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第2讲 导数的应用


导数的应用(一)
一、选择题 1.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是( A.2x-y+3=0 C.2x-y+1=0 ).

B.2x-y-3=0 D.2x-y-1=0 ).

k k 2. 若函数 h(x)=2x-x+3在(1, +∞)上是增函数, 则实数 k 的取值范围是 ( A.(-2,+∞) C.(-∞,-2) B.(2,+∞) D.(-∞,2) ( ).

3.函数 f(x)=(4-x)ex 的单调递减区间是 A.(-∞,4) C.(4,+∞) B.(-∞,3) D.(3,+∞)

1 4.函数 f(x)=ax3+bx 在 x=a处有极值,则 ab 的值为(

)

A.2 B.-2 C.3 D.-3 5.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( ). A.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)

6.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表.f(x)的导函数 y=f′(x)的 图象如图所示.

下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 y=f(x)是周期函数; ②函数 f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④ 当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有 4 个零点. 其中真命题的个数有 A.4 B.3 C.2 D.1 ( ).

二、填空题 7.函数 y=x-2sin x 在[0,π]上的递增区间是________. 8.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 9.若曲线 f(x)= ax5+ ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 ________. 1 10.已知函数 y=-3x3+bx2-(2b+3)x+2-b 在 R 上不是单调减函数,则 b 的 取值范围是________. 三、解答题 11.设函数 f(x)=ax3-3x2,(a∈ R),且 x=2 是 y=f(x)的极值点,求函数 g(x)= ex· f(x)的单调区间. 12.已知函数 f(x)=x3-ax-1 (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a, 使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在, 求出 a 的取值范围; 若不存在试说明理由. 13.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈ R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45° ,对于任意的 m? ? t∈ [1,2],函数 g(x)=x3+x2?f x+ 2 ?在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取 ? ? 值范围. 14.设函数 f(x)=ln x+ 1? a ? 在?0,e?内有极值. ? ? x-1

(1)求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x1∈ (0,1),x2∈ (1,+∞).求证:f(x2)-f(x1)>e+2- .注:e 是自然对数的 e 底数.

导数的应用(二)
一、选择题 1.若函数 y=f(x)可导,则“f′(x)=0 有实根”是“f(x)有极值”的 ( A.必要不充分条件 C.充要条件 ).

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2. 已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值, 则实数 a 的取值范围 是 A.(-1,2) C.(-3,6) B.(-∞,-3)∪ (6,+∞) D.(-∞,-1)∪ (2,+∞) ( ).

3.设 f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导函数,如图所示 的是 y=x· f′(x)的图象的一部分, 则 f(x)的极大值与极 小值分别是 A.f(1)与 f(-1) C.f(-2)与 f(2) ( ). B.f(-1)与 f(1) D.f(2)与 f(-2)

4.设 a∈ R,函数 f(x)=ex+a· e-x 的导函数是 f′(x),且 f′(x)是奇函数.若曲线 y= 3 f(x)的一条切线的斜率是2,则切点的横坐标为( ) A.ln2 B .-ln2 -ln2 ln2 C. 2 D. 2 5.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈ R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点, 则下列图象不可能为 y=f(x)的图象是( ).

6. 已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx+1 有两个极值点 x1, x2, 且 x1∈ [-2, -1], x2∈ [1,2], 则 f(-1)的取值范围是 ? 3 ? A.?-2,3? ? ? C.[3,12] ?3 ? B.?2,6? ? ? ? 3 ? D.?-2,12? ? ? ( ).

二、填空题 7.函数 f(x)=x2-2ln x 的最小值为________. 8. 若 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 有极大值和极小值, 则 a 的取值范围________. 9.已知函数 f(x)=mx3+nx2 的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平 行,若 f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数 t 的取值范围是________. 1-x 10.已知函数 f(x)= ax +ln x,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数 a 的取值范围为________. 三、解答题 11.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y=f′(x)的图 象经过(1,0),(2,0)点,如图所示.

(1)求 x0 的值; (2)求 a,b,c 的值. 12.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销 售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为 x-3

常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该 商品所获得的利润最大. a 13.设函数 f(x)=3x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. 1 14.已知函数 f(x)满足 f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+2x2. 求 f(x)的解析式及单调区间;


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