判断与研究也是特别的, 只需研究相邻两项之间关系即可.


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